Pouvoir d'expression de la vue lausale pour le ontrle d'aès

Pournirehapitre,onmontreommentenoder,enutilisantnotrevuelausale,

deux méthodes souvent utilisées pour traiter le problème du ontrle d'aès aux

doumentsXML.

I.) Pour ouvrir les approhes basées sur l'attribution des lefs aux n÷uds et/ou

leurs attributs, (voir par exemple [2℄ et[66 ℄), on dénit la notion de lef

K

^surun

doument

t

^{,ommeunefontion}(partielle)

K : N odes _t ∪Att → 2 ^{U ser}

^,telleque

K(x)

soitunensemblenid'utilisateurs. Voiileslausesenodantl'attribution deslefs:

•

^Soit

u

^unn÷udde

t

^{. Si}

K(u)

^neontientpasd'identiateur

B

^,alorsl'utilisateur

B

^{ne peut aéderau n÷ud}

u

^{,nià auun de sesdesendants}

v

^:

← U ser(B), u. ∗ [B 6∈ K(u)]

^,

← U ser(B), v. ∗ [B 6∈ K(u), u.∗

^desendant

v.∗]

^.

•

^Soit

att

^{unattributassoiéaun÷ud}

u

^{. Si}

K (att)

^{neontient pas}d'identiateur

B

^,alors l'utilisateur

B

^{n'a pasle droitd'aéder àla valeur d'attribut}

att

^:

← U ser(B), u.att [B 6∈ K(att)]

^,

Supposons que l'utilisateur

B

^{évalue une requête}

Q

^{sur un doument}

t

^{assujetti à}

une politique du ontrle d'aès

P

^{stipulant que}

B 6∈ K(u)

^{. Sile run du système}

S Q

^{atteintlen÷ud}

u

^,onajouteà

Hist B

^leslauses

U ser(B) ←

^,et

u.∗ ←

^{. Ensuite,}

on ajoutera à

Hist _B

^{les lauses}

v.∗ ←

^,et

[u.∗

^desendant

v.∗] ←

^{, pour tout n÷ud}

v

^{desendant de}

u

^{,quiseront atteintsen desendant endessousde}

u

^.

II.)Pour enoder, à l'aide des lauses, la méthode présentée dans [71℄ (esquissée à

lapage 9 du présent rapport), onintroduitune fontion

Acc : N odes _t → {−r, −R}

^,

qui marquedesn÷uds qui sont interdits d'aès. Par suite, l'approhe du[71 ℄ peut

être enodée par leslauses suivantes:

•

interdition pour tout utilisateurd'aéder aun÷ud

u

^{et tous sesattributs}

← U ser(∗), u. ∗ [Acc(u) = −r]

^;

•

interdition pour tout utilisateur d'aéder au n÷ud

u

^{et ses desendants ainsi}

queleurs attributs

← U ser(∗), u. ∗ [Acc(u) = −R]

^,

← U ser(∗), v. ∗ [Acc(u) = −R, u.∗

^hild

v.∗]

^.

Requêtes sur douments ompressés

Dans e hapitre nous présentons une approhe qui permet d'évaluer les requêtes

positivesdeCoreXPath,surlesdoumentsompressésdetypeXML,sansnéessiterune

déompressionpréalable. Ellereposesurseptautomatesdemots,quiorrespondent aux

septaxesdebasedeCoreXPath. Enutilisantetteapprohe,onpeutévaluerlesrequêtes

diretement sur les douments partiellement ou totalement ompressés. La omplexité

d'unetelleévaluationestlinéaireparrapportàlatailledelarequêteetlenombred'arêtes

dudoument. Ce hapitreest struturé omme suit : Nous ommençonspar introduire

la notion de trdag (Setion 4.1), et elle de grammaire normalisée (Setion 4.2), qui

nous serviront pour modéliser les douments XML ompressés. Dans les Setions 4.3

et 4.4 nous onstruisons nos sept automates, et présentons notre approhe pour les

requêtes dites de base. Les résultats sur la omplexité de notre méthode se trouvent

danslaSetion4.5. LaSetion4.6estonsaréeàl'évaluationdesrequêtesomposées:

onjontives,disjontiveset imbriquées. Finalement,danslaSetion4.7,nous adaptons

notreapprohe, pourpouvoir déduire, àpartirde laREPONSEàunerequêtedonnée

Q

surundoumentompressé

t

^,laREPONSEà

Q

^surl'arbre

b t

^{équivalentà}

t

^{. Notonsque}

laméthode présentéeii aété publiéedans[30 ℄.

4.1. Représentation ompressée de douments arboresents

LesvolumesdedonnéesreprésentéespardesdoumentsXMLsontengénéraltrès

importants. Par onséquent,les arbresXMLpeuventouperbeauoupd'espaede

mémoire. Deplus, lareprésentation arboresenten'est paslaplusoptimale,ar sur

un arbre la même information peut être représentée plusieurs fois par exemple,

lapremière,deuxièmeetquatrièmefeuillede l'arbredelaFigure4.1représentent la

même information

a

^{. De nombreusesreherhessur une} présentation plus éonome des douments XML ont été menées durant la dernière déennie. Diérentes

mé-thodesdeompressiond'arbresXMLontétédéveloppées(voirlaSetion 1.3). Dans

etravailonutiliseralesgraphesorientéssansylesdags(del'anglaisdiretedayli

graphs) pour représenter des douments XML. Notons qu'une telle vision permet

d'obtenir un gain exponentiel d'espae de stokage d'un doument, par rapport à

l'espae néessaire pour stoker le même doument sous forme arboresente. On

introduit maintenant lanotion de trdag grapheà l'aideduquel on modélisera un

doument XML ompressé ounon ompressé.

Dénition 4.1. Soit un alphabet de symboles

Σ

^{. Un trdag sur}

Σ

^{est un ouple}

t = ((N odes t , Edges _t ), name t )

^{, où}

(N odes t , Edges _t )

^{est un dag, ayant un seul}

n÷ud raine noté

root t

^{, où les arêtes sortant du même n÷ud sont ordonnées, et}

name _t : N odes _t → Σ

^{est une fontion, assignant à haque n÷ud}

v

^de

t

^{un nom}

name _t (v) ∈ Σ

^.

Remarquons que tout arbre ordonné, étiqueté par des symboles d'un alphabet

Σ

^,

est un trdag sur

Σ

^{, mais la réiproque est fausse. La Figure 4.1 représente trois}

trdags sur

Σ = {a, b, f }

^{, dont seulement lepremier à gauhe est un arbre. Notons}

compressé

f

a b

a a

f

a b

f

a b a

arbre partiellement

compressé totalement

Figure4.1. Exemplesdetrdags

aussi, que dans le as où

t

^{n'est pas un arbre, deux diérents enfants d'un n÷ud}

peuventêtrereprésentés parunseul n÷uddu

t

^{. Parexemple,surletrdagaumilieu}

delaFigure4.1, lepremier,deuxièmeainsiquelequatrièmeenfantdelaraine sont

représentésparlemêmen÷udayant lenom

a

^{. Unn÷uddonnéd'untrdagpeutalors}

représenter son propre frère,ou avoirplus qu'un père.

Soit

t

^{untrdagdonné. Pour haquen÷ud}

v

^de

t

^{,ondénitd'unefaçonréursive}

l'ensembledespositions représentées par

v

^sur

t

^,noté

pos _t (v)

^:

•

^si

v = root t

^,alors

pos t (v) = {ε}

^,

•

^si

v 6= root _t

^{, alors}

pos _t (v) = {α.i | α ∈ pos _t (w),

^où

w ∈ P arents _t (v)

^et

γ(w) = (u 1 , . . . , u _i−1 , v, u _i+1 , . . . , u _n )}

^.

Ondénit ensuitel'ensembledespositions dutrdag

t

^,noté

P os t

^{,par :}

P os _t = [

v∈N odes t

pos _t (v).

La fontion

name t

^{peut être} naturellement étendue à l'ensemble

P os t

^{; il sut de}

poser:

name _t (α) = name _t (v),

^{pour tout}

α ∈ pos _t (v).

Notons que, si

t

^{est un arbre, les ensembles}

N odes _t

^et

P os _t

^{sont en une bijetion}

naturelle,etpeuvent êtreonfondus.

Soituntrdag

t

^{surunalphabet}

Σ

^{. Onappellearbre équivalent à}

t

^,unarbresur

Σ

(uniqueàisomorphisme près),noté

b t

^{,quipeutêtre onstruitd'une façonanonique}

(voir[35℄), enposant :

N odes _{b t} = P os _t ,

⁽

b t

⁾

Edges _{b t} = {(α, α.i) | α, α.i ∈ P os _t },

name _{b t} (α) = name _t (α).

Ondiraalors que

t

^{estune ompression de}

b t

^{. Onappelle surjetion deompression,}

lasurjetion

c : N odes _{b t} → N odes _t

^{,dénie par :}

c (α) = v,

^{sietseulement si}

α ∈ pos t (v).

Par

t| v

^{on désignera le soustrdag de}

t

^{, rainé en}

v

^{. On dira qu'un trdag}

t

^est

totalement ompressé, si et seulement si, pour toute paire

v, u

^{de n÷uds de}

t

^{: si}

v 6= u

^{,alors les arbres}

c t| v

^et

t| c u

(équivalents aux soustrdags

t| v

^et

t| u

^{) nesont pas}

isomorphes. Tout trdag qui n'est pas totalement ompressé sera dit partiellement

ompressé. Sur la Figure 4.1 on présente un trdag totalement ompressé (elui au

milieu), etdeuxtrdags partiellement ompressés(à gauhe età droite).

Commedansleasd'unereprésentationarboresente,ononfondraundoument

XML donné ave le trdagquile représente.

4.2. Trdag vu omme grammaire

On onstruit maintenant une grammaire assoiée à un trdag

t

^{. On utilisera}

ensuitelegraphededépendanedeettegrammairepourévaluerdesrequêtesXPath

surle doument

t

^.

Dénition 4.2. Soitun trdag

t

^{donnée. On appellegrammaire normalisée assoiée}

à

t

^{,unegrammairerégulière d'arbres,notée}

L t

^{,quisatisfaitlesonditionssuivantes:}

1.

L t

^{n'aepte que}

t

^,

2. lenombre denonterminaux de

L t

^{est égal au nombre de n÷uds du}

t

^,

3. pour haque nonterminal

A _i

^{, il existe exatement une prodution de la forme}

A i → σ(A j ₁ , . . . , A j _k )

^{, telle que pour tout}

r ∈ {1, . . . , k}

^{, on a}

i < j r

^{; on note}

alors

Sons(A _i ) = {A j 1 , . . . , A _{j k} }

^{, et}

symb _{L t} (A _i ) = σ

^.

Bien évidemment, une telle grammaire peut être produite en temps linéaire par

rapport à la taille (nombre d'arêtes) du trdag orrespondant, et elle est unique au

renommage des nonterminaux près. La Figure 4.2 présente un trdag

t

^{et la}

gram-maire normalisée

L t

^{assoiée. Les onditions}

2

^et

3

^{de laDénition 4.2} impliquent,

b

:

c

b a

t f _{L t :}

A ₁ → f (A ₂ , A ₃ , A ₄ , A ₅ , A ₂ ), A ₂ → c,

A ₃ → a(A 5 ), A ₄ → b, A ₅ → b

Figure 4.2. Un trdag

t

^{etsa grammairenormalisée}

L t

enpartiulier, quel'ensembledesn÷udsde

t

^{etl'ensembledes}nonterminauxde

L t

sont en bijetion préservant les symboles. Onremarque que la grammaire

normal-iséede

t

^{estunegrammaire}straightline,danslesensdénidans[17 ℄,.àd.,haque nonterminal produitexatement un soustrdag de

t

^{,etil n ya pasde yles dans}

larelation dedépendane entre lesnonterminaux de

L t

^.

Soituntrdag

t

^{,etsagrammairenormalisée}

L t

^{. Notonspar}

n

^{lenombreden÷uds}

de

t

^{. Onappelle graphe dedépendane de}

L t

^,ungraphe

•

^omposéde

n

^{n÷uds quiportent les nomsdes}nonterminaux

A ₁ , . . . , A _n

^de

L t

^,

•

^{ontenant une arête orientée du n÷ud}

A _i

^{vers le n÷ud}

A _j

^{, si et seulement si}

A _j ∈ Sons(A i )

^.

On étend e graphe en ajoutant une raine supplémentaire (père de n÷ud nommé

A ₁

^{), qui portele nom}

A ₀

^{;e n÷ud}supplémentaire représentera la raine tive du

doument XML modélisé par

t

^{. A haque n÷ud}

v

^{du graphe de dépendanede}

L t

ainsiétendu, on ajouteunlabel

label(v)

^{déniommesuit :}

label(v) =

( (Root, −),

^si

name(v) = A ₀

(symb _{L t} (A i ), −),

^si

name(v) = A _i

^et

i ∈ {1, . . . , n } .

(Notonsquelelabel

label(v)

^{utilisédanse travail étendlanotiondelabellassique}

de XML :sapremière omposante estle nomd'élément représentépar

v

^{don le}

label au sens de XML , et sa deuxième omposante (qui pourra être

1

^,

0

^{, ou}

−

⁾

nousindiqueralerledun÷ud

v

^{par rapportàlarequêteévaluée,f. lasémantique}

dans la setion suivante.) Le graphe labelé ainsiobtenu, noté

D t

^{, sera appelé rlag}

dedépendane de

L t

^{(rlagétant une}abréviation derooted labeled ayligraph). Le rlagdedépendane

D t

^{neontientjamaisdeuxarêtes}parallèles. Deplus,l'ensemble de n÷uds de

D t

^{, qui portent les noms}

A ₁ , . . . , A n

^{, est en bijetion ave l'ensemble}

de n÷uds de

t

^{; on identiera souvent don un n÷ud de}

t

^{ave son image sur}

D t

^.

Le deuxième graphe sur la Figure 4.3 est le rlag de dépendane de la grammaire

normalisée dutrdag

t

^{représenté à gauhe.}

A

Figure4.3. trdag

t

^,rlag

D t

^{et l'ensembledeshaînons}orrespondants

Soit

t

^{untrdagdonné,}

L t

^sagrammairenormalisée,et

D t

^{legraphededépendane}

orrespondant. Remarquons que le rlag

D t

^{est susant pour enoder des relations}

vertiales(pèrels)représentéespar

t

^{. Néanmoins,fauted'arêtes}parallèles,en'est

pasune manièreappropriée pour représenter lesrelations horizontales(entre frères)

du

t

^{. Pour es dernières, on utilisera une autre famille de graphes, dont voii la}

onstrution :

Pourhaqueprodution

A i → σ(A j ₁ , . . . , A j _k )

^de

L t

^{,ononstruitungraphelinéaire}

ontenant

j _k

^{n÷uds nomméspar}

A _{j 1} , . . . , A _{j k}

^,telque:

•

^{pour tout}

l ∈ {1, . . . , k − 1}

^{, le n÷ud portant le nom}

A _{j l}

^{soit le père du n÷ud}

portant le nom

A _{j l+1}

^.

On omplète e graphe en ajoutant un n÷ud raine (tive) portant le nom

A ⁰ _i

^.

Ensuite, à haque n÷ud

v

^{d'un tel graphe étendu, on dénit un label de la façon}

suivante :

label(v) =

( (Root _i , −),

^si

name(v) = A ⁰ _i

(symb _{L t} (A j _l ), −),

^si

name(v) = A _{j l} .

Le graphe ainsi obtenu sera appelé

i

^{ème haînon de}

L t

^{, et sera noté}

F i

^{. On}

notera par

F 0

^{le graphe omposée de deux n÷uds : la raine portant le nom}

A ⁰ ₀

et le label

label(v) = (Root ₀ , −)

^{, et son unique ls portant le nom}

A ₁

^{et le label}

(symb L t (A 1 ), −)

^{. A droite de la Figure 4.3 on représente les haînons}

F 0

^,

F 1

^et

F 3

^, orrespondants aux produtions de la grammaire normalisée

L t

^{donnée sur la}

Figure4.2.

Soit un doument

t

^{(ompressé ou non), et une requête}

Q

^{. Pour trouver la}

REPONSE à

Q

^sur

t

^{, on utilisera les runs des automates de mots onstruits}

dans la suite de e hapitre sur le rlag

D t

^{et sur les haînons de la grammaire}

L t

^{assoiée. L'absene d'arêtes parallèles sur le rlag}

D t

^{implique que e dernier}

fournit une représentation très onise du doument

t

^{(souvent plus onise que}

t

luimême). C'estavantageuxpourlaomplexitédenotreapprohed'évaluation,qui

est (voir laSetion 4.5) linéaire par rapportà lataille du graphesur lequelourent

nosautomates. Notons aussique l'approhe présentéedansles Setions4.34.6 sert

à trouver tous les n÷uds qui répondent à la requête

Q

^sur

t

^{. Dans la Setion 4.7,}

on adaptera ette méthode pour déduire quels sont les n÷uds qui répondent à la

requête

Q

^surlareprésentation arboresente de

t

^.

4.3. Évaluation de requêtes à l'aide des automates de mots

L'approhe que l'on présente dans e hapitre, pour évaluer des requêtes

posi-tives de Core XPath sur les douments ompressés, est appropriée aux douments

représentés sous une forme totalement ou partiellement ompressée, ou sous une

forme déployée arboresente. Elle ouvre es requêtes en forme standardisée

Q _std

(voirlaSetion 2.4) quel'on peutgénérer à l'aidede lagrammairesuivante:

S _std : Root |

^A::

x | S _std and S _std | S _std or S _std E _std :

^A::

∗

^[

S _std

^℄

|

^A::

∗

^[

E _std

^℄

Q std :

^//

∗ |

^//

∗

^[

S std

^℄

|

^//

∗

^[

E std

^℄.

Toutes les requêtes onsidérées dans e hapitre seront de e type. Notons que

notre approhe peutêtre naturellement étendue à toutes les requêtes standardisées

généréesàpartir delagrammairedonnéedanslaTable2.3,même ellesdelaforme

//

∗

^[

Y _std conn Y _std

^{℄. Laméthodeprésentéeiiestbaséesurseptautomatesdemots}

A _Q

^,orrespondant auxseptrequêtes,appeléesrequêtes debase,quisontdelaforme

Q =

^//

∗

^[axis::

σ

^{℄,oùaxisestunaxedebasedeCoreXPath. Soientundoument}

t

^{,et une requête de base}

Q =

^//

∗

^[axis::

σ

^{℄. Pour évaluer}

Q

^sur

t

^{, on utilisera le}

run topdownde l'automate

A _Q

^:

•

^{siaxisestunaxevertial,alors l'automate}

A _Q

^{ourrasurlerlagde dépendane}

D t

^{dénidanslasetion préédente,}

•

^{siaxisest unaxe}horizontal, alors l'automate

A _Q

^{ourrasur l'ensemble detous}

leshaînons de lagrammaire

L t

^assoiéeà

t

^.

Notons que

A Q

^est nondéterministe (plusieurs runs possibles sur le même rlag), maisgrâe à une stratégie dite de priorité maximale, on dénira e qu'on appellera

runde prioritémaximale (voirlaDénition4.4) quiseraunique etserviraàévaluer

larequête

Q

^sur

t

^.

Formalisonsmaintenantlesidéesprésentéesplushaut. Soitunalphabet

Σ

^{. On}

in-troduitquatresymboles

s, η, ⊤, ⊤ ^′

^quin'appartiennentpasà

Σ

^{. Onappellerallpaire}

toutouple appartenant à l'ensemble

{(s, 1), (η, 1), (η, 0), (⊤ ^′ , 1), (⊤, 1), (⊤, 0)}

^{. Ces}

ouples onstituerons par lasuite lesétats de nosautomates. Considérons untrdag

t

^sur

Σ

^{. Dans lasuite dee hapitre, onnotera par}

G t

^:

•

^lerlag

D t

^{,si axisastun axevertial,}

•

^touthaînon

F

^de

L t

^{,siaxis estun axe}horizontal.

On dénit lafontion

llab : N odes _{G t} → Σ ∪ {s, η}

^{,omme la projetion de}

label(v)

sursapremière omposante :

llab(v) = π ₁ (label(v)),

^{pour tout}

v ∈ N odes _{G t} .

Ainsi lelabel au n÷ud

v

^{est une paire ordonnée, notée}

label(v)

^{, etle llab au n÷ud}

v

^{estlapremière omposante de ettepaire. Pendant} l'évaluationdesrequêtes

om-posées(Setion4.6),leslabelsvont évoluer,etles n÷udsdurlag

D t

^{serontrelabelés}

par des llpaires (parfois plusieurs fois) avant d'obtenir la REPONSE à la requête

onsidérée. Le label

label(v)

^{nous informera} onformément à la sémantique de laTable4.1 surle rle du n÷ud

v

^{par rapportà lapartie de larequêteque l'on}

vient d'évaluer : n÷ud séletionnéou non (premièreomposante), ayant ounon un

desendant séletionné(deuxièmeomposante).

L'automate

A _Q

^{qui permetd'évaluer la requête de base}

Q =

^//

∗

^[axis::

σ

^{℄, où}

σ ∈ Σ ∪ {∗}

^{,est dénit ommeunuplet}

A _Q = (Σ ∪ {s, η}, States Q , {init}, ∆ _Q ),

où

States _Q ⊆ {init} ∪ {(s, 1), (η, 1), (η, 0), (⊤ ^′ , 1), (⊤, 1), (⊤, 0)}

^{est l'ensemble des}

états,

init

^{estleseul étatinitial, et}

∆ Q

^{estl'ensemble des}transitionsde laforme

(q, τ ) → q ^′ ,

où

q, q ^′ ∈ States Q

^{, et}

τ ∈ Σ ∪ {∗, s, η}

^{. La omposition des ensembles}

States Q

et

∆ _Q

^{varie suivant l'axe axis utilisé par la requête}

Q =

^//

∗

^[axis::

σ

^{℄. Les sept}

automates

A _Q

^, orrespondant aux sept requêtes de base

Q =

^//

∗

^[axis::

σ

^{℄ sont}

représentés sur les Figures 4.4, 4.64.11. La onstrution des automates

A Q

^obéit

auxrègles généralessuivantes:

Remarque 4.1. Pour toutes les transitions

(q, τ ) → q ^′

^del'automate

A Q

^{, on a :}

(i)

^si

τ = σ

^{, alors}

q ^′ ∈ {(⊤ ^′ , 1), (⊤, 1), (⊤, 0)}

^,

(ii)

^si

τ 6= σ

^{, alors}

q ^′ ∈ {(s, 1), (η, 1), (η, 0)}

^,

(iii)

^{toute transition allant d'unellpaire ave la deuxièmeomposante}

0

^{, vavers}

une llpaire ave la deuxième omposante

0

^.

Soient une requête de base

Q =

^//

∗

^[axis::

σ

^{℄, l'automate}

A _Q

orrespondant, undoument

t

^{,etle rlag}

G t

^{. Voii omment ondénit lerun de}

A _Q

^sur

G t

^.

Dénition 4.3. Le run de l'automate

A _Q

^sur

G t

^{est une fontion}

r : N odes _{G t} → States _Q

^,dénie réursivement omme suit: pour tout

v ∈ N odes _{G t}

•

^si

llab(v) = Root

^,ou

llab(v) = Root i

^{, alors}

r(v) = init

^,

•

^si

v

^{n'est pas la raine de}

G t

^{, alors}

r(v)

^{est une llpaire, telle que pour tout}

w ∈ P arents(v)

^{, la transition}

(r(w), llab(v)) → r(v)

^{soit dans}

∆ Q

^.

Lerun

r

^del'automate

A _Q

^sur

G t

^{estainsiunefontiononstruitedefaçonréursive,}

topdown(suivanttouslesheminsrainefeuillede

G t

^{). Elleassignel'étatinitialàla}

rainede

G t

^{,etensuiteunellpaire}

r(v)

^àhaquen÷ud

v

^de

G t

progressivement. Soit

v

^{un n÷udde}

G t

^{. La deuxième onditionde ladénition impose, que pour pouvoir}

dénir la valeur

r(v)

^{, il faut d'abord onnaître les valeurs}

r(w)

^{,pour haque n÷ud}

w

^pèrede

v

^{. De plus, l'état}

r(v)

^{doitêtre onforme (parrapportaux}transitions de

∆ Q

^{) ave tous les états}

r(w)

^{, pour tout n÷ud}

w

^{père de}

v

^{. La Remarque 4.1et la}

Dénition4.3impliquentquel'état

r(v)

^{esttoujoursdéterminé par}

llab(v)

^,.àd.,:

• r(v) = init

^,si

llab(v) = Root

^,

• r(v) ∈ {(⊤, 0), (⊤, 1), (⊤ ^′ , 1)}

^,si

llab(v) = σ

^,

• r(v) ∈ {(η, 0), (η, 1), (s, 1)}

^{, si}

llab(v) 6= σ

^.

Pour simplier la notation, on pose

η ^′ := s

^{, et on utilisera souvent la notation}

{(l, 0), (l, 1), (l ^′ , 1)}

^,ou

l ∈ {η, ⊤}

^{,pourdésignerlegroupe desllpairesenquestion.}

Soit une requête de base

Q

^{,et l'automate}

A _Q

^{assoié. Comme nous allonsvoir}

danslesSetions4.3.1et4.3.2,nosautomatesnesontpasdéterministes,donàpriori

il existe plusieurs runs possibles de

A _Q

^{sur le même rlag}

G t

^{. Pourtant l'automate}

A _Q

^{est onstruit pour que sur tout rlag}

G t

^{, il existe un seul run de}

A _Q

^{qui permet}

d'évaluerla requête

Q

^{surle doument}

t

^{. Cerun assignera à haquen÷ud}

v

^de

G t

^,

unétatdontlasémantiquenousinformeraquelleestlasigniationde

v

^parrapport

àlarequêteonsidérée. Lasémantiquedesétatsdel'automate

A Q

^,orrespondantà larequêtedebase

Q =

^//

∗

^[axis::

σ

^{℄,estprésentéedanslaTable4.1. Soitunétat}

(ℓ, x)

^{assigné à un n÷ud}

v

^de

G t

^{,par lerun de l'automate}

A _Q

^{,évaluant larequête}

Q

^sur

t

^{. La première omposante}

ℓ

^{, nous dit si le n÷ud}

v

^{répond (}

ℓ ∈ {s, ⊤ ^′ }

^{) ou}

non(

ℓ ∈ {η, ⊤}

^{) àlarequête}

Q

^{. Ladeuxième omposante}

x = 1

^(resp.

x = 0

^),nous

informesilen÷ud

v

^{possèdeaumoinsun(resp. nepossèdeauun)n÷uddesendant}

qui répond à

Q

^{. Par suite,} onformément à la sémantique présentée dans la Table 4.1, les états

(s, 1)

^et

(⊤ ^′ , 1)

^{seront appelés} séletionnant. Le onept d'utiliser des étatsenformedeouplesesttrèspratique,arilpermetdereprésenterlaREPONSE

à larequête

Q

^{,d'une façon onise. En eet,pour} représenter la partie du rlag

G t

^,

quiontienttouteslesréponsesà

Q

^{,ilsutdegarderseulement esn÷udsauxquels}

lerun a assignéunétat dont ladeuxièmeomposanteest

1

^{(voirl'Exemple 4.4).}

nom d'état assignable au n÷ud

v

^{tel que}

(s, 1) llab(v) 6= σ

^et

v

^{est une réponseà}

Q (η, 1) llab(v) 6= σ

^et

v

^{n'est pasune réponseà}

Q

^,

maisilexiste un desendant de

v

^{répondant à}

Q (η, 0) llab(v) 6= σ

^et

v

^{n'est pasune réponseà}

Q

^,

etauun desendant de

v

^{n'est pasune réponseà}

Q (⊤ ^′ , 1) llab(v) = σ

^et

v

^{est une réponseà}

Q

(⊤ , 1) llab(v) = σ

^et

v

^{n'est pasune réponseà}

Q

^,

maisilexiste un desendant de

v

^{répondant à}

Q (⊤, 0) llab(v) = σ

^et

v

^{n'est pasune réponseà}

Q

^,

etauun desendant de

v

^{n'est pasune réponseà}

Q init llab(v) = Root

^ou

llab(v) = Root _i

Table4.1. Lasémantiquedesétatsdel'automate

A Q

orrespondantà

Q =

^//

∗

^[axis::

σ

^℄

Surl'ensemble desllpaires,on introduit unordre partiel, ditordre depriorité :

(η, 0) > (η, 1) > (s, 1)

^et

(⊤, 0) > (⊤, 1) > (⊤ ^′ , 1).

L'unique run de

A Q

^{évaluant la requête}

Q

^{, sera appelé run de priorité maximale.}

Pouronstruireerun,onutiliseequ'onappelleunestratégiedeprioritémaximale,

quiexigequelerun

r

^del'automate

A _Q

^surlerlag

G t

^{doiveêtreune fontiontotale,}

etpourtoutn÷ud

v

^de

G t

^,lallpaire

r(v)

^{doiveêtrelaplus}prioritairepossibleparmi toutes les llpairesqui peuvent être assignéesà

v

^{en utilisant les}transitions de

A _Q

^.

Cettestratégieexpliquelehoixde prioritéentrelesllpaires: onpose

(l, 0) > (l, 1)

pour nepas assigner

(l, 1)

^{à un n÷udqui ommeneune branhe ou il n'ya pasde}

n÷uds répondant à

Q

^{, et}

(l, 1) > (l ^′ , 1)

^{pour ne pas}séletionner des n÷uds qui ne répondent pasà

Q

^{. Voii ladénitionformelle du run depriorité maximale.}

Dénition 4.4. (MP) Soientunerequête debase

Q

^,l'automate

A _Q

orrespondant, un doument

t

^{, et son rlag}

G t

^{assoié. Une appliation}

r : N odes _{G t} → States Q

^est

appelée runde priorité maximale de

A _Q

^sur

G t

^{siet seulement si, pour toutn÷ud}

v

de

G t

^{,ellesatisfait les onditions suivantes :}

• r(v)

^{est déni (}

r

^{est totale),}

• r(v)

^{est déterminé par}

llab(v)

^,

•

^{pour haque n÷ud}

w

^{parent de}

v

^{, l'automate}

A _Q

^{ontient la transition de la}

forme

(r(w), llab(v)) → r(v)

^,

• r(v)

^{est la llpaire maximale par rapport à l'ordre de priorité, qui satisfait les}

onditions préédentes.

Remarquons que la deuxième et la troisième ondition de la dénition idessus,

impliquent que le run de priorité maximale de

A Q

^sur

G t

^{est bien un run au sens}

de la dénition 4.3. La quatrième ondition de la Dénition 4.4 garantit que le

run de priorité maximale de

A _Q

^sur

G t

^{est unique. Grâe à ette uniité, on dira}

que l'automate

A Q

^{est nonambigu, et par la suite on ne sera intéressé que par}

le run de priorité maximale. Sans mention ontraire, le mot run désignera le run

de priorité maximale. On prouve dans la Proposition 4.1, que le run de priorité

maximale de

A _Q

^sur

G t

^{, est le seul run qui permette d'évaluer la requête}

Q

^{sur le}

doument

t

^{. Dans la Setion 4.5 on donne un algorithme qui onstruit le run de}

priorité maximalede l'automate

A Q

^{,surunrlagdonné}

G t

^{. Onymontreégalement,}

qu'une telleonstrution est linéaire par rapportaunombred'arêtesde

G t

^.

4.3.1. Requêtes utilisant les axes vertiaux

Dansette setionon présente les automates

A _Q

orrespondant auxrequêtes de base

Q =

^//

∗

^[axis::

σ

^{℄,oùaxisestself, hild,parent,desendant,anestor.}

Automate pour

Q =

^//

∗

^[self::

σ

^℄

La Figure 4.4 présente l'automate

A Q

^{, permettant d'évaluer la requête de base}

Q =

^//

∗

^[self::

σ

^{℄. Cet automaten'aquequatreétats :}

init, (η, 0), (η, 1)

^et

(⊤ ^′ , 1)

^.

σ init

η , 1

T ’ , 1

= σ γ

= σ γ

= σ γ

= σ

= σ γ γ

= σ γ

= σ γ

η , 0

σ σ

Figure 4.4. Automate

A Q

^,où

Q =

^//

∗

^[self::

σ

^℄

Ce sont les seules llpaires onformesave la sémantiquedonnée dansla Table 4.1.

Ce sont les seules llpaires onformesave la sémantiquedonnée dansla Table 4.1.

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