Synth` ese

Ainsi, les m´ethodes conventionnelles d’interpolation ne permettent pas de tenir compte de l’information relative au mod`ele d’´ecoulement et de transport. Or, les approches d’inter- polation associ´ees `a des m´ethodes inverses (Shlomi et Michalak, 2007; Schwede et Cirpka, 2010) illustrent bien l’int´erˆet d’utiliser le mod`ele physique lors de l’estimation de la concen- tration. Ceci est d’autant plus vrai puisque les ´etudes de mod´elisation stochastique montrent que le mod`ele physique a une forte empreinte sur les moments statistiques obtenus lorsque la conductivit´e hydraulique du milieu est consid´er´ee incertaine.

Ainsi, l’int´egration d’information concernant le mod`ele de transport apparaˆıt primordiale pour l’am´elioration des approches d’interpolation directes, telle que le krigeage. Un d´efi se pose car les r´esultats de la mod´elisation stochastique du transport montrent que le mod`ele probabiliste de la concentration est non stationnaire. Autrement dit, la fonction de densit´e de probabilit´e de la concentration, et par cons´equent ses moments statistiques, varient spa- tialement. La mod´elisation d’une fonction de covariance non stationnaire par des approches bas´ees sur la m´ethode des perturbations est limit´ee `a des champs de conductivit´e hydraulique statistiquement homog`enes et peu variables. L’approche de Monte Carlo requiert quant `a elle des temps de calcul qui peuvent ˆetre difficilement justifiables pour la production de cartes de concentration lors de phases pr´eliminaires de caract´erisation de site ou pour des projets de petite envergure. Les techniques pr´esent´ees `a la section 2.3 montrent qu’il est possible de sp´ecifier directement un mod`ele non stationnaire pour l’estimation d’une fonction al´eatoire. D’une part, une transformation spatiale bas´ee sur les coordonn´ees naturelles d’´ecoulement permet de simplifier l’anisotropie d’un mod`ele de transport. D’autre part, les mod`eles de covariance bas´es sur la convolution de noyaux gaussiens peuvent ˆetre facilement param´etris´es afin de repr´esenter la variation spatiale d’un ph´enom`ene donn´e. Ainsi, en s’appuyant sur un

mod`ele conceptuel de l’´ecoulement et sur certains r´esultats concernant les moments statis- tiques de la concentration, on propose la mod´elisation directe d’une fonction de covariance non stationnaire approximative bas´ee sur le mod`ele d’´ecoulement afin d’am´eliorer le krigeage de la concentration de contaminant dans l’eau souterraine. Le chapitre suivant se penche sur les aspects m´ethodologiques d’une telle approche.

CHAPITRE 3

KRIGEAGE NON STATIONNAIRE DE LA CONCENTRATION DANS L’EAU SOUTERRAINE

La m´ethodologie pr´esent´ee dans ce chapitre vise `a sp´ecifier directement un mod`ele de covariance non stationnaire approximatif pour la concentration de contaminant dans l’eau souterraine. Ce mod`ele est bas´e sur l’utilisation conjointe d’une transformation de coordon- n´ees bas´ee sur l’´ecoulement et de la classe de mod`eles de covariance non stationnaires propos´ee par Higdon et al. (1999).

On cherche ainsi `a contourner les restrictions li´ees `a l’obtention d’un mod`ele de covariance non stationnaire par la m´ethode des perturbations (faible variabilit´e de la conductivit´e hy- draulique) ou par l’approche de Monte Carlo (temps de calcul). L’approche propos´ee vise `a ˆ

etre applicable dans un contexte o`u l’on dispose de peu d’information concernant la position de la source et son intensit´e, car elle ne requiert aucune mod´elisation du transport.

Le calcul des coordonn´ees d’´ecoulement n´ecessite la disponibilit´e d’un mod`ele hydrog´eo- logique. Ce mod`ele est construit `a l’aide de l’information recueillie sur le site et de l’interpr´e- tation de l’hydrog´eologue. On consid`ere donc que la g´eologie, les propri´et´es du milieu et les conditions fronti`eres sont connues partiellement et que la synth`ese de l’information disponible permet la construction d’un mod`ele conceptuel. Une partie de l’incertitude provient ainsi de l’´ecart entre ce mod`ele et la r´ealit´e, lequel n’est pas quantifiable pour des syst`emes naturels (Oreskes et al., 1994). Selon l’information disponible et les besoins de l’´etude, diff´erentes op- tions peuvent ˆetre envisag´ees :

1. utilisation d’un mod`ele d’´ecoulement cal´e sur des observations de charge hydraulique ; 2. sp´ecification de mod`eles d’´ecoulement qui correspondent `a des interpr´etations g´eolo-

giques concurrentes ;

3. simulation de plusieurs champs de conductivit´e hydraulique ´equiprobables.

Il est `a noter que le dernier cas constitue une approche de Monte Carlo. Toutefois, contrai- rement aux approches ´evoqu´ees au chapitre 2, cette variante ne n´ecessite pas la simulation du transport puisque les concentrations sont estim´ees par krigeage.

Dans l’approche propos´ee ici, le passage `a des coordonn´ees d’´ecoulement facilite la mod´eli- sation de l’anisotropie, en permettant de tenir compte des variations de la direction d’´ecoule- ment, ainsi que de la convergence et la divergence des tubes de courant. Une telle transforma- tion en coordonn´ees d’´ecoulement est valable pour un syst`eme o`u les conditions d’´ecoulement sont en r´egime permanent, de mani`ere `a ce que qu’il y ait effectivement une continuit´e spatiale le long des tubes de courant. De son cˆot´e, le type de fonction de covariance utilis´e permet de faire varier la port´ee spatiale et la variance de la concentration en fonction des coordonn´ees d’´ecoulement. Un aspect important est que la param´etrisation de la fonction de covariance se voit simplifi´ee par la transformation de coordonn´ees.

La figure 3.1 illustre l’approche propos´ee comparativement aux approches convention- nelles. On y voit que le krigeage en coordonn´ees cart´esiennes ne permet pas de tenir compte d’une anisotropie variable. De plus, une simple transformation de coordonn´ees tient unique- ment compte de la non-stationnarit´e associ´ee `a l’advection et non d’´eventuelles variations de la port´ee spatiale ou de la variance. L’approche propos´ee (en encadr´e) permet de tenir compte conjointement des variations de la direction d’anisotropie et des variations de la corr´elation spatiale.

x h Coordonnées d'écoulement + Anisotropie globale Coordonnées cartésiennes + Anisotropie globale h h h h Cov(Z(xi*),Z(xj*))=C(r*) Cov(Z(xi),Z(xj))=C(r) r r*

Figure 3.1 Sch´ematisation de diff´erentes approches de krigeage.

Dans les sections suivantes, on se penche d’abord sur divers aspects th´eoriques et op´e- rationnels li´es `a la m´ethodologie propos´ee. `A la section 3.1, on pr´esente les coordonn´ees d’´ecoulement et les outils num´eriques utilis´es pour les obtenir. La section 3.2 est d´edi´ee `a la

pr´esentation du mod`ele de covariance non stationnaire, `a la param´etrisation propos´ee pour celui-ci, de mˆeme qu’`a la m´ethode utilis´ee pour estimer les param`etres. La section 3.3 d´etaille les ´equations de krigeage. Finalement, la section 3.4 pr´esente les normes d’´evaluation utilis´ees pour ´evaluer la performance de l’approche lors des ´etudes de cas synth´etiques aux chapitres 4 et 5.