R´ esultats du krigeage

Visuellement, l’approche de krigeage non stationnaire a permis d’am´eliorer le r´ealisme des cartes de concentration interpol´ees. Ces am´eliorations se refl`etent avant tout dans les statistiques comparatives li´ees `a la d´elimitation du panache, telles que le ϕ de Pearson et la corr´elation r. L’am´elioration est moins syst´ematique dans le cas des statistiques associ´ees `a l’estimation de la masse et du volume de contaminant (RAEm, RAEvol). La statistique de validation crois´ee, RMSE, pr´esente de tr`es l´eg`eres diminutions pour les mod`eles obtenus par l’approche de krigeage propos´ee.

Les fonctions de covariance non stationnaires, combin´ees `a la transformation de coor- donn´ees, ont ´egalement des implications appr´eciables sur la variance d’estimation. Pour un mod`ele de covariance stationnaire, il est fr´equemment reproch´e `a la variance de krigeage de tenir uniquement compte de la disposition g´eom´etrique des donn´ees. Ceci est toujours vrai avec le mod`ele non stationnaire dans l’espace des coordonn´ees d’´ecoulement. Par contre, le fait de param´etriser une diminution de la variance en fonction de l’´ecoulement produit une variance d’estimation qui tient compte du processus physique sous-jacent. Sans quelle soit ´

equivalente aux variances obtenues par mod´elisation stochastique, la variance d’estimation obtenue avec les mod`eles non stationnaires s’en approche par ses nouvelles caract´eristiques. Ces r´esultats sont int´eressants, puisque le potentiel pour des r´esidus ´elev´es est plus important pr`es de la source (continue) que loin de celle-ci. De plus, la variance d’estimation repr´esente bien le fait que l’on ne connait pas la position exacte de la source. L’examen des r´esidus normalis´es (non pr´esent´e ici) pour les mod`eles NS2 et NS3 de l’exemple 1 montre des valeurs importantes de |cR−c∗

σe | pr`es de la source, sugg´erant que la variance de krigeage n’est pas

suffisamment ´elev´ee pour ˆetre compl`etement repr´esentative des erreurs dans l’estimation des valeurs ´elev´ees retrouv´ees dans ce secteur, et ce malgr´e les am´eliorations not´ees. Ailleurs sur le domaine, les r´esidus normalis´es ´etaient compris entre± 2.

L’estimation est effectu´ee par krigeage ordinaire lequel suppose une moyenne (non condi- tionnelle) constante. Bien qu’une telle moyenne ne soit pas r´ealiste compte tenu du mod`ele physique, celle-ci a permis d’obtenir des r´esultats plus probants qu’en ayant recours au kri- geage avec d´erive externe avec une moyenne mod´elis´ee comme une d´ecroissance lin´eaire. Un biais important a ´et´e observ´e avec cette d´erive puisqu’elle entraine une surestimation des concentrations dans la partie amont du domaine, de part et d’autre du panache. Ceci est dˆu au fait que la moyenne locale est plus ´elev´ee dans cette zone et que le krigeage tend `a retrouver la valeur de la moyenne loin des donn´ees. De plus, une d´erive d´ecroissante peut ´

eventuellement mener `a l’estimation de valeurs de concentration n´egatives dans la partie aval du domaine, selon l’ajustement. Le probl`eme de biais est plus marqu´e pour le mod`ele stationnaire et en pr´esence de faibles valeurs de port´ees spatiales. Un biais similaire est ´ega- lement pr´esent avec une moyenne constante, mais le probl`eme est de moindre ampleur. Il demeure que ce choix entraˆıne localement une surestimation dans les zones non contamin´ees, ce qui pourrait expliquer les r´esultats parfois incoh´erents obtenus pour l’estimation de la masse et du volume. Une moyenne r´ealiste qui tiendrait compte du profil transversal du pa- nache de contamination am´eliorerait possiblement l’estimation. Par contre, la mod´elisation (param´etrisation) d’une telle moyenne n´ecessiterait vraisemblablement des informations ou des hypoth`eses concernant la position et la taille de la source. En cas de sp´ecification d’une

moyenne non repr´esentative, on risque toutefois des probl`emes de biais similaires `a ceux ´evo- qu´es pr´ec´edemment. Le krigeage ordinaire apparait ainsi comme un choix prudent puisque, pour des points situ´es en dehors de la port´ee des observations, celui-ci tend `a ramener les valeurs krig´ees vers la moyenne (constante) estim´ee `a partir des donn´ees et du mod`ele de covariance.

Les param`etres qui semblent avoir le plus d’impact sur le panache estim´e sont les pa- ram`etres de port´ees transversales, tel que le sugg`ere la comparaison entre les r´esultats du krigeage pour les mod`eles NS2 et NS3 aux exemples 1 et 2. Dans les deux cas, la diff´erence importante entre les panaches est essentiellement li´ee au fait que les port´ees transversales estim´ees pour le mod`ele NS3 sont plus faibles que celles estim´ees pour le mod`ele NS2.

On note qu’une transformation des donn´ees telle que celle utilis´ee par Kitanidis et Shen (1996), dont la transformation logarithmique apparait comme un cas particulier, aurait pu ˆ

etre utilis´ee. Ce type de transformation permet d’´eviter le krigeage de valeurs n´egatives et de tenir compte de l’asym´etrie de la distribution de la concentration. Toutefois, ceci peut intro- duire une d´ependance aux moments statistiques d’ordres sup´erieurs du logarithme plutˆot que dans ceux de la variable originale, dans les valeurs retransform´ees. De plus, celles-ci peuvent ˆ

etre fortement biais´ees si la variance d’estimation de la variable transform´ee n’est pas par- faitement estim´ee (David, 1988; Chil`es et Delfiner, 1999). Cette option est ´egalement rejet´ee pour les raisons ´evoqu´ees au chapitre pr´ec´edent au sujet des incr´ements (et de l’estimation par maximum de vraisemblance restreint), `a savoir qu’une transformation pourrait ´eventuel- lement contribuer `a masquer la structure spatiale postul´ee dans le mod`ele de covariance non stationnaire.

Dans le cas des coordonn´ees alternatives, l’interpolation lin´eaire utilis´ee pour estimer u et v sur l’ensemble du domaine est ´egalement une source d’impr´ecision. Toutefois, les r´esultats pr´esent´es `a l’Annexe C montrent que les r´esultats changent peu pour diff´erentes densit´es de lignes de courant utilis´ees pour interpoler les coordonn´ees d’´ecoulement `a l’int´erieur du mod`ele. Finalement, le fait que la proportionnalit´e des coordonn´ees u et v avec le flux hy- draulique puisse varier localement est ´egalement une source d’impr´ecision. Globalement, ces erreurs num´eriques sur les coordonn´ees se traduisent par des erreurs de positionnement des points dans l’espace, lesquelles peuvent ˆetre prise en compte par l’effet de p´epite (variabilit´e `

a petite ´echelle).

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et´e calcul´ees `a partir du mod`ele d’´ecoulement de r´ef´erence. En pratique, le mod`ele utilis´e est plutˆot un mod`ele conceptuel qui, selon les donn´ees disponibles et leur qualit´e, incorpore les ´

el´ements/structures d´eterminants de l’´ecoulement. Dans le chapitre suivant, on s’int´eresse `a l’impact de l’utilisation d’un mod`ele d’´ecoulement diff´erent du mod`ele de r´ef´erence sur l’es- timation des param`etres et les r´esultats du krigeage et on propose une m´ethodologie pour l’int´egration des donn´ees hydrog´eologiques disponibles.