6.4 Synthèse du correcteur H ∞
6.4.3 Synthèse
La synthèse H∞ est effectuée sur un modèle nominal linéarisé, en considérant que les effets non-linéaires et de couplages du système se comportent comme des perturbations sur l’entrée de commande. Il faudra alors renforcer les propriétés de rejet de perturbations, en plus des contraintes sur la poursuite de trajectoires et la commande fixées par le cahier des charges. De ce fait, le choix d’un schéma de synthèse à 4 blocs s’impose.
En tenant compte du canal de performances sélectionné, le système étendu Ge(s) construit autour du système à commander G(s), est obtenu par la LFT représentée sur la Figure 6.9 inter-connectant le système G(s) au système statique de matrice des gains M : M = On u×ny On u×ny +Inu×nu +Inu×nu −Iny×ny +Iny×ny On y×nu On y×nu On u×ny On u×ny On u×nu +Inu×nu −Iny×ny +Iny×ny On u×nu On y×nu (6.48) !!!!! !!!! ! !!!!! !! !!!!! !!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!
Figure 6.9 – Construction du système étendu Ge(s) à partir du système à commander G(s) pour un schéma de synthèse à 4 blocs
Les contraintes de rejet de perturbations sont très critiques dans notre cas, et sont couplées aux contraintes de poursuite de trajectoires puisque les transferts d’intérêt correspondants sont liés (Ted(s) = Ter(s) G(s)), ce qui introduit un certain compromis à effectuer lors de la synthèse. Afin de découpler ces contraintes, on pro-pose deux types de synthèses, favorisant les contraintes de poursuite de trajectoires ou de rejet de perturbations.
Pour l’élaboration de chacune de ces deux synthèses, on choisira des filtres de pondération diagonaux, notés sous la forme :
6.4. Synthèse du correcteur H∞ 167 où les filtres mono-variables wkp et wkφ façonnent respectivement les dynamiques de la position ou des forces, et les dynamiques de l’orientation ou des moments. Ces filtres sont dimensionnées comme suit :
• Synthèse favorisant la poursuite de trajectoires : Cette première synthèse impose les contraintes de poursuite de trajectoires en relâchant les contraintes de rejet de perturbations. Les propriétés de rejet de perturbations sont renforcées au voisinage de la bande passante du système corrigé à travers les filtres adéquats. Afin d’atteindre les contraintes favorisées, cette synthèse considère les filtres de pondération suivants :
– Choix de W1(s) : le filtre W1(s) impose une marge de module de 0.5, une précision de 10−3 et une bande passante de 5.66 rad/s, en tenant compte du filtre passe-bas sous la forme (6.43) :
w1p(s) = w1φ(s) = 1 2
s + 15
s + 200015 (6.50)
– Choix de W2(s) : le filtre W2(s) limite l’amplification de la commande et l’effet du bruit de mesure en dehors de la bande passante de l’asservissement, en contraignant le transfert Teu(s) = K(s) Sy(s) à forcer le gain du correcteur K(s) à décroitre dans les hautes fréquences. Le filtre dérivateur (6.47) est alors employé pour cela, en agissant dans la bande de fréquences [10−2, 10+4] rad/s :
w2p(s) = w2φ(s) = 1 1000 s + 10−2 1 +1014s !2 (6.51) – Choix de W3(s) : un filtre W3(s) constant permet d’améliorer les propriétés de rejet de perturbations, en réglant l’atténuation en basses fréquences du transfert Ted(s) :
w3p(s) = 1.5 (6.52)
w3φ(s) = 0.3 (6.53)
À partir des filtres de pondération considérés dont les réponses fréquentielles sont représentées sur la Figure 6.10, le problème de synthèse H∞ a été résolu en utili-sant l’implémentation disponible sous Matlab avec la fonction hinfsyn.
Les réponses fréquentielles des valeurs singulières du correcteur optimal déterminé K(s) sont données sur la Figure6.12(a). Que ce soit pour la commande de la po-sition ou de l’orientation, le correcteur présente un gain élevé en basses fréquences pour favoriser une erreur de poursuite nulle et le rejet de perturbations, qui est atténué en hautes fréquences de manière à limiter l’amplitude de la commande et l’effet du bruit de mesure.
Les Figures 6.13(a), 6.14(a), 6.15(a) et 6.16(a) montrent les réponses fréquen-tielles des valeurs singulières des fonctions de transfert d’intérêt en boucle fermée, évoquées dans la synthèse H∞. La valeur obtenue de γ = 0.85 étant légèrement inférieure à 1, les performances réalisées sont légèrement améliorées par rapport à celles imposées par les gabarits fréquentiels des transferts d’intérêt. Les per-formances de poursuite de trajectoires réalisées, sont relevées à partir de la Fi-gure6.13(a)par :
– une bande passante de 7 rad/s pour la position et de 9 rad/s pour l’orientation. – une marge de module de 0.68 pour la position et de 0.78 pour la rotation. – une erreur statique de position en translation et en rotation inférieure à 0.1 %. • Synthèse favorisant le rejet de perturbations : Cette seconde synthèse im-pose les contraintes de rejet de perturbations très critiques dans notre cas, en relâchant les contraintes de poursuite de trajectoires. Les propriétés de poursuite de trajectoires imposent la stabilité (marge de module) du système asservis, alors qu’une bande passante et une précision convenables sont déduites à partir du transfert d’intérêt Ter(s) réalisé.
Afin d’atteindre les performances favorisées, cette synthèse considère les filtres de pondération suivants :
– Choix de W1(s) : le filtre W1(s) impose la marge de module requise de 0.5, en choisissant un filtre W1(s) constant :
w1p(s) = w1φ(s) = 0.5 (6.54) – Choix de W2(s) : le filtre W2(s) limite l’amplification de la commande et de bruit de mesure en dehors de la bande passante du système corrigé, en obligeant le transfert Teu(s) = K(s) Sy(s) à forcer le gain du correcteur K(s) à décroitre dans les hautes fréquences. Le filtre dérivateur (6.47) est également employé pour cela, en agissant sur la bande de fréquences [10−2, 10+4] rad/s :
w2p(s) = 1 500 s + 10−2 1 +1014s !2 (6.55) w2φ(s) = 1 1000 s + 10−2 1 +1014s !2 (6.56) – Choix de W3(s) : le filtre W3(s) est utilisé pour pénaliser les perturbations dans les basses fréquences pour renforcer les propriétés de rejet de perturba-tions. Pour cela, un filtre passe-bas est dimensionné pour agir dans la bande de
6.4. Synthèse du correcteur H∞ 169 fréquences [10−4, 10] : w3p(s) = 10 s + 10 s + 10−4 (6.57) w3φ(s) = s + 10 s + 10−4 (6.58)
À partir des filtres de pondération choisis dont les réponses fréquentielles sont données sur la Figure 6.11, le problème de synthèse H∞ a été résolu en utilisant l’implémentation disponible sous Matlab avec la fonction hinfsyn.
Les réponses fréquentielles des valeurs singulières du correcteur optimal déterminé K(s) sont montrées sur la Figure 6.12(b). Le correcteur K(s) présente une allure satisfaisante pour la commande de la position et de l’orientation, en présentant un gain élevé en basses fréquences pour imposer une erreur de poursuite nulle et le rejet de perturbations, qui est atténué en hautes fréquences de manière à limiter l’excitation de la commande et l’amplification du bruit de mesure.
Les Figures 6.13(b), 6.14(b), 6.15(b) et 6.16(b) affichent les réponses fréquen-tielles des valeurs singulières des fonctions de transfert d’intérêt en boucle fermée, évoquées dans la synthèse H∞. La valeur obtenue de γ = 0.92 étant légèrement inférieure à 1, les performances réalisées sont légèrement améliorées par rapport à celles imposées par les gabarits fréquentiels des transferts d’intérêt. Les per-formances de poursuite de trajectoires réalisées, sont relevées à partir de la Fi-gure 6.13(b)par :
– une bande passante de 6 rad/s pour la position et de 2 rad/s pour l’orientation. – une marge de module de 0.57 pour la position et de 0.61 pour la rotation. – une erreur statique de position en translation et en rotation inférieure à 0.01 %.
Les résultats obtenus à partir des transferts d’intérêt réalisés en boucle fermée conduisent clairement à affiner le compromis entre la rapidité et le rejet de pertur-bations. En effet :
– La synthèse favorisant la poursuite de trajectoires permet d’obtenir un système plus rapide mais moins précis, avec un rejet de perturbations correct en basses fré-quences, mais qui devient très critique en moyennes fréquences avec une résonance (Figure 6.15(a)) qui conduit à un faible amortissement des perturbations. – Cet amortissement est largement amélioré par la synthèse favorisant le rejet de
perturbations (Figure 6.15(b)), qui permet d’obtenir un système moins rapide mais plus précis, avec un meilleur comportement transitoire face aux perturba-tions.