Tmin ≤ T ≤ Tmax
Les performances des méthodes mises en œuvre pour la résolution du problème de distribution des tensions dans les câbles formulé mathématiquement par (4.10), sont généralement évaluées par les 3 principaux critères suivants de :
• continuité des tensions au cours du temps, pour éviter les risques d’instabilités. • sûreté des tensions assurant des tensions non-limites ou suffisamment éloignées
des bords de l’espace des tensions réalisables, pour plus de sécurité et assurer une bonne rigidité du système.
• rapidité et déterminisme du temps de calcul, pour permettre une commande en temps-réel.
Le schéma permettant de résoudre le problème standard de distribution des tensions dans les câbles, représenté sur la Figure 4.1 devra alors être intégré dans les schémas de commande des robots parallèles à câbles.
Robot & Capteurs! Distribution des Tensions !!! !!! !!!
Figure 4.1 – Schéma standard de Distribution des Tensions dans les câbles
4.2 État de l’art sur la distribution des tensions dans les
câbles
En présence de redondance d’actionnement, la résolution du problème de distri-bution des tensions dans les câbles fait appel à un algorithme de distridistri-bution des tensions (en anglais tension ou force distribution, force calculation ou encore re-dundancy resolution), permettant de distribuer correctement les tensions des câbles sans modifier la trajectoire de l’effecteur [Lafourcade 2004a].
Dans le cas d’une redondance d’actionnement simple (r = 1), un calcul direct est possible. Ce cas a notamment été traité en déterminant une solution analytique du problème dans le cas d’un mécanisme à 6 degrés de liberté avec 7 câbles [Fang 2004], ou aussi en proposant un simple algorithme de calcul [Bruckmann 2006a].
En revanche, le cas d’une redondance multiple (r > 1) est un peu plus complexe. Les méthodes existantes peuvent alors être classées en deux catégories :
• Les algorithmes itératifs : les premiers travaux ont opté pour des méthodes itératives, où des problèmes d’optimisation sous contraintes ont été formulés pour choisir un vecteur de tensions optimal admissible, en minimisant un critère, sou-vent une norme du vecteur des tensions des câbles afin de minimiser la consom-mation énergétique des actionneurs. La vitesse de l’effecteur est étudiée comme critère dans [Agahi 2009], et les résultats sont comparés avec ceux obtenus par l’utilisation classique des tensions des câbles comme critère.
Soit le problème d’optimisation sous contraintes pour la distribution des tensions dans les câbles, associé au critère standard représenté par la norme vectorielle p du vecteur des tensions des câbles :
T∗ = arg min T k T kp = p v u u t n X i=1 | Ti |p (4.11) sous : W T = Fe Tmin ≤ T ≤ Tmax
problème très souvent reformulé sous la forme réduite :
T∗ = Tp+ N λ∗ (4.12) λ∗ = arg min λ k λ kp= p v u u tXn i=1 | λi |p (4.13) sous : Tmin− Tp ≤ N λ ≤ Tmax− Tp
En fonction de la norme vectorielle p considérée, on distingue principalement : – les critères linéaires résolus par la programmation linéaire, minimisant
générale-ment la norme 1 (p = 1) du vecteur des tensions des câbles qui a été considérée dans [Ming 1994,Shiang 2000,Oh 2005,Pham 2005,Yu 2009,Vafaei 2010], ou la norme ∞ (p = ∞) utilisée dans [Gosselin 2010a]. Ces techniques sont relati-vement simples mais n’assurent pas la continuité des tensions dans les câbles, à cause des algorithmes numériques itératifs employés pour leur résolution qui passent d’un sommet à l’autre d’un d’un polyèdre convexe entre deux itérations successives. Ces changements brutaux de tensions risquent de provoquer des os-cillations hautes fréquences des câbles, entraînant des problèmes d’instabilités. – les critères quadratiques résolus par la programmation quadratique, minimisant généralement la norme 2 (p = 2) du vecteur des tensions des câbles qui a été usitée dans [Verhoeven 2002, Behzadipour 2004, Oh 2005, Bruckmann 2006a,
Bruckmann 2006b,Gholami 2008,Agahi 2009]. Ces techniques assurent la conti-nuité des tensions dans les câbles, mais nécessitent un temps de calcul non
prévi-4.2. État de l’art sur la distribution des tensions dans les câbles 101 sible à cause des algorithmes numériques itératifs employés pour leur résolution, ce qui ne permet pas leur utilisation pour une commande en temps-réel. Par ailleurs, il a été prouvé que pour des trajectoires continues de l’effecteur, l’uti-lisation des normes vectorielles p = 1 et p = ∞ peut provoquer des discontinuités des tensions et ce même dans des poses non singulières, alors que les normes inter-médiaires 1 < p < ∞ assurent des solutions uniques et continues des problèmes d’optimisation, excepté dans les poses singulières de l’effecteur [Verhoeven 2002]. Des problèmes communs subsistent suite à l’utilisation de la programmation li-néaire et quadratique. En effet, comme ces méthodes visent à minimiser la norme 1 et 2 respectivement, les tensions obtenues sont souvent proches de leurs limites inférieures, provoquant une faible rigidité du système et pouvant engendrer des imprécisions dues aux problèmes d’enroulement des câbles détendus. De plus, le caractère itératif des solveurs utilisés rend ces méthodes sensibles à leur initiali-sation qui n’est pas triviale.
Des améliorations de ces méthodes d’optimisation ont été apportées. Une méthode proposée dans [Borgstrom 2009] présente une nouvelle formulation du problème de programmation linéaire en introduisant une variable de détente à maximiser qui permet de déterminer une distribution des tensions non-limite, ainsi que d’ac-célérer la convergence de l’algorithme en l’initialisant avec le calcul explicite d’un point de départ réalisable, proche de l’optimum global. La formulation fait égale-ment intervenir un paramètre laissant le choix à l’utilisateur de diriger les tensions vers les régions de tensions hautes ou basses. Cependant, la continuité de cette distribution des tensions n’est pas garantie, et ce notamment pour les points sin-guliers comme spécifié, même si les simulations et expériences menées n’ont pas conduit à ce cas de figure.
Une autre méthode proposée dans [Taghirad 2011] présente une nouvelle formula-tion du problème de programmaformula-tion quadratique, en considérant des techniques de programmation non-linéaire où le théorème de Karush-Kuhn-Tucker est uti-lisé pour analyser le problème d’optimisation et générer une solution analytique-itérative permettant d’obtenir un algorithme de recherche avec un nombre d’ité-rations borné qui est explicité. Cependant, le nombre d’itéd’ité-rations maximal reste assez important pour une implémentation en temps-réel (256 itérations pour 6 degrés de liberté et 8 câbles).
• Les algorithmes non-itératifs : des travaux se sont par la suite intéressés à des méthodes non-itératives pour la résolution du problème de distribution des ten-sions dans les câbles, afin d’optimiser au mieux le temps de calcul permettant une exploitation en temps-réel, tout en assurant des distributions de tensions conti-nues et non-limites.
Des méthodes non-itératives efficaces abordées dans [Lafourcade 2004a,Pott 2009] sont basées sur de simples techniques de projection. Ces méthodes consistent à calculer une solution analytique par projection d’une tension désirée appartenant à l’ensemble des tensions réalisables Ω (par exemple le centre de gravité) sur l’en-semble des solutions Σ. Afin d’assurer une distribution des tensions non-limite, l’ensemble des solutions Σ est obtenu dans [Lafourcade 2002, Lafourcade 2004a] en minimisant l’écart des tensions k T − Toptk2par rapport à la tension à projeter Topt jugée optimale pour le comportement du système. L’utilisation de la norme 2 permet d’assurer la continuité de la distribution des tensions. Mais le problème de ces méthodes réside dans le fait que la solution peut se situer en dehors de Ω, sur-tout dans le cas des configurations suspendues [Lamaury 2013c]. Pour remédier à ce problème, deux algorithmes également présentés dans [Lafourcade 2004a] per-mettent d’améliorer ces méthodes. Le premier algorithme dit sous-optimal revient à restreindre l’espace de travail pratique aux cas où la solution appartient à Ω. Le second algorithme dit par saturation des contraintes consiste à recalculer une solution en saturant des combinaisons de tensions violant les contraintes. Cette seconde approche peut ne pas converger alors qu’une solution admissible existe.
Une autre méthode non-itérative proposée dans [Mikelsons 2008] est basée sur la construction du polytope des solutions admissibles en déterminant les sommets du polytope. Les auteurs prouvent que le centre de gravité de la région des ten-sions admissibles est une solution qui assure la continuité des tenten-sions. De plus, la distribution des tensions obtenue est non-limite puisque la solution est éloignée des bords de la région des tensions réalisables. Cette méthode détermine l’en-semble des sommets du polytope convexe pré-image du polytope admissible Π via le mapping affine (V, λ), en considérant les solutions de toutes les paires des 2 m inégalités linéaires à r inconnues Tmin− Tp ≤ V λ ≤ Tmax− Tp transformées en égalités, qui vérifient l’ensemble des inégalités. Une fois tous les sommets déter-minés, le centre de gravité λ∗ est calculé par triangulation, et le centre de gravité du polygone admissible est reconstruit par T∗= Tp+ V λ∗. Néanmoins, ces deux opérations nécessitent un temps de calcul onéreux, qui augmente de manière com-binatoire avec le nombre de câbles utilisés.
Un algorithme présenté dans [Gouttefarde 2015] permet de réduire de manière considérable le temps de calcul de la méthode du centre de gravité [Mikelsons 2008], dédié aux robots parallèles à câbles avec un degré de redondance d’actionnement d’ordre 2 (r = 2). En maintenant le même principe, l’algorithme consiste à dé-marrer d’un premier sommet trouvé et calculer le reste des sommets du polygone convexe pré-image de Π en se déplaçant le long des bords du polygone. Le centre de gravité est alors calculé par une formule donnée valable dans le cas de cette détermination ordonnée des sommets, dans le sens horaire ou antihoraire.