Synthèse d'un ltre numérique récursif

Considérons comme exemple la réalisation d'un ltre numérique de Tchebiche

d'ordre 2, d'ondulation

r = 1 dB

^, ^de ^bande ^passante

f r = 3 kHz

^et ^de ^fréquence

d'échantillonnage

f e = 10 kHz

On notera que, dans un but illustratif, on a choisi la fréquence de Nyquist

f N = f e /2 = 5 kHz

^très^proche^de ^la^fréquence caractéristiquedultre

f r = 3 kHz

^et^que

cela conduira àune fortedistorsionfréquentielle si l'on n'eectue pas sa

compensa-tion.

Lasynthèse d'un ltrenumériquerécursif se fait en quatre étapes:

1. Calcul de la pulsation caractéristique

Ω r

^et ^celle ^de prédistorsion

ω d

Ω r = 2π f _r

2. Recherche du ltre analogique normalisé satisfaisant au gabarit :

Dans cet exemple, le ltre est un passe-bas de Tchebiche d'ordre 2 et

d'on-dulation1dB. Les tables nous fournissent lepolynôme normaliséqui vaut

P n,2 (s) = 1

H n (s) = 1 + 0.996 s + 0.907 s ²

3. Calcul du polynôme de réalisation avec prédistorsion :

On eectue lechangement de variable

s → s ω d

= 3.63 · 10 ⁻ ⁵ s

etonobtientle polynôme de réalisationavec prédistorsion

P _2,d (s) = 1 + 3.617 · 10 ⁻ ⁵ s + 1.197 · 10 ⁻ ⁹ s ²

4. Calcul de la fonction de transfert du ltre numérique :

Enappliquant latransformation bilinéaireau polynome de réalisation

P 2,d (s)

avec

γ = 2 f e = 2 · 10 ⁴ [sec ⁻ ¹ ],

^on^obtient ^les^coecients

q ₀ = a ₀ + a ₁ γ + a ₂ γ ² = +2.202 q 1 = 2 a 0 − a 2 γ ²

= +1.043 q 2 = a 0 − a 1 γ + a 2 γ ² = +0.755

permettantd'écrire lafonction de transfert numérique suivante

H(z) = 1 + 2 z ⁻ ¹ + z ⁻ ²

2.202 + 1.043 z ⁻ ¹ + 0.755 z ⁻ ²

= 0.454 (1 + 2 z ⁻ ¹ + z ⁻ ² )

1 + 0.473 z ⁻ ¹ + 0.343 z ⁻ ²

Lesréponses fréquentielles des ltres analogique etnumérique sont présentées dans

la gure 2.9a. Dans un but de comparaison, on a également calculé la fonction de

transfertsansprédistorsioneneectuantdirectementlatransformationbilinéairede

H(s)

^.^Ce ^qui ^a ^donné

H _spd (z) = 0.325 (1 + 2 z ⁻ ¹ + z ⁻ ² ) 1 − 0.0137 z ⁻ ¹ + 0.313 z ⁻ ²

Sa réponse fréquentielle est présentée dans la gure 2.9b. On remarquera combien

lacorrectionde distorsionest nécessaire pour avoir,comme demandé,un gainunité

àla fréquence caractéristique

f r = 3 kHz

Remarque Tout letravaileectuédans lespoints1)à4)ci-dessus pour obtenirla

fonction de transfert

H(z)

^se ^fait ^beaucoup ^plus ^simplement ^dans ^Matlab ^avec ^les

commandessuivantes :

n = 2; r = 1; fr = 3e3;

fe = 10e3; fn = fe/2;

[num,den] = cheby1(n,r,fr/fn);

num = num/sum(num)*sum(den); % gain DC = 1

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

f r

|H(jf)|

Réponses fréquentielles

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

f r

|H d (jf)|

f [Hz]

Fig.2.9.: Réponses fréquentielles des ltres analogiquesetnumériquesavec etsans

prédistorsion

2.8. Exercices

RII 1 Partant d'un ltre passe-bas RC, trouvez son équivalent numérique

H(z)

Pour ce faire:

1. écrivez l'équation diérentielle du circuit RC;

2. discrétisez cetteéquation;

3. écrivez l'équationauxdiérences du ltreetdessinez son schémafonctionnel;

4. calculezsafonction de transfert

H(z)

RII 2 Dans l'exercice précédent, on choisit pour le ltre numérique une période

d'échantillonnageégaleaudixièmedelaconstantedetemps

RC

^du^ltreanalogique.

1. calculeznumériquement sa fonction de transfert

H(z)

2. que vaut l'instant caractéristique

K c

^? ^quelle ^sera ^la ^durée ^du ^régime

transi-toire?

3. si

x[n] = [n]

^, ^calculez

Y (z)

^; ^que^valent

y[0]

^et

y[ ∞ ]

^? ^esquissez

y[n]

4. quevaut laréponse fréquentielle

H(jΩ)

^du ^ltre ^numérique^;

5. calculez

H(jΩ)

^lorsque^la^fréquence^du^signal^d'entrée^vaut

f = 0, 1/(2π RC), f e /2

esquissezle module de

H(jΩ)

6. comparezà la réponse fréquentielle du ltre analogique.

RII 3 Calculez les équivalents numériques

H a (z)

^et

H b (z)

^d'un ^ltre ^RC ^obtenus

par les transformations associée et bilinéaire lorsque

T e = RC/10

^. ^Comparez ^ces

deux résultatsentre euxet avec celui de l'exerciceprécédent.

RII4 Onsouhaiteréaliserl'équivalentnumérique

H(z)

^d'un^ltre^analogique

passe-hautdetypeButterworthdevanttravaillerjusqu'à

10 kHz

^dont^la^fonction^de

trans-fertest décritepar

H(s) = (s/ω c ) ²

1 + 1.414 · (s/ω c ) + (s/ω c ) ²

^avec

f _c = 1 kHz

Pour ce faire:

1. esquissezle Bode d'amplitude du ltre analogique;

2. choisissezla fréquence d'échantillonnage;

3. calculezson équivalent

H a (z)

^à ^partir^de ^latransformation associée; 4. calculezson équivalent

H b (z)

^à^partir ^de ^latransformationbilinéaire;

5. écrivezleséquationsauxdiérences correspondantes permettantcesdeux

réa-lisations;

6. dessinez leur schéma fonctionnel;

7. quevalent

H(Ω = 0)

^et

H(Ω = π)

^pour ^les² ^ltres^?

RII 5 Ondésire réaliserunltre numériqueàpartirdu ltreanalogiquedécritpar

H(s) = 5 · 10 ⁻ ³ s 1 + 5 · 10 ⁻ ³ s + s ²

1. dessinez les pôles et zéros de

H(s)

^dans ^le ^plan ^complexe^; ^esquissez ^son

dia-grammede Bode; de quel typede ltre s'agit-il?

2. aprèsavoirchoisi unefréquence d'échantillonnagequivous paraîtraisonnable,

calculezsonéquivalentnumérique

H(z)

^à^l'aide^de^latransformationbilinéaire; 3. dessinezlespôles etzérosde

H(z)

^dans ^le^plan ^complexe^; ^où^sesituent-ilspar

rapportau cercle de rayonunité?

RII 6 Considérant une celluleanalogique biquadratique décritepar

H(s) = a 2 s ² + a 1 s + a 0

b 2 s ² + b 1 s + b 0

écrivezunprogramme(enpseudo-langage)permettantdepasserdultreanalogique

àsa réalisationnumérique.Pour cela :

1. écrivez une procédure ou une fonction permettant de transformer

H(s)

^en

H(z)

^à^l'aide^de^latransformationbilinéaire;précisezquelssontsesparamètres d'entrée-sortie;

2. écrivez une procédure ou une fonction calculant

y[n]

^à ^partir ^des ^paramètres

de la cellule biquadratique et de son signal d'entrée

x[n]

^; ^précisez ^quels ^sont

ses paramètres d'entrée-sortie;

3. tenant compte de ce qui vient d'être fait, écrivez un programme permettant

de réaliserle ltre suivant

H(s) = ω ₁ s + ω 1

ω ₂

s ² + 2ζω 2 s + ω ² ₂

^avec







ω 1 = 1000 rad/sec ω 2 = 1000 rad/sec

ζ = 0.5

Pour relier votre ltre au monde extérieur, utilisez les procédures AnalogIn

(var Value : real) et AnalogOut (Value : real) .

4. votre programme peut être testé de manière simple à partir des instants

ca-ractéristiques etdes valeurs initialeet nale de la réponse indicielledu ltre;

calculezces valeurs.

N.B.: Lesentrées (AnalogIn) sefontsur labased'interruptionscommandéespar

l'horloge interne; les sorties (AnalogOut) sont restituées immédiatement après les

calculs.

récursifs

3.1. Introduction

Les ltres non récursifs que l'on appelle également ltres à réponse impulsionnelle

nie(RIF) se distinguent des ltres récursifsétudiés dans lechapitre précédent par

lespoints suivants:

ils sont toujours stables;

ils peuvent être conçus pour avoir une phase linéaireexacte;

ils nécessitent généralement plus de matérieletde tempsde calcul.

Un ltre non récursif d'ordre

N

^comporte

N + 1

^coecients ^et ^peut ^être ^décrit ^de

manièreéquivalentepar :

1. saréponse impulsionnellede longueur

L = N + 1 h[n] = { h[0], h[1], h[2], · · · , h[N ] } =

N

X

k=0

h[k] δ[n − k]

^(3.1)

2. son équation auxdiérences

y[n] =

N

X

k=0

h[k] x[n − k]

^(3.2)

3. safonction de transfert d'ordre

N H(z) = Y (z)

X(z) =

N

X

n=0

h[n] z ⁻ ⁿ

^(3.3)

4. saréponse fréquentielle que l'on évalue en remplaçant

z ⁻ ¹

^par

e ⁻ ^jΩ H(j Ω) = Y (j Ω)

X(j Ω) =

N

X

n=0

h[n] e ⁻ ^jnΩ

^(3.4)

3.2. Spécications

Lesspécicationsd'unltre sedonnent souslaformed'ungabariten valeursréelles

ou relatives (dB). Un exemple de gabarit pour un ltre passe-bas est illustré dans

lagure 3.1. On y trouve :

1. labande passante

[0, Ω p ]

2. lesbandes de transition

(Ω p , Ω a )

^et ^d'arrêt

[Ω a , π]

3. l'ondulationacceptée dans la bandepassante, exprimée par

δ 1

^ou

R p [dB]

4. l'atténuationsouhaitée dans la bande d'arrêt,exprimée par

δ 2

^ou

A a [dB]

1+ δ 1

1- δ 1

δ ₂

1 0

Ω _p

Ω _a

|H(j Ω )|

Ω

π

R _p

A _a

A _dB 0

Fig. 3.1.: Gabarit d'un ltre

Le gain du ltre passe-bas valant 1 lorsque

Ω → 0

^, ^les ^relations ^entre ^les ^valeurs

réellesou relativesdu gabarit sontalors déniescomme suit :

R p = | 20 log (1 ± δ 1 ) | > 0

^(3.5)

A a = − 20 log(δ 2 ) > 0

^(3.6)

ouinversément :

δ 1 = ± 10 ^+R ^p ^/20 − 1

(3.7)

δ 2 = 10 ⁻ ^A ^a ^/20

^(3.8)

3.3. Propriétés des ltres RIF à phase linéaire

Demanièregénérale, un ltre RIFne possède aucune propriété particulière

concer-nant le module ou la phase de la réponse fréquentielle mis à part que c'est le seul

type de ltres pouvant orir une phase linéaire exacte (qui est une des propriétés

du ltre idéal). C'est donc essentiellement pour cette propriété que l'on utilise les

ltresà réponse impulsionnellenie.

3.3.1. Réponses impulsionnelle et fréquentielle

Dans le cas où on désire avoir une phase linéaire, la réponse impulsionnelle doit

posséder une symétrie paire ou une symétrie impaire ou, de manière équivalente,

une symétrieaxiale ouponctuelle. La justicationen est donnée ci-dessous.

Symétrie paire

ConsidéronsunltreRIFd'ordre

N = 6

^représenté^par^une^séquence

h[n]

^à^symétrie

paire par rapport à

N _s = 3

^(gure ^3.2a). ^Cette ^séquence ^provient ^d'une ^réponse

impulsionnellepaire

h p [n]

^non ^causale ^dont ^la ^réponse fréquentielle est réelle.

Ledécalage temporel(ici,un retard) nécessairepour rendreleltre causalentraîne

ledéphasage linéairesouhaité. On a donc

H(jΩ) = exp ( − jN s Ω) H p (jΩ) ⇒

linéairement avec la pulsation. Le cas échéant, ondevra, ajouter

± π

^à ^cette ^phase

linéairepour tenir compte de la valeur négativeéventuelle de

H p (jΩ)

−5 0 5 10

Fig. 3.2.: Réponses impulsionnellesà symétriepaire ou impaire

Symétrie impaire

ConsidéronsunltreRIFd'ordre

N = 6

^représenté^par^une^séquence

h[n]

^à^symétrie

impairepar rapport à

N s = 3

^(gure ^3.2b). ^Cette ^séquence ^provient ^d'une ^réponse

impulsionnelleimpaire

h _i [n]

^non ^causale^dont ^la^réponse fréquentielle est purement imaginaire.

Le décalage temporel nécessaire pour rendre le ltre causal entraîne le déphasage

linéairesouhaité. On a donc

H(j Ω) = exp ( − jN s Ω) H i (j Ω) ⇒

va-rie linéairement avec la pulsation à partir de

± π/2

^suivant ^le ^signe ^de ^la ^valeur

imaginaire.

Remarque

On peut bien sûr considérer des ltres d'ordre

N

^impair ^(gures ^3.2c ^et ^3.2d).

Dans ce cas, l'axe ou le point de symétrie se situe entre 2 valeurs de la réponse

impulsionnelle

h[n]

^et ^le ^déphasage ^linéaire ^s'écrira

− N s + ¹ ₂

Ω

^. ^Dans ^le ^cadre

de ce cours, on n'analysera que des ltres d'ordre

N

^pair (c'est-à-dire de longueur

L = N + 1

împaire) ^dont ^le ^point ôu âxe ^de ^symétrie ^se ^situe obligatoirement sur une valeur entière de l'axe

n

Exemple

Considérons comme exemple un ltre causal dont la réponse impulsionnelle nie

(gure 3.3a) est décrite par une séquence non-nulle de longueur

L = 9

^à ^symétrie

paire

h[n] = { +1, +2, +3, +4, +5, +4, +3, +2, +1, 0, 0, · · ·}

^avec

n = 0, 1, 2, · · ·

Par transformation en

z

^de ^cette ^réponse impulsionnelle, on obtient la fonction de transfertdu ltre RIF:

H(z) =

On en conclut que ce ltre RIF, décrit par un polynôme d'ordre

N = 8

^, ^possède

8 pôles situés en

z = 0

^et ⁸ ^zéros ^dont ^les ^positions ^dans ^le ^plan ^complexe ^sont

présentées dans la gure3.3b.

En remplaçant l'opérateur de retard

z ⁻ ¹

^par ^sa transformée de Fourier

e ⁻ ^jΩ

^, ^on

obtient laréponse fréquentielle du ltre

H(j Ω) =

En mettant en évidence le phaseur central

e ⁻ ^j4Ω

^, ôn ôbtient ûne ^forme îllustrant

clairementlasymétrie paire du ltre

H(j Ω) = e ⁻ ^j4Ω 1e ^+j4Ω + 2e ^j3Ω + 3e ^j2Ω + 4e ^jΩ + 5 + 4e ⁻ ^jΩ + 3e ⁻ ^j2Ω + 2e ⁻ ^j3Ω + 1e ⁻ ^j4Ω

0 5 10

Fig.3.3.: Réponseimpulsionnelle,pôlesetzéros,amplitudeetphased'unltreRIF

à symétrie paire

Utilisantlaformuled'Euler

2 cos ϕ = exp(+jϕ) + exp( − jϕ)

^, ^on ^obtient ^nalement

H(jΩ) = e ⁻ ^j4Ω (5 + 8 cos(Ω) + 6 cos(2Ω) + 4 cos(3Ω) + 2 cos(4Ω))

Cerésultatmontre àl'évidencequel'on aaaireà unltre àphaselinéairepuisque

le seul terme complexe de l'expression est le phaseur

e ⁻ ^j4Ω

^. ^Ce ^ltre ^RIF ^possède

donc une réponse fréquentielle en amplitude (gure 3.3c)qui vaut

| H(jΩ) | = | 5 + 8 cos(Ω) + 6 cos(2Ω) + 4 cos(3Ω) + 2 cos(4Ω) |

etune phase (gure 3.3d)décrite par

∠ H(jΩ) = − 4Ω

À titre de comparaison, il est intéressant de tracer les mêmes graphes (gure 3.4)

pour un ltre réaliséavec une réponse impulsionnellesimilaireà laprécédentemais

avec une symétrie impairecette fois-ci :

h[n] = { +1, +2, +3, +4, 0, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 0, · · · }

^avec

n = 0, 1, 2, · · ·

dont la réponse fréquentielle vaut

H(j Ω) = e ⁻ ^j4Ω 1e ^+j4Ω + 2e ^j3Ω + 3e ^j2Ω + 4e ^jΩ + 0 − 4e ⁻ ^jΩ − 3e ⁻ ^j2Ω − 2e ⁻ ^j3Ω − 1e ⁻ ^j4Ω

= 2j e ⁻ ^j4Ω (4 sin(Ω) + 3 sin(2Ω) + 2 sin(3Ω) + sin(4Ω))

= 2 | (4 sin(Ω) + 3 sin(2Ω) + 2 sin(3Ω) + sin(4Ω)) | ∠ + π/2 − 4Ω

On peut relever que la symétrie paire conduit à un ltre passe-bas alors que la

symétrie impaire fournit un ltre passe-haut ou passe-bande. Plus générale,ment,

pourobtenirpasse-hautoupasse-bande,ilsutquelasommedescoecientssoient

nulle

Fig.3.4.: Réponseimpulsionnelle,pôlesetzéros,amplitudeetphased'unltreRIF

à symétrie impaire

3.4. Synthèse par fenêtrage

3.4.1. Principe du fenêtrage

Lepoint de départde lasynthèse des ltres RIF est donnépar la considérationdes

réponses impulsionnellesdes ltres idéaux. Commecelles-cisontinniment longues

etnoncausales, onvoitimmédiatementquelesltresidéaux nesontpasréalisables.

On doitdonc manifestementsecontenter d'une approximationde leurs réponses en

lestronquant avant de lesrendre causales.

Pour voir plus précisément comment cela se passe, considérons laréponse

fréquen-tielle

H d (jω)

^d'un ^ltre ^analogique^passe-bas ^idéal ^(gure ^3.5a). ^Sa^réponse

impul-sionnelle

h d (t)

^se^calcule^partransformationdeFourierinverse.On obtientainsiune réponse temporelle en formede sinuscardinal etde longueur innie (gure3.5b).

De manière à ce que ce ltre soit réalisable, il faut tronquer cette réponse en

res-pectant sa symétrie paire (gure 3.5d). On obtient alors un ltre à réponse

impul-sionnelle de durée nie, mais non causale puisque

h(t)

^n'est ^pas ^nulle ^pour

t < 0

Un décalage de cette réponse à symétrie paire sut à rendre leltre causal (gure

3.5f), donc à phase linéaire (gure 3.5e). Bien entendu, le module de sa réponse

fréquentielle ne sera plus qu'une approximationde l'idéal(gure 3.5c).

D'unpointde vuemathématique,lefaitde tronquerlaréponse impulsionnelle

h d (t)

revient à multipliercelle-ci par une fenêtre rectangulaire

w r (t)

^et^la ^réponse

impul-sionnelles'écrit alors :

h(t) = h d (t) · w r (t)

^(3.11)

Pour un ltre numérique,on aura de manièreéquivalente:

h[n] = h d [n] · w r [n]

^(3.12)

3.4.2. Eet de la troncation

L'opération de troncation qui, dans une première approche peut sembler anodine,

modie sensiblement la réponse fréquentielle et entraîne des ondulations dans les

bandes passantes et d'arrêt. Ceci provient de la convolution entre la réponse

fré-quentielle du ltre idéal etle spectre en sinus cardinalde lafenêtre rectangulaire:

H(j Ω) = H d (jΩ) ⊗ W (jΩ) H (j Ω) = 1

2π Z +π

− π

H d (jθ) W (jΩ − jθ) dθ

^(3.13)

Lagure 3.6 montre à l'évidence que l'ondulationcaractérisantla réponse obtenue

H(j Ω)

^provient ^du ^spectre

W (jΩ)

^de ^la^fenêtre ^choisie, ^icirectangulaire.

An d'obtenir le meilleur compromis possible entre une faible ondulation et une

bandedetransitionétroite,onseradoncamenéparlasuiteàchoisirunefenêtre

w[n]

dontlecomportementfréquentielestsatisfaisantdu pointde vuedu ltreàréaliser.

C'est-à-dire que l'on cherchera un compromis entre l'amplitude des ondulations et

lalargeur des bandes de transition.

−50 0 50

Fig. 3.5.: Passage du ltre idéalau ltre réalisable

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Fig. 3.6.: Convolution circulairedans ledomaine des fréquences

3.5. Réponses fréquentielles et impulsionnelles

idéales

Comme la synthèse par fenêtrage utilise les réponses impulsionnelles des ltres

idéaux, il est nécessaire de les connaître. Ces réponses impulsionnelles sont

cal-culées en partant des réponses fréquentielles idéales des 4 ltres de base passe-bas,

passe-haut,passe-bande et réjecteurde bande(gure 3.7).

3.5.1. Filtre passe-bas

Avec

Ω c

^comme^pulsation^de ^coupure, ^la ^réponse fréquentielle du ltre s'écrit :

H b (j Ω) =

Satransformée inverse n'est autre que saréponse impulsionnelle:

h b [n] = 1 2π

Z +π

− π

H b (j Ω)exp(+jnΩ) dΩ

^(3.15)

Tenant compte de laréponse fréquentielle idéale du ltre passe-bas, ilvient :

h b [n] = 1

Utilisantlesrelations d'Euler,on obtientnalement :

h b [n] = Ω c

π

sin (nΩ c )

nΩ c − ∞ < n < + ∞

^(3.16)

Cette réponse temporelle est inniment longue et non causale. An de la rendre

causale, il faut tout d'abord la tronquer pour avoir une réponse impulsionnelle de

d'ordre

N

^puis ^la^décaler ^de ^la ^moitié^de ^sa^longueur.

Enchoisissant de travailler avec une réponse impulsionnelled'ordre

N

^pair ^centrée

N s = N/2

^, ^il ^vient ^:

π 2π Ω

Ω

−Ω

Ω

−Ω

Ω

−Ω

Passe-Bas

Passe-Haut

Passe-Bande

Coupe-Bande

Fig.3.7.: Réponsesfréquentielles idéales des 4 ltres standard

0 10 20 30 40 50 60

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

h[n]

Filtre passe−bas

−3 −2 −1 0 1 2 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

|H(j Ω )|

Fig.3.8.: Réponses impulsionnelleet fréquentielle d'un ltre passe-bas

0 10 20 30 40 50 60

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

h[n]

Filtre passe−haut

−3 −2 −1 0 1 2 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

|H(j Ω )|

Fig.3.9.: Réponsesimpulsionnelle etfréquentielle d'un ltre passe-haut

3.5.2. Filtre passe-haut

Dansce cas, avec

Ω c

^comme ^pulsation^de ^coupure, ^la ^réponse fréquentielle du ltre s'écrit:

Onpeutremarquer quelesréponsesfréquentiellesd'unpasse-bas etd'unpasse-haut

sont reliées entre elles par :

H h (j Ω) = 1 − H b (jΩ)

^(3.19)

Ce qui,dans l'espace temps, correspond à :

h _h [n] = δ[n] − h _b [n]

^(3.20)

On en déduit donc immédiatementque :

h _h [n] =

3.5.3. Filtre passe-bande et réjecteur de bande

Lesltrespasse-bandeetréjecteurde bandepossèdent 2pulsations caractéristiques

Ω ₁

^et

Ω ₂

^limitant ^les ^bandes ^passante êt ^d'arrêt. Ôn ^montre âisément ^les ^deux

résultatssuivants:

1. Réponse impulsionnelled'un ltre passe-bande

h _∆ [n] =

2. Réponse impulsionnelled'un ltre réjecteurde bande

h r [n] =

Lecalcul de ces réponses impulsionnellesest laissé comme exercice.

0 10 20 30 40 50 60

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

h[n]

Filtre passe−bande

−3 −2 −1 0 1 2 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

|H(j Ω )|

Fig. 3.10.: Réponses impulsionnelleetfréquentielle d'un ltre passe-bande

0 10 20 30 40 50 60

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

h[n]

Filtre réjecteur de bande

−3 −2 −1 0 1 2 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

|H(j Ω )|

Fig. 3.11.: Réponses impulsionnelleetfréquentielle d'un ltre réjecteur de bande

Exemple Réalisation d'un ltre non récursif élémentaire basé sur la réponse

fré-quentielle idéale d'un ltre passe-bas ayant une bande passante de 1 kHz alors que

lafréquence d'échantillonnage est de 10 kHz.

3.6. Caractéristiques de quelques fenêtres

Duchoixdelafenêtre,dépendralaqualitédel'approximation;ilestdoncnécessaire

de passer en revue les caractéristiques de celles-ci. On rappellera tout d'abord que

si on désire conserver la phase linéaire du ltre, il faut que les fenêtres possèdent

une symétriepaire ou impaire.

Commeonl'avuplushaut,latroncationsimpledelaréponseimpulsionnellede

lon-gueur innieconduit à une réponse fréquentielle avec des ondulations importantes.

Celles-ci sont dues au phénomène de Gibbs et ne peuvent être diminuées que si la

fenêtre possède des transitions douces, contrairement àla troncation simple.

Les fenêtres susceptibles de satisfaire les besoins de synthèse des ltres et

d'ana-lysespectrale ont faitl'objetd'études extensives [3]. Parmi lesnombreuses fenêtres

proposées, seules celles qui sontle plus souvent citées sont présentées ci-après.

3.6.1. Fenêtres analytiques

Pour chacune des fenêtres étudiées, on présentera son équation

w[n]

^et ^une ^gure

comportant4 graphes :

1. son graphetemporel

w[n]

2. son spectre d'amplitudes

W (j Ω) = T F { w[n] }

3. son spectre d'amplitudesen dB

W dB = 20 log ( | W (jΩ) | )

4. son spectre cumulé déni commesuit [1] :

W cum (j Ω) = 1 2π

Z Ω

− π

W (jθ)dθ

^(3.24)

Cette représentation peu commune est importante car grâce à elle, on peut

mesurer le niveau d'atténuation possible ainsi que la largeur de la bande de

transitionpourun ltreRIF.Sadénitiondécouledelaconvolutionentre une

réponse fréquentielle constante etle spectre de lafenêtre

w[n]

Fenêtre rectangulaire

w r [n] =







1 si 0 ≤ n ≤ N 0 sinon

(3.25)

Fenêtre triangulaire (ou de Bartlett)

Fig.3.12.: Fenêtre rectangulaire

Fenêtre cosinusoïdale (ou de Hann)

w c [n] =

0 10 20 30 40 50

Fig. 3.13.: Fenêtretriangulaire

0 10 20 30 40 50

Fig. 3.14.: Fenêtrecosinusoïdale(ou de Hann)

0 10 20 30 40 50

Fig. 3.15.: Fenêtre de Hamming

3.6.2. Fenêtre de Kaiser-Bessel

Lesfenêtres présentées ci-dessus ont des formes etdes atténuations xes apportant

chacunesalargeurdulobeprincipaletsonatténuationdeslobeslatéraux.La

contri-butiondeKaiserfutdeproposerunefenêtres'adaptantàl'atténuationdésirée.Cette

fenêtre est dénie par une fonction de Bessel :

w k [n] =

I 0 =

^fonction^de ^Bessel^modiée ^de ^première ^espèce ^et^d'ordre ^zéro

β =

^paramètre^de ^forme^de ^la^fenêtre

N s = N/2 =

^point ^de ^symétrie ^de ^la ^fenêtre

Calcul de la fonction de Bessel

L'usagefréquentdes fenêtresde Hann oude Hammingest dûà ceque cesfonctions

sont familières et faciles à calculer. Cependant, bien que la fonction de Bessel soit

en général peu connue, il est aisé de la calculer en utilisant son développement en

série :

0 10 20 30 40 50

Fig. 3.16.:Fenêtrede Blackman

Cette série converge rapidement et la procédure de calcul proposée par Kaiser est

très simple àmettre en oeuvre :

functionBessel0(x:real) :real;

const eps=1.0e-6;

until abs (ds/(s+eps))<eps;

Bessel0=s;

end;

Calcul des paramètres des fenêtres de Kaiser

Lagure3.18montre lescaractéristiquesfréquentiellesde quelques fenêtresde

Kai-ser. On en tire lesconclusions suivantes :

en augmentant la longueur du ltre

N

^, ^on^diminue ^la^largeur ^du ^lobe ^principal

enaugmentantleparamètredeforme

β

^,^on^diminuel'amplitudedeslobeslatéraux.

0 10 20 30 40 50

Fig. 3.18.: Caractéristiques fréquentielles de quelques fenêtres de Kaiser

Après une simulation numérique extensive, Kaiser a obtenu une paire de formules

quipermettentdetrouver

β

^et

N

^à^partir^des spécicationsdemandées.Ces spéci-cationssont l'atténuation

A _dB

^et ^la ^largeur^de ^la^bande ^de ^transition

∆Ω

^exprimée

en radians.

Lefacteur de forme

β

^dépend ^uniquement ^de l'atténuation

A dB

β =



 



 



0.1102 (A dB − 8.7) si A dB > 50 0.5842 (A _dB − 21) ^0.4 + 0.078862 (A _dB − 21) si 21 ≤ A _dB ≤ 50

0 si A dB < 21

(3.32)

Lalongueurdu ltre est déterminéepar l'atténuation

A dB

^et^la^bande^de ^transition

∆Ω

^souhaitée

N ≥ A _dB − 8

2.285 ∆Ω

^(3.33)

3.7. Conclusions sur l'usage des fenêtres

3.7.1. Propriétés et utilisation des fenêtres

L'ensembledes propriétés concernant lesfenêtresetles ltresétudiésci-dessus sont

réunies dans les tableaux 3.1 à 3.3. On y trouve les caractérisitques spectrales de

quelquesfenêtresusuelles,lescaractéristiquesdesltresRIFenfonctiondesfenêtres

utilisées,lesavantages et inconvénients de ces fenêtres.

Largeurdu Atténuation du Décroissance des

Fenêtres 1er lobe 1er lobe [dB] lobessuivants

Rectangle

4π/N

^-13 ²⁰^dB/déc

Triangle (Bartlett)

8π/N

^-27 ⁴⁰^dB/déc

Cosinus(Hann)

8π/N

^-32 ⁶⁰^dB/déc

Hamming

8π/N

^-43 ²⁰^dB/déc

Blackman

12π/N

^-58 ⁶⁰^dB/déc

Kaiser

β = 4.54 7.2π/N

^-30 ²⁰^dB/déc

Kaiser

β = 5.66 8.4π/N

^-42 ²⁰^dB/déc

Tab. 3.1.: Caractéristiques spectralesdes fenêtres usuelles

Ondulation Atténuation max. Bande de transition

Fenêtres

R p

^[dB]

A max

^[dB]

∆Ω

Rectangle 0.74 21

1.8 π/N

Triangle (Bartlett) 0 25

6.1 π/N

Cosinus(Hann) 0.055 44

6.2 π/N

Hamming 0.014 53

6.6 π/N

Blackman 0.0017 74

11 π/N

Kaiser

β = 4.54

^0.025 ⁵⁰

5.8 π/N

Kaiser

β = 5.66

^0.009 ⁶⁰

7.2 π/N

Tab. 3.2.: Caractéristiques des réponses fréquentielles des ltres RIF

Fenêtres

+/ −

^Remarques

Triangle

+

^simple ^à^calculer^;^pas ^de ^sinus ^ou^cosinus

(Bartlett)

+

^bande ^spectrale^étroite

−

^faible^réjection ⁽²⁵ ^dB)

=

décroissance spectralemoyenne (-40 dB/déc) Cosinus

+

^simple ^à^calculer

(Hann)

+

^bande ^spectrale^étroite

=

^réjection raisonnable(44 dB)

+

^fortedécroissance spectrale (-60 dB/déc) Hamming

+

^simple ^à^calculer

+

^bande ^spectrale^étroite

+

^bonne ^réjection ⁽⁵³ ^dB)

−

^faibledécroissance spectrale (-20 dB/déc) Blackman

+

^simple ^à^calculer

=

^bande ^spectrale^moyenne

++

^très ^bonne ^réjection ⁽⁷⁴ ^dB)

+

^fortedécroissance spectrale (-60 dB/déc) Kaiser

−

^moins ^simple^à ^calculer

=

^bande ^spectrale^moyenne

++

^excellente ^réjection ⁽¹⁰⁰ ^dB)

−

^faibledécroissance spectrale (-20 dB/déc)

++

^meilleur^compromis atténuation / bandede transition Tab. 3.3.: Avantages et inconvénients des fenêtres utilisées dans la réalisation de

ltres RIF

3.7.2. Démarche pour calculer un ltre

Ladémarche àsuivre pour obtenirlescoecients du ltresouhaitéest lasuivante :

1. connaissant legabarit du ltre désiré, choisir le ltreidéal correspondant;

2. calculer les pulsations caractéristiques

Ω k

^se ^situant ^au ^centre ^des ^bandes ^de

transition;

3. rechercher la réponse impulsionnelle

h d [n]

^du ^ltre ^idéal^; ^si ^celle-ci ^n'est ^pas

connue, on peut la calculerpar transformation de Fourier inverse;

4. choisirunefenêtre

w[n]

satisfaisantedupointdevuedel'atténuation(table3.2); 5. connaissantlalargeurdelabandedetransition

∆Ω

^,^calculer^l'ordre^du^ltre

N

6. calculer les coecients du ltre en multipliant la réponse impulsionnelle par

lafenêtre choisie

h[n] = h d [n] · w[n]

3.8. Réalisation d'un ltre passe-bas

Considérons la réalisation d'un ltre passe-bas satisfaisant au cahier des charges

Dans le document Traitement des Signaux (Page 72-200)

Synthèse d'un ltre numérique récursif

r = 1 dB

f r = 3 kHz

f e = 10 kHz

f N = f e /2 = 5 kHz

f r = 3 kHz

Ω r

ω d

Ω r = 2π f r

P n,2 (s) = 1

H n (s) = 1 + 0.996 s + 0.907 s 2

s → s ω d

= 3.63 · 10 − 5 s

P 2,d (s) = 1 + 3.617 · 10 − 5 s + 1.197 · 10 − 9 s 2

P 2,d (s)

γ = 2 f e = 2 · 10 4 [sec − 1 ],

q 0 = a 0 + a 1 γ + a 2 γ 2 = +2.202 q 1 = 2 a 0 − a 2 γ 2

= +1.043 q 2 = a 0 − a 1 γ + a 2 γ 2 = +0.755

H(z) = 1 + 2 z − 1 + z − 2

2.202 + 1.043 z − 1 + 0.755 z − 2

= 0.454 (1 + 2 z − 1 + z − 2 )

1 + 0.473 z − 1 + 0.343 z − 2

H(s)

H spd (z) = 0.325 (1 + 2 z − 1 + z − 2 ) 1 − 0.0137 z − 1 + 0.313 z − 2

f r = 3 kHz

H(z)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

f r

|H(jf)|

Réponses fréquentielles

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

f r

|H d (jf)|

f [Hz]

H(z)

H(z)

RC

H(z)

K c

x[n] = [n]

Y (z)

y[0]

y[ ∞ ]

y[n]

H(jΩ)

H(jΩ)

f = 0, 1/(2π RC), f e /2

H(jΩ)

H a (z)

H b (z)

T e = RC/10

H(z)

10 kHz

H(s) = (s/ω c ) 2

1 + 1.414 · (s/ω c ) + (s/ω c ) 2

f c = 1 kHz

H a (z)

H b (z)

H(Ω = 0)

H(Ω = π)

H(s) = 5 · 10 − 3 s 1 + 5 · 10 − 3 s + s 2

H(s)

H(z)

H(z)

H(s) = a 2 s 2 + a 1 s + a 0

b 2 s 2 + b 1 s + b 0

H(s)

H(z)

y[n]

x[n]

H(s) = ω 1 s + ω 1

ω 2

s 2 + 2ζω 2 s + ω 2 2







ω 1 = 1000 rad/sec ω 2 = 1000 rad/sec

ζ = 0.5

Ω r = 2π f _r

H n (s) = 1 + 0.996 s + 0.907 s ²

= 3.63 · 10 ⁻ ⁵ s

P _2,d (s) = 1 + 3.617 · 10 ⁻ ⁵ s + 1.197 · 10 ⁻ ⁹ s ²

γ = 2 f e = 2 · 10 ⁴ [sec ⁻ ¹ ],

q ₀ = a ₀ + a ₁ γ + a ₂ γ ² = +2.202 q 1 = 2 a 0 − a 2 γ ²

= +1.043 q 2 = a 0 − a 1 γ + a 2 γ ² = +0.755

H(z) = 1 + 2 z ⁻ ¹ + z ⁻ ²

2.202 + 1.043 z ⁻ ¹ + 0.755 z ⁻ ²

= 0.454 (1 + 2 z ⁻ ¹ + z ⁻ ² )

1 + 0.473 z ⁻ ¹ + 0.343 z ⁻ ²

H _spd (z) = 0.325 (1 + 2 z ⁻ ¹ + z ⁻ ² ) 1 − 0.0137 z ⁻ ¹ + 0.313 z ⁻ ²

H(s) = (s/ω c ) ²

1 + 1.414 · (s/ω c ) + (s/ω c ) ²

f _c = 1 kHz

H(s) = 5 · 10 ⁻ ³ s 1 + 5 · 10 ⁻ ³ s + s ²

H(s) = a 2 s ² + a 1 s + a 0

b 2 s ² + b 1 s + b 0

H(s) = ω ₁ s + ω 1

ω ₂

s ² + 2ζω 2 s + ω ² ₂

h[n] z ⁻ ⁿ

z ⁻ ¹

e ⁻ ^jΩ H(j Ω) = Y (j Ω)

h[n] e ⁻ ^jnΩ

δ ₂

Ω _p

Ω _p

Ω _a

Ω _a

R _p

A _a

A _dB 0

δ 1 = ± 10 ^+R ^p ^/20 − 1

δ 2 = 10 ⁻ ^A ^a ^/20

N _s = 3

h _i [n]

− N s + ¹ ₂