Traitement des Signaux

Prof. Freddy Mudry Unité TSA

Traitement des Signaux

Quelques applications

Haute Ecole d ' Ingénierie et de Gestion du Canton de Vaud

Département Technologies Industrielles

A i n s t i t u t d ' u t o m a t i s a t i o n

i n d u s t r i e l l e

"La science, son goût est amer au début mais à la fin, plus doux que le miel"

(Plat à décor épigraphique

XI-XIIème siècle, Iran ou Transoxiane

Le Louvre - Arts de l'Islam)

I. Analyse et synthèse des ltres numériques 1

1. Éléments de ltrage analogique 3

1.1. Introduction . . . 3

1.1.1. Filtre idéal. . . 3

1.1.2. Formes canoniques . . . 3

1.1.3. Formes normalisées . . . 4

1.1.4. Filtres d'ordre2 . . . 5

1.2. Filtres optimums . . . 6

1.2.1. Gabarit . . . 6

1.2.2. Approximations . . . 6

1.2.3. Temps de propagation . . . 8

1.2.4. Illustration des réponses fréquentielles ettemporelles . . . 9

1.3. Filtres de Butterworth . . . 13

1.3.1. Tableaudes polynômes de Butterworth . . . 14

1.3.2. Ordre et pulsationcaractéristiqued'un ltre . . . 14

1.3.3. Synthèse d'un ltre de Butterworth . . . 17

1.4. Filtres de Tchebyche . . . 20

1.4.1. Caractéristique des ltres de Tchebyche . . . 20

1.4.2. Calcul de l'ordre d'un ltre de Tchebyche . . . 20

1.4.3. Tableaudes polynômes de Tchebyche . . . 21

1.4.4. Synthèse d'un ltre de Tchebyche . . . 21

1.5. Filtres de Bessel . . . 26

1.5.1. Phase linéaire ettemps de propagation . . . 26

1.5.2. Temps de propagationdes ltres passe-bas . . . 26

1.5.3. Fonctions de transfert . . . 27

1.5.4. Synthèse d'un ltre de Bessel . . . 28

1.6. Largeur de bande etdurée de laréponse temporelle . . . 29

1.7. Réalisationsdes ltresanalogiques . . . 32

1.7.1. Filtres normalisés . . . 32

1.7.2. Transformationsd'un ltre normalisé . . . 32

1.7.3. Circuits de Sallen etKey à gain xe. . . 32

1.7.4. Circuits de Sallen etKey à gain variable . . . 37

1.7.5. Réalisationd'un ltre passe-bande . . . 38

1.8. Exercices . . . 42

2. Synthèse des ltres récursifs 47

2.1. Classication des systèmes numériques . . . 47

2.1.1. Systèmes non récursifs (dits RIF, FIRou MA) . . . 47

2.1.2. Systèmes récursifs (dits RII, IIR ouARMA) . . . 47

2.1.3. Caractéristiques des ltres FIR etIIR. . . 48

2.2. Réponse fréquentielle d'un ltre numérique . . . 48

2.3. Le problème de l'approximation . . . 51

2.4. La transformationassociée . . . 52

2.4.1. Exemple de transformationassociée . . . 53

2.4.2. Modication de la transformationassociée . . . 55

2.5. La transformationbilinéaire . . . 56

2.5.1. Introduction . . . 56

2.5.2. Transformationbilinéaire d'unefonction de transfert . . . 57

2.5.3. Exemple de transformationbilinéaire . . . 58

2.6. Compensationde la distorsiondes fréquences. . . 59

2.7. Synthèse d'un ltre numériquerécursif . . . 62

2.8. Exercices . . . 64

3. Synthèse des ltres non récursifs 67 3.1. Introduction . . . 67

3.2. Spécications . . . 67

3.3. Propriétés des ltres RIFà phase linéaire . . . 68

3.3.1. Réponses impulsionnelle etfréquentielle. . . 68

3.4. Synthèse par fenêtrage . . . 72

3.4.1. Principedu fenêtrage . . . 72

3.4.2. Eet de la troncation . . . 73

3.5. Réponses fréquentielles et impulsionnellesidéales . . . 75

3.5.1. Filtre passe-bas . . . 75

3.5.2. Filtre passe-haut . . . 78

3.5.3. Filtre passe-bande etréjecteur de bande . . . 78

3.6. Caractéristiques de quelques fenêtres . . . 80

3.6.1. Fenêtres analytiques . . . 80

3.6.2. Fenêtre de Kaiser-Bessel . . . 83

3.7. Conclusions sur l'usage des fenêtres . . . 86

3.7.1. Propriétés etutilisationdes fenêtres . . . 86

3.7.2. Démarche pour calculerun ltre . . . 88

3.8. Réalisationd'un ltre passe-bas . . . 88

3.8.1. Préliminaires . . . 88

3.8.2. Fenêtrage de Hamming . . . 89

3.8.3. Fenêtrage de Kaiser . . . 91

3.9. Réalisationd'un ltre passe-bande . . . 92

3.10.Exercices . . . 94

II. Traitement du Signal Avancé 101

4. Description et comparaison des signaux 103

4.1. Classication des signaux. . . 103

4.1.1. Classication phénoménologique . . . 103

4.1.2. Énergie et puissance des signaux. . . 104

4.2. Quatre signaux types . . . 106

4.2.1. Signaux déterministes temporaires. . . 107

4.2.2. Signaux permanents périodiques . . . 108

4.2.3. Signaux permanents aléatoires . . . 109

4.2.4. Signaux permanents quasi-périodiques . . . 109

4.3. Comparaison des signaux . . . 110

4.3.1. Corrélation de signaux àénergie nie . . . 110

4.3.2. Corrélation de signaux àpuissance nie . . . 112

4.3.3. Propriétés de l'autocorrélation . . . 113

4.3.4. Propriétés de l'intercorrélation . . . 115

4.3.5. Calcul numérique de la corrélation . . . 116

4.3.6. Exemples de corrélation . . . 116

4.4. Rapportsignal sur bruit (SNR) . . . 118

4.5. Trois applicationsde lacorrélation . . . 119

4.5.1. Le radar . . . 119

4.5.2. La mesure d'un débit . . . 122

4.5.3. La mesure du rythme cardiaque . . . 123

4.6. Description des signaux aléatoires . . . 124

4.6.1. Tensionéquivalente de bruit . . . 128

4.7. Systèmes linéaireset densités spectrales . . . 129

4.7.1. Signaux à énergienie . . . 129

4.7.2. Signaux à puissance nie . . . 130

4.8. Signaux, spectres et statistique . . . 130

4.9. Quelques exemples . . . 133

4.10.Exercices . . . 137

5. Analyse de la parole 145 5.1. Introduction . . . 145

5.2. Analyse de la parole . . . 145

5.2.1. Classication des phonèmes . . . 145

5.2.2. Période des sons voisés . . . 146

5.3. Acquisition etanalyse avec CoolEdit . . . 146

5.3.1. Paramètres pour l'enregistrement . . . 146

5.3.2. Visualisationdes signaux etde leur spectre . . . 147

5.4. Analyse du signal acoustique avec Matlab . . . 147

5.4.1. Lecture du chier de données . . . 147

5.4.2. Initialisation . . . 147

5.4.3. Valeur ecace . . . 149

5.4.4. Tauxde passages par zéro . . . 149

5.4.5. Spectre . . . 149

5.5. Recherche du pitch . . . 150

5.5.1. Filtragedu signal . . . 150

5.5.2. Autocorrélation . . . 151

5.6. Travailpratique . . . 152

5.6.1. Avec CoolEdit : . . . 152

5.6.2. Avec Matlab . . . 153

6. Codage et décodage LPC de la parole 157 6.1. Introduction . . . 157

6.2. Prédiction linéaire. . . 157

6.2.1. Mesure de l'erreurde prédiction . . . 157

6.2.2. Calcul des coecients de prédictionlinéaire . . . 158

6.2.3. Interprétation de laprédiction linéaire . . . 160

6.3. Modèle du conduit vocal . . . 160

6.4. Analyse du signal . . . 162

6.4.1. Initialisation . . . 162

6.4.2. Spectre . . . 162

6.5. Analyse LPC . . . 163

6.5.1. Valeur ecace et gain . . . 163

6.5.2. Fonction de transfert

H(z)

^{du conduitvocal . . . . . . . . . . 164}

6.5.3. Réponse fréquentielle du conduitvocal . . . 165

6.6. Recherche du pitch . . . 165

6.6.1. Filtragedu signal . . . 165

6.6.2. Recherche du signal d'excitation

e[n]

^{. . . . . . . . . . . . . . 166}

6.6.3. Autocorrélation de

e[n]

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166}

6.6.4. Critères de décision . . . 168

6.7. Synthèse d'un son . . . 169

6.7.1. Signaux réel et synthétique. . . 169

6.7.2. Mise en valeur des résultats . . . 170

6.8. Travailpratique . . . 172

6.8.1. Codage et décodage d'une phrase . . . 172

6.8.2. Analyse des résultats . . . 173

6.8.3. Analyse etamélioration de la synthèse . . . 173

6.9. Minimisationde l'écartquadratique . . . 174

7. Introduction au ltrage adaptatif 179 7.1. Notions de probabilités . . . 179

7.1.1. Dénitions de quelques estimateurs statistiques . . . 179

7.1.2. Notation vectorielle . . . 180

7.1.3. Fonction de répartition etdensité de probabilités . . . 181

7.1.4. Modèles statistiques . . . 182

7.2. Régression linéaire . . . 182

7.2.1. Mesure, modèleet écart . . . 184

7.2.2. Minimisationde l'écartquadratique . . . 184

7.2.3. Équations de larégression linéaire . . . 185

7.3. Filtragede Wiener . . . 186

7.3.1. Dénition du problème . . . 186

7.3.2. Résolutionau sens des moindres carrés . . . 187

7.3.3. Description matricielle . . . 189

7.3.4. Applications du ltragede Wiener . . . 190

7.4. Suppression d'une perturbation . . . 190

7.4.1. Filtragede Wiener classique . . . 192

7.4.2. Remarque . . . 192

7.5. Filtrageadaptatif . . . 193

7.5.1. Algorithme récursif des moindres carrés (RLMS) . . . 194

7.5.2. Algorithme récursif normalisé(NLMS) . . . 195

7.6. Exercices . . . 200

Analyse et synthèse des ltres

numériques

1.1. Introduction

Le ltrage est l'opération qui consiste à modier les composantes spectrales d'un

signal.Leltreest un circuitquiréalisecetteopération.Lesintervalles defréquence

où les composants du signal sont transmises sont appelées bandes passantes; les

intervalles où lessignaux sont bloqués sont désignés sous le nom de bandes d'arrêt

oud'atténuation.

1.1.1. Filtre idéal

Unltre idéal est caractérisépar :

1. une réponse fréquentielle dont le module vaut 1 dans lesbandes passantes;

2. une réponse fréquentielle dont le module vaut 0 dans lesbandes d'arrêt;

3. un temps de propagation

t p

^{qui est le même pour toutes les} composantes spectrales. Ce temps de propagation constant est équivalent à une réponse

fréquentielle à phase linéaire.

Ce type de ltres, purement théorique et bien entendu impossible à réaliser prati-

quement, est celui vers lequel ontend avec un ltre réel. Les réponse fréquentielles

des 4ltres idéaux de base sont représentés à lagure 1.1.

1.1.2. Formes canoniques

Les ltres réels sont généralement représentés par des fonctions de transfert

H(s)

dont les numérateurs et dénominateurs sont des polynômes en

s

^{. Ces polynômes}

sont ordonnés de manière croissante (forme de Bode) ou dans l'ordre décroissant

(forme de Laplace). Dans chaque cas, le premier coecient de ces polynômes doit

être égal àun.

An de faciliter l'analyse, le tracé des réponses fréquentielles et la réalisation des

ltres, ces polynômes sont généralement décomposés en facteurs simples d'ordre 1

ou2.Cesfacteurssimplesfontintervenir unepulsationcaractéristiqueet,pour ceux

d'ordre 2, un facteur de qualité

Q 0

^{ou, son inverse, le coecient} d'amortissement

ζ = 1/ (2Q 0 )

^.

Fig. 1.1.: Réponses fréquentielles des ltres idéaux

L'ensemble des possibilités de description des ltres se réduit donc aux facteurs

simplessuivants représentés sous la formede Bode :

s

ω 1 1 + _Q ¹

0

s ω 0 +

s ω 0

2

1 + _ω ^s ₁ 1 + 2ζ _ω ^s ₀ +

s ω 0

2

(1.1)

On y trouve :

les pulsations caractéristiques

ω 1

^et

ω 0

^;

le facteur de qualité

Q 0

^;

le coecient d'amortissement

ζ = 1/(2Q 0 )

^.

Voiciun exempled'écriture de fonctionsde transfertdans les formes de Bode et de

Laplace:

H(s) = 1 + s/ω 1

1 + 2ζ (s/ω 0 ) + (s/ω 0 ) ² H(s) = ω ₀ ²

ω 1

(s + ω 1 ) s ² + 2ζω 0 s + ω ₀ ²

1.1.3. Formes normalisées

Il est d'usage de décrireces fonctionsde transfert àl'aide de polynômesnormalisés

danslesquelslespulsationscaractéristiquessontunitaires.Lespolynômesnormalisés

d'ordre1 s'écrivent alors sous laforme:

P 1 (s) = s + 1

^(1.2)

etil est sous-entendu qu'ils correspondent àl'un des deux polynômes suivants :

P 1 (s) =







s + ω 1

1 + _ω ^s ₁

(1.3)

Lespolynômes normalisés d'ordre2 s'écrivent sous la forme:

P ₂ (s) = s ² + 2ζ s + 1

^(1.4)

etil est sous-entendu qu'ils correspondent àl'un des deux polynômes suivants :

P 2 (s) =







s ² + 2ζω 0 s + ω ₀ ² 1 + 2ζ _ω ^s

0 + _ω ^{s 2 2}

0

(1.5)

1.1.4. Filtres d'ordre 2

Lesltres fondamentauxsontdu type passe-bas, passe-haut,passe-bande etcoupe-

bande. A ceux-ci, on peut en ajouter beaucoup d'autres tels que, par exemple, les

ltrescorrecteurs d'amplitude etles ltres déphaseurs.

Fig. 1.2.: Filtres d'ordre2 réalisé avec un circuit série RLC

Lagure 1.2montrecommentlecircuitRLCpermetde réaliserles4ltres debase.

Suivant l'endroitoùl'on recueillela tensionde sortie, on trouve en eet:

le ltre passe-bas aux bornes de la capacité

H P B (s) = 1

1 + 2ζ (s/ω 0 ) + (s/ω 0 ) ²

(1.6)

le ltre passe-bandeaux bornes de larésistance

H _{P ∆} (s) = 2ζ (s/ω 0 )

1 + 2ζ (s/ω 0 ) + (s/ω 0 ) ²

(1.7)

le ltre passe-haut auxbornes de l'inductance

H P H (s) = (s/ω 0 ) ²

1 + 2ζ (s/ω 0 ) + (s/ω 0 ) ²

(1.8)

le réjecteurde bandeaux bornes de l'inductanceet de lacapacité

H R∆ (s) = 1 + (s/ω 0 ) ² 1 + 2ζ (s/ω ₀ ) + (s/ω ₀ ) ²

(1.9)

Dans le cas du ltre passe-bande d'ordre 2, on n'oubliera pas les relations impor-

tantes suivantes :

∆ω ≡ ω s − ω i = ω 0

Q 0

, ω ₀ ² = ω s · ω i

^(1.10)

où

ω i

^,

ω s

^,

∆ω

^sont,respectivement, les pulsations de coupure inférieure, supérieure etla bandepassante du ltre.

1.2. Filtres optimums

1.2.1. Gabarit

Contrairementaultre idéal,un ltreréelpossède unebandede transitionentre les

bandespassantes etd'arrêtet lesspécications du ltre sontgénéralement données

à l'aide d'un gabarit (gure 1.3). Celui-ci précise les bandes passantes, bandes de

transitionetbandes d'arrêtsouhaitées.

A ladonnée du gabarit,on peut ajouter des spécications telles que

l'amplitude de l'ondulation acceptée dans lesbandes passantes et/ou d'arrêt

l'uniformitédu tempsde propagationdans la bande passante(phase linéaire).

Il est important de relever ici que les gabarits ne sont pas toujours aussi simples

queceluide lagure1.3.Pourexemple,vous trouverezàlagure1.4legabaritque

doivent respecter les transmissionstéléphoniques aux USA.

1.2.2. Approximations

Suivantlecahierdeschargesdonné,laréalisationd'unltrepasse-bas conduitàdes

fonctionsde transfertdontlesdénominateurssont despolynômesquioptimisentau

mieux les contraintes demandées.Ces polynômes, appelés polynômes d'approxima-

tion,réalisentdes ltres caractériséspar l'uneou l'autredes propriétés suivantes :

une bande passante plate aumaximum pour les ltres de Butterworth;

un temps de propagation pratiquement uniforme (ou une phase linéaire)dans la

bande passante pour les ltres de Bessel;

Fig. 1.3.: Gabarit pour un ltre passe-bas

Fig. 1.4.: Gabarit de transmission téléphonique (Copyright 1975, ATT Company)

unebandede transitionétroiteobtenueaudépend d'uneondulationde laréponse

fréquentielle danslabandepassantepourlesltres de Tchebyche de type I.

Les ltres ci-dessus sont des ltres dits tout pôles pour lesquels le numérateur est

d'ordre0. Leurs fonctionsde transfert s'écrivent alors sous la forme:

H(s) = 1

A(s)

^(1.11)

D'autres approximations de ltres réels existent comme par exemple :

lesltres de Tchebychede typeIIquin'ontpasd'ondulationsdanslabande

passante mais en possèdent dans labande d'arrêt;

les ltres elliptiques pour lesquels on accepte des ondulations dans les bandes

passantes etd'arrêt.

Les fonctions de transfert de ces ltres sont alors décrites par un rapport de deux

polynômes;

H(s) = B(s)

A(s)

^(1.12)

Suivant lanaturedu ltre lesperformances sontsensiblementdiérentes; ellessont

présentées dans le tableau1.1.

Butterworth Bessel TchebycheI TchebycheII

Régularitédelacourbed'amplitude excellente satisfaisante ondulations bonne

Raideurdelatransition faible médiocre bonne moyenne

Régularitédutempsdepropagation faible excellente médiocre faible

Qualité delaréponse temporelle satisfaisante excellente mauvaise bonne

Facteursdequalité moyens faibles élevés moyens

Disparitédescomposants faible trèsfaible forte faible

Tab. 1.1.: Caractéristiques selon le typede ltres [4]

1.2.3. Temps de propagation

Onsaitqueledéphasageest unemesuredudécalagetemporel

t d

^{entre deuxsignaux}

périodiques de même natureet que l'on ala relationsuivante :

ϕ 2π = t _d

T

De manièreéquivalente, cela s'écrit

ϕ(ω) = 2π

T t d = ω t d ⇔ t d = ϕ(ω)

ω = T ϕ(ω) 2π

Lorsquel'ons'intéresseautemps depropagation

t p

^{d'unltreréel,celui-ciestnégatif}

etonle dénit commesuit

t p (ω) = − ϕ(ω)

ω

^(1.13)

Savaleur est généralementdonnée pour les basses fréquences

t p = − ϕ(ω) ω

ω → 0

(1.14)

Dans le cas où le temps de propagation est constant, toutes les composantes spec-

trales d'un signal sont retardées du même temps

t _p

^{et le signal temporel est ainsi}

peu déformé.

1.2.4. Illustration des réponses fréquentielles et temporelles

Pour cette illustration, on considère quatre ltres d'ordre5 et de nature diérente.

Lesgures1.5à 1.8illustrentlecomportementtemporel etfréquentieldesltres de

Butterworth, Bessel et Tchebyche I en utilisant des échelles logarithmiques (dia-

grammesde Bode).

Dansunbut decomparaison,onyaajoutéunltrepasse-bas composé de 5cellules

identiques d'ordre 1. An que les comparaisons se fassent sur une base commune,

tous lesltres ont lamême pulsationde coupure, àsavoir,

ω c = 1 [rad/sec]

^.

Lagure1.9permetdecomparerlesréponsesdel'ensembledesltres.Lagure1.10

utilisedes axeslinéairesan de mettre en évidence lecomportementde la phase et

celuidu temps de propagation des 4ltres.

Fig. 1.5.: Filtrede Butterworth (n=5)

Fig. 1.6.: Filtrede Bessel(n=5)

Fig.1.7.: Filtre de Tchebyche (n=5)

Fig.1.8.: Filtre composé de 5 cellulesd'ordre 1

Fig. 1.9.: Comparaisondes réponses fréquentielles et indicielles

Fig. 1.10.: Diagrammeslinéaireset temps de propagation

1.3. Filtres de Butterworth

Lesltres de Butterworth sont caractérisés par une réponse en amplitude extrême-

mentplatedanslabandepassante.Lecarrédumoduledecetteréponsefréquentielle

est décrite par :

| H(jω) | ² = H(jω)H( − jω) = 1 1 + (ω/ω c ) ²ⁿ

(1.15)

On notera que cette réponse est normalisée par rapport à la pulsation de coupure

ω c

^{pour laquelle le ltrepossède une} atténuation de

√ 2 = 3 dB

^.

En écrivant la fonction de transfert avec la variable de Laplace et en choisissant

ω c = 1

^{, onobtientune} description équivalente:

H(s)H( − s) = 1

1 + ( − s ² ) ⁿ

^(1.16)

On voit ainsi queledénominateur de cette descriptionest un polynôme d'ordre

2 n D(s) = 1 + − s ² n

= 0

^(1.17)

dont les racines sont uniformément réparties sur un cercle de rayon unité. L'angle

entre chaque racinevaut

π/n

^{et, suivant que l'ordreest pair ou impair,on aura les}

situationsillustréespar la gure 1.11.

Onnoteraquelespôlesàpartiesréellespositivessontinstables.Ilssontdusà

H( − s)

^,

lapartienon réalisablede lafonction de transfertutiliséepour décrirelemodule de

laréponsefréquentielle. Lespôles restantreprésentent lafonctionde transfert

H(s)

du ltre que l'on désire réaliser.

Fig. 1.11.:Positiondes pôles pour un ltre de Butterworth

Commeonl'aditplus haut,lesltrespasse-basétudiésicisontdes ltrestoutpôles

décritsde manièregénérale par :

H(s) = 1

A(s) = 1

1 + a 1 s + a 2 s ² + · · · + a n s ⁿ

^(1.18)

Pour calculer le polynôme

A(s)

^{, il sut de connaître les} coordonnées de chacun des pôles correspondant aux trinômes constitutifs du polynôme. En eet, si l'on a

p 1,2 = − a ± jb

^{, ilvient :}

A(s) =



 

 



 

 



(s + a + jb) (s + a − jb) s ² + 2a s + a ² + b ²

s ² + 2a s + 1

(1.19)

avec

a ² + b ² = 1

^{car lesracines}normalisées par rapportà

ω c

^{sesituent surun cercle}

de rayonunité.

Danslecas d'unpolynômed'ordre5, ce derniersera décomposé en 3polynômes de

base provenant du pôle réel etdes 2 paires de pôles complexes:

Pôles Polynômes

p 1 = − 1 P 1 (s) = 1 + s p 2,3 = − 0.809 ± j0.588 P 2 (s) = 1 + 1.618 s + s ² p 4,5 = − 0.309 ± j0.951 P 3 (s) = 1 + 0.618 s + s ²

Onnoteraquepourchaquecelluled'ordre2,lefacteurdequalitécorrespondant

Q 0k

est donné par l'inverse du deuxième coecient. Ainsi,pour le polynôme d'ordre 5,

onaura

Q 02 = 1/1.618

^et

Q 03 = 1/0.618

^.

1.3.1. Tableau des polynômes de Butterworth

Connaissant la position des pôles d'un polynôme d'ordre

n

quelconque, il est aisé d'en calculerlestrinômes constitutifs.Ceux-ci sontdonnés dans le tableau1.2.

1.3.2. Ordre et pulsation caractéristique d'un ltre

Dansl'analyse des ltres, ilest fréquent d'exprimer laréponse fréquentielle àl'aide

de l'atténuation

A(jω)

^{dénie commel'inverse de}

H(jω)

^:

A(jω) ≡ 1

H(jω)

^(1.20)

n P ( s )

1

(1 + s )

2

1 + 1 . 414 s + s ²

3

(1 + s ) 1 + 1 . 000 s + s ²

4

1 + 1 . 848 s + s ²

1 + 0 . 765 s + s ²

5

(1 + s ) 1 + 1 . 618 s + s ²

1 + 0 . 618 s + s ²

6

1 + 1 . 932 s + s ²

1 + 1 . 414 s + s ²

1 + 0 . 518 s + s ²

7

(1 + s ) 1 + 1 . 802 s + s ²

1 + 1 . 247 s + s ²

1 + 0 . 445 s + s ²

8

1 + 1 . 962 s + s ²

1 + 1 . 663 s + s ²

1 + 1 . 111 s + s ²

1 + 0 . 390 s + s ²

9

(1 + s ) 1 + 1 . 879 s + s ²

1 + 1 . 532 s + s ²

1 + 1 . 000 s + s ²

1 + 0347 s + s ²

10

1 + 1 . 975 s + s ²

1 + 1 . 782 s + s ²

1 + 1 . 414 s + s ²

1 + 0 . 908 s + s ²

1 + 0 . 313 s + s ²

Tab. 1.2.: Quelquespolynômesde Butterworth

L'atténuation d'un ltre de Butterworth est alors décrite par

| A(jω) | ² = 1 + ω

ω c

2n

(1.21)

Comme la connaissance des 2 paramètres

n

^et

ω _c

^{sut à} caractériser la réponse fréquentielle d'unltre deButterworth,ladonnée d'ungabaritpasse-bas àl'aidede

2coordonnées sut pour déterminercomplètementle ltre (gure1.12).

Fig. 1.12.: Gabaritet réalisationd'un ltre de Butterworth

Eneet, sachant que lesatténuations aux points

P

^{(n de labande passante) et}

A

(débutde labande d'arrêt)s'écrivent :

| A(jω p ) | ² ≡ A ² _p = 1 + ω p

ω c

2n

(1.22)

| A(jω _a ) | ² ≡ A ² _a = 1 + ω _a

ω c

2n

(1.23)

Onrésoutaisémentcesystème de2équationsà2inconnues eneectuantlerapport

desdeux équationsaprèsavoirpassélavaleur1danslemembrede gauche. Prenant

lelogarithme des deux membres de l'équation,onobtientnalement :

n ≥ 1 2

log

A ² _p − 1

/ (A ² _a − 1)

log (ω p /ω a )

^(1.24)

Une fois l'ordre connu, on peut calculer la pulsation de coupure à partir d'une des

deux équations d'atténuation.Ce quidonne

ω c = ω m

(A ² (ω m ) − 1) ^1/(2n)

(1.25)

avec

ω m = ω p ou ω a

Commela valeur trouvée pour l'ordre

n

^{du ltre n'est} généralement pas un entier, on l'arrondit à une valeur entière supérieure. On peut ainsi calculer deux valeurs

diérentes pour

ω c

^{: l'une avec la pulsation}

ω p

^{etl'autre avec la pulsation}

ω a

^.

Enchoisissant l'une oul'autre de ces deux pulsations caractéristiques, la courbe de

réponse fréquentielle touchera l'une ou l'autre partie du gabarit (gure 1.12a); ce

qui n'est pas satisfaisant. Par contre, en prenant pour

ω _c

^{la moyenne} géométrique des deux valeurs ainsi trouvées, on permettra à la courbe de réponse fréquentielle

de ne pas toucher legabarit (gure1.12b).

1.3.3. Synthèse d'un ltre de Butterworth

Dans l'exemple qui suit, on souhaite réaliser un ltre passe-bas de gain unité ne

comportantpas d'oscillationsdans la bande passanteet satisfaisant au gabaritsui-

vant:

H p = − 1 dB f p = 1 kHz H a = − 40 dB f a = 3 kHz

Pour ce faireon demande de :

1. trouver l'ordre

n

^{etla fréquence de coupure}

f c

^{du ltre;}

2. calculerlesfacteurs de qualité etle polynôme de réalisation;

3. tracerles réponses fréquentielle ettemporelle.

Solution :

1. On a:

A _p = 1/H _p = +1 dB = 1.122 ⇒ A ² _p − 1 = 0.2589 A a = 1/H a = +40 dB = 100 ⇒ A ² _a − 1 ' 10 ⁴

d'oùl'on tire :

n ≥ 1 2

log

A ² _p − 1

/ (A ² _a − 1)

log

(ω p /ω a ) = 1 2

log

(0.2589/10 ⁴ )

log

(1/3) = 4.80 ' 5

f c,p = f p

A ² _p − 1 1/2n = 1 kHz

0.2589 ^1/10 = 1.145 kHz

f c,a = f a

(A ² _a − 1) ^1/2n = 3 kHz

10 ^4/10 = 1.194 kHz

On peut ainsi calculer lafréquence de coupure

f _c = p

f _c,p · f _c,a = 1.17 kHz

2. D'après letableau 1.2, lepolynômenormaliséd'ordre 5vaut :

P 5,n (s) = (1 + s) 1 + 1.618s + s ²

1 + 0.618s + s ²

On en déduit immédiatement les facteurs de qualité en prenant l'inverse des

coecientsd'ordre 1des deux trinômes:

Q 02 = 1

1.618 = 0.618 = − 4.18 dB Q 03 = 1

0.618 = 1.618 = +4.18 dB

Enremplaçantlavariable

s

^par

s/(2π f c ) = 1.36 · 10 ^{− 4} s

^{,onobtientlepolynôme}

de réalisation:

P ₅ (s) = 1 + 1.36 · 10 ^{− 4} s

·

1 + 2.20 · 10 ^{− 4} s + 1.85 · 10 ^{− 8} s ²

· 1 + 0.84 · 10 ^{− 4} s + 1.85 · 10 ^{− 8} s ²

3. Partant du polynôme

P 5 (s)

^{, on en déduit}

H(s) = 1/P 5 (s)

^{et on peut calcu-}

ler puis tracer les réponses fréquentielles de chaque cellule (gure 1.13). La

somme (en dB) de ces 3 réponses donne la réponse fréquentielle du ltre de

Butterworth d'ordre 5 (gure 1.14). Les réponses impulsionnelle et indicielle

sont également présentées dans la gure1.15.

Fig. 1.13.: Réponses fréquentielles de chaque cellule

Fig.1.14.: Réponse fréquentielle d'un ltre de Butterworth d'ordre 5

Fig. 1.15.: Réponses temporelles d'un ltre de Butterworth d'ordre5

1.4. Filtres de Tchebyche

Lorsque lesspécications du gabaritpermettent une ondulationdans la bandepas-

sante du ltre, on utilise fréquemment un ltre de Tchebyche de type I dont la

réponse fréquentielle est décritepar :

| H(jω) | ² = H(jω)H( − jω) = 1

1 + ² C _n ² (ω/ω r ) ²ⁿ

(1.26)

avec

ω _r

^{délimitantlabandedanslaquelleonaccepte uneondulation}

r

^,généralement exprimée en dB. On voit donc que pour les ltres de Tchebyche, la pulsation de

normalisationn'est plus la pulsationde coupure mais lapulsationd'ondulation

ω r

^.

Lafonction

C n

^{décrivantlaréponse}fréquentielledultreestoscillantedanslabande passante etcroissante dans labande d'arrêt.Elle est décrite par :

C n (ω/ω r ) =







cos (n arccos (ω/ω r )) si ω/ω r ≤ 1 cosh (n acosh (ω/ω r )) si ω/ω r > 1

(1.27)

L'amplitude

^{de la fonction}

C n

^{est liée à} l'ondulation

r

^{acceptée dans la bande}

passante autravers de la relationsuivante :

1 + ² = r ² ⇔ ² = 10 ^{r dB /10} − 1

^(1.28)

1.4.1. Caractéristique des ltres de Tchebyche

LaréponsefréquentielledesltresdeTchebycheest illustréeparlagure1.16pour

laquelle on a pris

r = 1 dB

^{. On constate que le nombre d'extrémas présents dans}

la bande d'ondulation est égal à l'ordre du ltre et que les ondulations se situent

au-dessus ouau-dessous de 1suivant que leltre est d'ordre pair ouimpair.

On sesouviendra quela pulsationde la banded'ondulation

ω r

^{sert de pulsationde}

normalisationetqu'elle est reliée àla pulsationde coupure

ω c

^{par larelation :}

ω _c = ω _r cosh 1

n acosh(1/)

(1.29)

1.4.2. Calcul de l'ordre d'un ltre de Tchebyche

Comme la donnée de la largeur de la bande d'ondulation xe la pulsation de nor-

malisation

ω r

^{, ilsut de connaître un point de labande d'arrêtet} l'amplitude

^de

l'ondulationadmise pour déterminer l'ordre

n

^{du ltre [1]:}

n ≥

log p

A ² _a − 1 + p

A ² _a − 1 − ²

− log() log

(ω a /ω r ) + q

(ω a /ω r ) ² − 1

^(1.30)

Fig.1.16.: Réponse fréquentielle des ltres Tchebyche

Danslasituationfréquenteoùl'atténuation

A a

^{est plusgrandeque10,cetteexpres-}

sion peut être simpliéepour donner :

n ≥ log (2 A _a /) log

(ω a /ω r ) + q

(ω a /ω r ) ² − 1

^(1.31)

1.4.3. Tableau des polynômes de Tchebyche

On peut montrer que les racines des polynômes réalisant la réponse fréquentielle

décrite par l'équation (1.26) se situent sur une ellipse dont le petit diamètre dé-

pend de l'ondulation

r

^{. A partir de cette ellipse, on peut calculerles polynômes de}

Tchebyche dont quelques uns sont données dans le tableau 1.3 pour

r = 0.5

^et

1.0 dB

^.

1.4.4. Synthèse d'un ltre de Tchebyche

Dans l'exemple qui suit, on souhaite réaliser un ltre passe-bas de gain unité pour

lequel on accepte une ondulation de

±

^{1 dB dans la bande passante et} satisfaisant augabaritsuivant :

H(f r ) = H r = | r | = 1

^dB

f r = 1 kHz

n P ( s )

^pour

r = 0 . 5 dB = 1 . 059

^ou

= 0 . 3493

1

(1 + 0 . 349 s )

2

1 + 0 . 940 s + 0 . 659 s ²

3

(1 + 1 . 596 s ) 1 + 0 . 548 s + 0 . 875 s ²

4

1 + 2 . 376 s + 2 . 806 s ²

1 + 0 . 330 s + 0 . 940 s ²

5

(1 + 2 . 760 s ) 1 + 1 . 230 s + 2 . 097 s ²

1 + 0 . 216 s + 0 . 965 s ²

6

1 + 3 . 692 s + 6 . 370 s ²

1 + 0 . 719 s + 1 . 695 s ²

1 + 0 . 152 s + 0 . 977 s ²

7

(1 + 3 . 904 s ) 1 + 1 . 818 s + 3 . 939 s ²

1 + 0 . 472 s + 1 . 477 s ²

1 + 0 . 112 s + 0 . 984 s ²

8

1 + 4 . 981 s + 11 . 36 s ²

1 + 1 . 037 s + 2 . 788 s ²

1 + 0 . 335 s + 1 . 349 s ²

1 + 0 . 086 s + 0 . 988 s ²

n ^P ( s )

^pour

r = 1 . 0 dB = 1 . 122

^ou

= 0 . 5089

1

(1 + 0 . 509 s )

2

1 + 0 . 996 s + 0 . 907 s ²

3

(1 + 2 . 024 s ) 1 + 0 . 497 s + 1 . 006 s ²

4

1 + 2 . 411 s + 3 . 579 s ²

1 + 0 . 283 s + 1 . 014 s ²

5

(1 + 3 . 454 s ) 1 + 1 . 091 s + 2 . 329 s ²

1 + 0 . 181 s + 1 . 012 s ²

6

1 + 3 . 722 s + 8 . 019 s 2

1 + 0 . 609 s + 1 . 793 s 2

1 + 0 . 126 s + 1 . 009 s 2

7

(1 + 4 . 868 s ) 1 + 1 . 606 s + 4 . 339 s ²

1 + 0 . 392 s + 1 . 530 s ²

1 + 0 . 092 s + 1 . 007 s ²

8

1 + 5 . 010 s + 14 . 23 s ²

1 + 0 . 876 s + 2 . 934 s ²

1 + 0 . 276 s + 1 . 382 s ²

1 + 0 . 070 s + 1 . 006 s ²

Tab. 1.3.: Quelques polynômes de Tchebyche

H(f a ) = H a = − 40

^dB

f a = 3 kHz

Pour ce faireon demande de :

1. calculerl'ordre

n

^{du ltre etsa fréquence de coupure}

f _c

^;

2. calculerlesfréquence caractéristique etfacteur de qualité de chaque cellule;

3. calculerlepolynômede réalisation;

4. tracerles réponses fréquentielle ettemporelle.

Solution :

1. On a:

A p

^[dB]

= − H r

^[dB]

= | r | = 1

^dB

= 1.122 ⇒ = √

r ² − 1 = 0.5089 A a = 1/H a = +40

^dB

= 100 et u a = f a /f r = 3

d'oùl'on tire :

n ≥ log (2 A a /) log

(ω a /ω r ) + q

(ω a /ω r ) ² − 1

≥ log (200/0.5089) log 3 + √

3 ² − 1 = 3.39 ' 4

f c = f r cosh 1

n acosh(1/)

= 1 kHz · cosh 1

4 acosh(1/0.5089)

= 1053 Hz

2. Du tableau1.3, ontire lepolynôme normalisépour une ondulation de 1 dB

P 4,n (s) = 1 + 2.411s + 3.579s ²

1 + 0.283s + 1.014s ²

On en déduit immédiatementles 2facteurs de qualité

Q 01 =

√ 3.579

2.411 = 0.785 = − 2 dB Q 02 =

√ 1.014

0.283 = 3.56 = +11 dB

etles2 fréquences caractéristiques

f 01 = f r

√ 3.579 = 528 Hz f 02 = f r

√ 1.014 = 993 Hz

3. Eectuant lechangement de variable

s → s 2π f r

= 1.59 · 10 ^{− 4} s

sur lepolynômenormalisé

P 4n (s) = 1 + 2.411s + 3.579s ²

1 + 0.283s + 1.014s ²

onobtient lepolynômede réalisation:

P 4 (s) = 1 + 3.84 · 10 ^{− 4} s + 9.066 · 10 ^{− 8} s ²

1 + 0.45 · 10 ^{− 4} s + 2.568 · 10 ^{− 8} s ²

Àce polynôme correspond la fonction de transfert suivante:

H 4 (s) = 1

(1 + 3.84 · 10 ^{− 4} s + 9.066 · 10 ^{− 8} s ² ) (1 + 0.45 · 10 ^{− 4} s + 2.568 · 10 ^{− 8} s ² )

dont les pulsations caractéristiques, facteurs d'amortissement et de qualité

valent:

ω 01 = ^{√ 1}

9.066 · 10 ^{− 8} = 3321 rad/sec ω 02 = ^{√ 1}

2.568 · 10 ^{− 8} = 6240 rad/sec f 01 = ^ω _2π ⁰¹ = 528 Hz f 02 = ^ω _2π ⁰² = 993 Hz ζ ₁ = ^{3.84 · 10} ₂ ^{− 4 ω 01} = 0.637 ζ ₂ = ^{0.45 · 10} ₂ ^{− 4 ω 02} = 0.1405 Q 01 = _2ζ ¹ ₁ = 0.785 = − 2 dB Q 02 = _2ζ ¹ ₂ = 3.56 = 11 dB

Lesréponses fréquentielles des deux cellules sont tracéesà lagure 1.17.La somme

(en dB) de ces 2 réponses donne la réponse fréquentielle du ltre de Tchebyche

d'ordre4(gure1.18).Lesréponsesimpulsionnelleetindiciellesontprésentéesdans

lagure 1.19.

Fig. 1.17.: Réponses fréquentielles des 2 cellules

Fig. 1.18.: Réponse fréquentielle d'un ltre de Tchebyche d'ordre4

Fig. 1.19.: Réponses temporellesd'un ltre de Tchebyche d'ordre 4

1.5. Filtres de Bessel

Comme on vient de le voir, les ltres de Butterworth et Tchebyche conduisent à

des réponsesindiciellesayant un fort dépassementmalgré lefait quelesamplitudes

des composantes spectrales soient pratiquement maintenues à leurs valeurs dans la

bandepassante. Ce phénomène provientdu faitquele déphasagede chacune de ces

composantes n'est pas proportionnelà safréquence.

Avec les ltres de Bessel (dits également de Thomson), on obtient des réponses

indicielles presque sans dépassement grâce au temps de propagation qui, dans la

bande passante, est pratiquement indépendant de la fréquence. Cela se paye natu-

rellement par une réponse fréquentielle en amplitude moins abrupte dans la bande

de transitionque lesltres précédents (le ltre idéal n'existe pas encore!).

Untempsdepropagationconstant(indépendantde lafréquence) signiequetoutes

lescomposantes spectrales d'un signal sont transmises avec le même décalage tem-

porel.L'intégritéde laformedu signalest ainsirespectéesaufpour lescomposantes

spectralesque l'on désire supprimer par ltrage des amplitudes.

1.5.1. Phase linéaire et temps de propagation

On avu au paragraphe1.2.3 que le tempsde propagation

t p

^{est déni commesuit}

t p (ω) = − ϕ(ω)

ω

^(1.32)

etque savaleur est généralement donnée pour lesbasses fréquences

t _p = − ϕ(ω) ω

ω → 0

(1.33)

Dans le cas où le temps de propagation est constant (indépendant de la fréquence

du signal),onditque l'on aaaireà des ltresà phaselinéaire car, dans ce cas, on

abien évidemment

ϕ(ω) = − ω t _p

^(1.34)

C'estla propriété essentielle des ltres de Bessel.

1.5.2. Temps de propagation des ltres passe-bas

On montre aisément quela phase de cellulesd'ordre 1 ou2

H 1 (jω) = 1 1 + jω/ω 1

(1.35)

H 2 (jω) = 1

1 + (1/Q 0 ) jω/ω 0 + (jω/ω 0 ) ²

(1.36)

valentrespectivement

ϕ 1 (ω) = −

^atan

(ω/ω 1 )

^(1.37)

ϕ 2 (ω) = −

^atan

ω/ (Q 0 ω 0 ) 1 − (ω/ω 0 ) ²

(1.38)

Lestemps de propagation valent alors

t _p,1 (ω) ≡ − ϕ 1 (ω)

ω =

^atan

(ω/ω 1 ) ω

t p,2 (ω) ≡ − ϕ 2 (ω)

ω =

atan

ω/(Q 0 ω 0 ) 1 − (ω/ω ⁰ ) ²

ω

Lavaleurdutempsdepropagationestgénéralementdonnéepourlesbasses-fréquences

(

ω → 0

^{); on obtientalors pour lescellules d'ordre 1et 2,}respectivement

t _p,1 = 1 ω 1

, t _p,2 = 1 Q 0 ω 0

(1.39)

Commeunltred'ordrequelconqueestconstituédecellulesd'ordre1et2,lestemps

de propagation s'ajoutentpour donner

t p = X

k

1 Q 0,k ω 0,k

(1.40)

avec

Q 0,k = 1

^{pour les cellulesd'ordre 1.}

1.5.3. Fonctions de transfert

Les fonctions de transfert conduisant à un temps de propagation constant dans la

bandepassantepossèdent un dénominateur décrit par des polynômes de Bessel

P (s) = 1

H(s) = 1 + b 1 s + b 2 s ² + · · · b n s ⁿ

^(1.41)

dont lescoecientsse calculent de manièreitérative

b k = 2 (n − k + 1)

k (2n − k + 1) b k − 1

^avec

b 1 = 1

^(1.42)

Le tableau 1.4 donne quelques polynômes de Bessel décomposés en produits de

binômeset trinômes normalisés par rapport à la pulsationde coupure du ltre. Le

tableau a été construit en recherchant numériquement les racines des polynômes

originauxet lespulsations de coupure.

n P ( s )

1

(1 + s )

2

1 + 1 . 3614 s + 0 . 6178 s ²

3

(1 + 1 . 3225 s ) 1 + 0 . 9998 s + 0 . 4773 s ²

4

1 + 1 . 3389 s + 0 . 4883 s ²

1 + 0 . 7738 s + 0 . 3885 s ²

5

(1 + 1 . 5015 s ) 1 + 1 . 1408 s + 0 . 4133 s ²

1 + 0 . 6219 s + 0 . 3249 s ²

6

1 + 1 . 2224 s + 0 . 3891 s ²

1 + 0 . 9691 s + 0 . 3509 s ²

1 + 0 . 5133 s + 0 . 2759 s ²

7

(1 + 1 . 6840 s ) 1 + 1 . 0946 s + 0 . 3396 s ²

1 + 0 . 8305 s + 0 . 3012 s ²

1 + 0 . 4333 s + 0 . 2382 s ²

8

1 + 1 . 112 s + 0 . 3166 s ²

1 + 0 . 976 s + 0 . 2984 s ²

1 + 0 . 721 s + 0 . 2625 s ²

1 + 0 . 373 s + 0 . 209 s ²

Tab. 1.4.: Quelques polynômes de Bessel-Thomson

1.5.4. Synthèse d'un ltre de Bessel

D'un point de vue analytique, il n'existe malheureusement pas d'approche simple

pour trouverles pôles de

H(s)

^{.On ne peut donc pas déterminer}analytiquement la valeur de la pulsation de coupure et trouver l'ordre du ltre à partir d'un gabarit.

Onsecontentealorsd'uneapproche itérativeconduisantàvérier siunltredonné

(ordre et pulsation de coupure) entre bien dans le gabarit requis. La synthèse se

résume donc à dénir la bande passante (-3 dB) désirée et à choisir un ordre du

ltre susamment élevépour atteindre l'atténuation souhaitée.

Àtitreillustratif,considéronslecasd'unltrede Besseld'ordre6etde pulsationde

coupure

ω _c = 1 [rad/sec]

^{.Dutableau1.4,ontirelepolynômenormaliséparrapport}

àlapulsationde coupure

ω c

^{.Commenousavons choisi de prendre}

ω c = 1 [rad/sec]

^,

ce polynôme n'a pas besoin d'êtremodiéet l'on a

H(s) = 1

(1 + 1.2224s + 0.3891s ² ) (1 + 0.9691s + 0.3509s ² ) (1 + 0.5133s + 0.2759s ² )

Decettefonctionde transfert,nousdéduisonsqueleltreest réaliséàl'aidedetrois

cellulesd'ordre 2caractérisées par :

ω ₀₁ = 1

√ 0.3891 = 1.60 rad

sec

Q ₀₁ = 1 1.2224 · ω 01

= 0.51

ω 02 = 1

√ 0.3509 = 1.69 rad

sec

Q 02 = 1 0.9691 · ω 02

= 0.61

ω 03 = 1

√ 0.2759 = 1.90 rad

sec

Q 03 = 1

0.5133 · ω ₀₃ = 1.02

Commeletempsde propagationtotalest égalàlasommedestempsde propagation

de chaque cellule,ona

t p =

3

X

k=1

1

Q _0k · ω _0k = 1.22 + 0.97 + 0.51 = 2.70 [sec]

Lagure1.20montre laréponse fréquentiellede ce ltred'ordre6dontlapulsation

decoupure vaut 1rad/sec.Lagure1.21illustrelaréponseindicielledultre.Il est

intéressant de relever que le temps nécessaire pour atteindre le 50% de la réponse

indiciellecorrespond autemps depropagationdu ltre. Enn,lagure 1.22montre

comment la phase et le temps de propagation changent avec la pulsation. On voit

bien que, dans la bande passante, la phase varie linéairement et que le temps de

propagationest pratiquement indépendant de lapulsation.

Fig.1.20.: Réponse fréquentielle d'un ltre de Besseld'ordre 6

1.6. Largeur de bande et durée de la réponse

temporelle

Lors de l'utilisationdes ltres, on souhaitesouvent avoirsimultanémentune bande

passante étroite et un régime transitoire rapide. Or, cela est inconciliable. Pour le

Fig.1.21.: Réponse indicielled'un ltre de Besseld'ordre 6

Fig. 1.22.: Phase ettemps de propagation d'un ltre de Bessel d'ordre6

voir, considérons un ltre passe-bande dont la fonction de transfert est décrite par

sapulsationcaractéristique

ω 0

^{etson facteur de qualité}

Q 0

^:

H(s) = (1/Q 0 ) (s/ω 0 )

1 + (1/Q 0 ) (s/ω 0 ) + (s/ω 0 ) ²

(1.43)

Sachant que lefacteur de qualité etla largeurde bande sont reliés entre eux par

∆ω = ω 0

Q 0

(1.44)

lafonction de transfert du ltre passe-bande peut également s'écrire sous laforme

H(s) = ∆ω s

s ² + ∆ω s + ω ₀ ²

^(1.45)

Lespôles de cette fonction de transfert valent :

p _1,2 = − ∆ω 2 ±

s ∆ω

2 2

− ω ₀ ²

= − ∆ω 2

1 ±

q

1 − 4 Q ² ₀

Sile ltre passe-bandeest sélectif, lefacteur de qualité est élevé et l'expression des

pôles se simplientpour donner :

p _1,2 ' − ∆ω

2 ± jω ₀

^(1.46)

Laréponse transitoire du ltre est alors décritepar :

y h (t) = A 1 e ^{p 1 t} + A 2 e ^{p 2 t} = A exp

− ∆ω 2 t

cos (ω 0 t + α)

^(1.47)

Ceci est une réponse oscillanteamortie dont laconstante de temps

τ

^vaut

2/∆ω = 1/π∆f

^. Considérant que la durée du régime transitoire vaut environ 3 constantes de temps, onen tire larelation importantesuivante:

∆t ' 3τ = 3

π∆f ' 1

∆f

^(1.48)

Cetterelation montre que l'on ne peut pas avoirsimultanémentune grande sélecti-

vité (

∆f

^{petit) et un régime} transitoire court (

∆t

^{petit). Une conclusion similaire}

estvériéepour lesltresautresquepasse-bandepourlesquelsonne peutpas avoir

simultanément une bandede transitionétroite etun tempsd'établissement rapide.

1.7. Réalisations des ltres analogiques

1.7.1. Filtres normalisés

Commeonl'adéjàdit, lesltressontreprésentés pardes fonctionsdetransfertdont

lesnumérateurs etdénominateurs sontdes polynômes

P (s)

^{décomposés en facteurs}

simplesd'ordre 1ou 2:

P 1 (s) = 1 + s/ω 1

^(1.49)

P 2 (s) = 1 + 1 Q 0

s ω 0

+ s

ω 0

2

(1.50)

Aussi,pourcaractériserunltred'ordrequelconque,sut-ildedonnerlespulsations

caractéristiquesetlesfacteursdequalitéde chaque cellule.C'estcequiest faitpour

lesltres passe-bas dans le tableau1.5.

OnnoteraquepourlesltresdeButterworthetBessel,lapulsationdenormalisation

est la pulsation de coupure

ω _c

^{(3 dB} d'atténuation). Alors que, pour les ltres de Tchebyche, la pulsationde normalisation est celle correspondant à la bande dans

laquelleonaccepte une ondulation.L'amplitude

r

^de l'ondulationadmise s'exprime généralement en dB et les valeurs les plus souvent proposées sont 0.5 dB (5.9%

d'ondulation)et1.0dB (12.2%d'ondulation).

1.7.2. Transformations d'un ltre normalisé

L'étude des ltres est basée sur la connaissance approfondie des ltres passe-bas.

C'estdoncà partirdes caractéristiquesdes ltrespasse-bas quel'on construitcelles

des ltres de type passe-haut,passe-bande ou réjecteurde bande.

On vérie aisémentque lepassage d'unecellule passe-bas d'ordre1à unecellule de

naturediérente sefaitpar leschangementsde variabledonnésdans letableau1.6.

Latransformationpasse-bas vers passe-hautest aisée alors quelesdeux autres sont

fastidieuses et source d'erreurs. Aussi, dans le cas de ltres passe-bande et coupe-

bande, vaut-il mieux utiliser un outil tel que Matlab qui permet d'obtenir directe-

ment lespolynômesde réalisation.

Il est important de noter que,partant d'un passe-bas d'ordre

n

^{, le ltre équivalent}

passe-bande ou coupe-bande sera d'ordre

2 n

^{. La démarche permettant de passer}

d'un ltre àun autre est présentée en détail dans [3].

1.7.3. Circuits de Sallen et Key à gain xe

Comme tout ltre peut être réalisé à partir de cellules d'ordre 1 ou 2 décrites par

leur facteur de qualité et pulsationcaractéristique, on voit qu'il sut de connaître

lescircuits de base d'ordre1 ou 2pour réalisern'importe quelltre d'ordre

n

^.

Cescircuitsutilisentunamplicateursuiveur(àgainunité)etuneréactionpositive.

Ils permettent ainsi de réaliser des ltres à gain xe de type passe-bas, passe-haut

etpasse-bande. Leurs schémas sontprésentés dans la gure 1.23.

Ordre Cellules Btw

(1)

Bessel Tchb. 0.5dB Tchb. 1dB

Q k ω k

ω c Q k ω k

ω 0 . 5 dB Q k ω k

ω 1 dB Q k

1 1 1.000 2.8628 1.9652

2 1 0.7071 1.2723 0.5774 1.2313 0.8637 1.0500 0.9565

3 1 1.3225 0.6265 0.4942

2 1.0000 1.4474 0.6910 1.0689 1.7062 0.9971 2.0177

4 1 0.5412 1.4310 0.5219 0.5970 0.7051 0.5286 0.7845

2 1.3066 1.6043 0.8055 1.0313 2.9406 0.9932 3.5590

5 1 1.5015 0.3623 0.2895

2 0.6180 1.5555 0.5635 0.6905 1.1778 0.6552 1.3988

3 1.6180 1.7545 0.9165 1.0177 4.5450 0.9941 5.5564

6 1 0.5176 1.6030 0.5103 0.3962 0.6836 0.3531 0.7609

2 0.7071 1.6882 0.6112 0.7681 1.8104 0.7468 2.1980

3 1.9319 1.9037 1.0233 1.0114 6.5128 0.9954 8.0037

7 1 1.6840 0.2562 0.2054

2 0.5550 1.7160 0.5324 0.5039 1.0916 0.4801 1.2969

3 0.8019 1.8221 0.6608 0.8227 2.5755 0.8084 3.1559

4 2.2470 2.0491 1.1263 1.0080 8.8418 0.9963 10.8987

8 1 0.5098 1.7772 0.5060 0.2967 0.6766 0.2651 0.7530

2 0.6013 1.8308 0.5596 0.5989 1.6107 0.5828 1.9565

3 0.8999 1.9518 0.7109 0.8610 3.4657 0.8506 4.2661

4 2.5629 2.1872 1.2257 1.0059 11.5308 0.9971 14.2405

9 1 1.8570 0.1984 0.1593

2 0.5321 1.8788 0.5197 0.3954 1.0664 0.3773 1.2600

3 0.6527 1.9483 0.5895 0.6727 2.2131 0.6622 2.7129

4 1.000 2.0808 0.7606 0.8885 4.4780 0.8806 5.5266

5 2.8794 2.3228 1.3219 1.0046 14.5793 0.9976 18.0286

10 1 0.5062 1.9412 0.5039 0.2372 0.6734 0.2121 0.7495

2 0.5612 1.9790 0.5376 0.4878 1.5347 0.4761 1.8645

3 0.7071 2.0606 0.6205 0.7293 2.8913 0.7215 3.5605

4 1.1013 2.2021 0.8098 0.9087 5.6114 0.9025 6.9367

5 3.1962 2.4487 1.4153 1.0037 17.9871 0.9980 22.2630

(1)

Pour toutes lescellules des ltres de Butterworth, ona

ω _k /ω _c = 1

Tab. 1.5.: Pulsationset facteurs de qualité des ltres normalisés

Fig.1.23.: Circuits de Sallen etKey àgain xe

Filtre désiré Caractéristiques Variable

passe-bas

ω k s/ω k

passe-haut

ω _k ω _k /s

passe-bande

ω ₀ = √ ω _i ω _s B ₀ = ^{ω s} _ω ^{− ω i}

0

s/ω 0 +ω 0 /s B 0

coupe-bande

ω 0 = √ ω i ω s B 0 = ^{ω s} _ω ⁻ ₀ ^{ω i} _{s/ω 0} ^B _+ω ⁰ _{0 /s}

Tab. 1.6.: Transformations d'un ltre normalisé

Filtres passe-bas et passe-haut

Lesfonctions de transfert des ltres passe-bas et passe-haut sont décritespar :

H P B (s) = 1

1 + C 2 (R 1 + R 2 ) s + C 1 C 2 R 1 R 2 s ²

^(1.51)

H P H (s) = C 1 C 2 R 1 R 2 s ²

1 + R 1 (C 1 + C 2 ) s + C 1 C 2 R 1 R 2 s ²

^(1.52)

Paridenticationdestermesdelaformecanoniqueavecceuxdes fonctionsdetrans-

fert,on montre aisémentles résultatssuivants :

ω ₀ ² = 1 C 1 C 2 R 1 R 2

(1.53)

Q 0,P B =

s C 1 R 1 R 2

C ₂ (R ₁ + R ₂ ) ²

(1.54)

Q 0,P H =

s R 2 C 1 C 2

R 1 (C 1 + C 2 ) ²

(1.55)

Commelenombre d'élémentsindéterminés(4)est plusgrandquelenombred'équa-

tions(2), ondoiten choisir 2aupréalable.An quelefacteurde qualité puisseêtre

supérieur à 0.5, onprendra :

1. pour leltre passe-bas :

R 1 = R 2 = R

^(1.56)

d'où

ω 0 = 1

CR Q 0 = 1 2

r C ₁ C 2

(1.57)

C 2 = 1

2Q 0 ω 0 R C 1 = 4 Q ² ₀ C 2

^(1.58)

2. pour leltre passe-haut :

C 1 = C 2 = C

^(1.59)

d'où

ω ₀ = 1

CR Q ₀ = 1 2

r R 2

R 1

(1.60)

R 1 = 1

2Q 0 ω 0 C R 2 = 4Q ² ₀ R 1

^(1.61)

Filtre passe-bande

Lafonction de transfert du ltre passe-bande de lagure 1.23 est décrite par :

H P ∆ (s) = R 2

R ₁ + R ₂

C 2 R 3 s 1 + _R ^{R 2}

1 +R 2 (R ₁ (C ₁ + C ₂ ) + R ₃ C ₂ ) s + _R ^{R 2}

1 +R 2 C ₁ C ₂ R ₁ R ₃ s ²

(1.62)

Enchoisissant

C 1 = C 2 = C

^et

R 1 = R 3 = R

^{,on obtient}

H P ∆ (s) = R 2

R + R 2

CR s

1 + 3 _R+R ^{R 2} ₂ CR s + _R+R ^{R 2} ₂ C ² R ² s ²

^(1.63)

Enidentiant lestermes de

H P ∆ (s)

^{avec ceux de la formecanonique}

H P ∆ (s) = A 0

1 Q ⁰ ω ⁰ s 1 + _{Q 0} ¹ _{ω 0} s + _ω ^{1 2}

0 s ²

onmontre aisément lesrésultats suivants :

A 0 ≡ H P ∆ (jω 0 ) = 1

3

^(1.64)

ω ₀ ² =

1 + R R 2

1

C ² R ²

^(1.65)

Q 0 = 1 3

r 1 + R

R 2

(1.66)

Aprèsavoirlibrementchoisi lavaleurde

R ₂

^{,onvoitqueleséquationsci-dessusnous}

permettent de calculer lavaleur des éléments nécessaires àla réalisationd'un ltre

passe-bande:

R = R ₂ 9 Q ² ₀ − 1

(1.67)

C = r

1 + R R 2

1

ω 0 R = 3 Q 0

ω 0 R

^(1.68)

On notera qu'à la pulsation caractéristique du ltre, le gain vaut 1/3 et que, si

nécessaire, ilfaudra corriger legain global.

Remarque

Les circuits à gain xe orent un moyen simple de réaliser des ltres d'ordre 2.

Cependant, si l'on observe les équations donnant la pulsationcaractéristique

ω 0

^et

lefacteurdequalité

Q ₀

^{,onvoitquel'onne peutpasvarierl'unsanschangerl'autre.}

De plus, le choix des valeurs normalisées pour les composants

R

^ou

C

^{n'est pas}

possible. On préfère donc parfois, lorsqu'il s'agit de ltres passe-bas oupasse-haut,

utiliserles circuitsà gain variable.

1.7.4. Circuits de Sallen et Key à gain variable

Leurs schémas sont présentés dans lagure 1.24. On voit qu'ilsont la mêmestruc-

tureque lescircuitsprécédentssauf quel'amplicateursuiveur est remplacé par un

amplicateurgain variable valant

K = R ₃ + R ₄ R 3

= 1 + R ₄ R 3

On montre aisément queles fonctionsde transfertde ces ltres sont décritespar :

H P B (s) = K 1

1 + (3 − K) sRC + (sRC) ²

^(1.69)

H P H (s) = K (sRC) ²

1 + (3 − K) sRC + (sRC ) ²

^(1.70)

H P ∆ (s) = K

3 − K

(3 − K) sRC

1 + (3 − K) sRC + (sRC ) ²

^(1.71)

L'identicationdes coecientsdes dénominateurs avec ceux de la formecanonique

D(s) = 1 + 1 Q 0

s ω 0

+ s

ω 0

2

(1.72)

permet de voirque l'on ales relationssuivantes :

ω ₀ = 1

RC

^(1.73)

1 Q 0

= 3 − K = 2 − R 4

R 3

(1.74)

Commelenombre d'élémentsindéterminés(4)est plusgrandquelenombred'équa-

tions (2), on doit en choisir 2 au préalable. Si, par exemple, on se donne

C

^et

R 3

^,

onaalors

R = 1

ω 0 C

^(1.75)

R 4 = R 3

2 − 1

Q 0

(1.76)

Remarque On notera que le gain en tension des cellules passe-bas et passe-haut

vaut

A U, P B = A U, P H = K = 3 − 1

Q 0 ' 3

^(1.77)

alors quecelui du ltrepasse-bande

A U, P∆ = K

3 − K = 3 Q 0 − 1 ' 3 Q 0

^(1.78)

est proportionnel au facteur de qualité; il peut ainsi atteindre des valeurs très im-

portantes. On préfère alors, pour ce type de ltre,utiliser lacellule à gain xe.

1.7.5. Réalisation d'un ltre passe-bande

Donnée

On souhaiteréaliserun ltre passe-banded'ordre

n = 6

^{pour lequel on accepte une}

ondulation

r = 1 dB

^{entre lespulsations}

ω 1 = 500 [rad/sec]

^et

ω 2 = 2000 [rad/sec]

^.

Solution

Celtre seraréalisé par3cellulesd'ordre2provenant chacune de latransformation

d'une cellule passe-bas d'ordre 1 en une cellule passe-bande. Cette transformation

sefait par le changement de variablesuivant (tableau1.6) :

s −→ s/ω 0k + ω 0k /s

B _k

^(1.79)

avec

ω 0k = √ ω i ω s B k = ω s − ω i

ω ₀ = 1

Q _0k

^(1.80)

On comprend bien que le calcul de cette transformation à partir du tableau des

polynômesnormalisésn'estpas aiséeetqu'ilvautmieuxutiliserun programmeper-

mettant d'obtenir directement les paramètres de chaque cellule. Le logiciel Matlab

seprête particulièrementbien à cela.

Le contenu du chier permettant de calculer le ltre désiré est donné dans la sec-

tion1.7.5.On y trouve enparticulier lafonctionzpk(zero-pole-gain)de Matlabqui

ache lesrésultatsdans laformede Laplace:

1658160052.054 s^3

---

(s^2 + 151.6s + 2.57e005)(s^2 + 741.3s + 1e006)(s^2 + 589.7s +3.891e006)

Dans la forme de Bode, la fonction de transfert du ltre passe-bande à gain unité

s'écritalors :

H(s) =

1 Q ⁰¹

s ω ⁰¹

1 + _Q ¹ _{01 ω} ^s ₀₁ +

s ω 01

2

1 Q ⁰²

s ω ⁰²

1 + _Q ¹ _{02 ω} ^s ₀₂ +

s ω 02

2

1 Q ⁰³

s ω ⁰³

1 + _Q ¹ _{03 ω} ^s ₀₃ +

s ω 03

2

Fig. 1.24.:Cellules àgain variable

Les paramètres de chaque cellule se calculent aisément avec la fonction damp qui

fournit les pulsations caractéristiques et facteur d'amortissement de chaque cellule

(voir chier Matlab).On obtient alors :

ω 01 = 507 [rad/sec] Q 01 = 3.35 ω 02 = 1000 [rad/sec] Q 02 = 1.35 ω ₀₃ = 1972 [rad/sec] Q ₀₃ = 3.35

À partir de ces paramètres et du choix du schéma de réalisation, on calcule aisé-

ment les valeurs des composants. Adoptant le schéma de Sallen et Key à gain xe

(gure 1.23), et, après avoir choisi

R 2 = 1 [kΩ]

^{, on peut calculer les valeurs des}

résistances etcapacités de chaque cellule passe-bande (équ. (1.67) et(1.68)) :

R = R 2 9 Q ² ₀ − 1

=







99.7 [kΩ]

15.4 [kΩ]

99.7 [kΩ]

C = 3 Q 0

ω 0 R =







198 [nF ] 263 [nF ] 51 [nF ]

Fig. 1.25.:Réponse fréquentielle d'un ltre passe-bande de Tchebyche