Synthèse de l’observateur

Prenons le modèle bilinéaire (3.4), nous pouvons l’écrire sous forme

matri-cielle suivante, où x⁰⁰ regroupe les variables mesurées et x⁰celles à estimer :

 ˙

x = A⁰x+ B⁰xd+ L⁰v_e

y = Cx = C₁x⁰+C₂x⁰⁰ ; x = (x⁰x⁰⁰) et det(C₂) 6= 0 (3.15)

Un avantage de cet observateur par modes glissants est que son ordre est réduit,

il est égal à la dimension de x⁰. Comme défini dans (3.15), le vecteur d’état x est

divisé en deux sous-vecteurs d’état avec une condition sur le déterminant de la

matrice C₂. Dans notre cas, cet ordre est réduit de quatre à trois. Nous pouvons

donc réécrire le système (3.15) comme :

 ˙

x⁰ = A₁₁x⁰+ A₁₂y+ (B₁x⁰+ E₁y)d + L⁰v_e

˙

y = A₂₁x⁰+ A₂₂y+ (B₂x⁰+ E₂y)d ; x⁰⁰= C₂⁻¹(y −C₁x⁰) ^(3.16)

Remarque: à partir de ce point, le terme x⁰dans (3.15) ne doit pas être confondu

avec celui utilisé pour représenter les vecteurs de commande définis précédem-ment. Il est complètement indépendant.

Tous les éléments des matrices dans (3.15) et (3.16) sont composés de

para-mètres du circuit du convertisseur et peuvent être facilement obtenus à partir de la

réorganisation de (3.4). Un problème majeur et pratiquement présent dans tous les

convertisseurs de puissance est l’incertitude de leurs composants. Cela se traduit par une erreur expérimentale sur la convergence de l’état, même si la stabilité glo-bale est théoriquement satisfaite. Pour résoudre ce problème, nous proposons de prendre en compte ces incertitudes. Parmi plusieurs méthodes, nous avons choisi de le faire d’une façon non structurée. Cela signifie que nous ne formulons pas le problème à travers l’incertitude exacte de chaque composant, mais plutôt, nous considérons que toutes les incertitudes peuvent être résumées et représentées par

une perturbation constante d0sur le signal de commande d. d0est alors considéré

comme un état supplémentaire à estimer. Cela augmente donc l’ordre du système d’une unité, mais évite une formulation complexe et longue des incertitudes. Cette approche non-structurée ne garantit pas une élimination complète de l’erreur ex-périmentale dû aux incertitudes, mais d’un point de vue de l’application, nous pouvons tolérer un certain écart. Le nouveau système étendu qui prend en compte les incertitudes est donc d’ordre quatre et sa représentation d’état est de la forme

suivante :    ˙ x⁰ = A₁₁x⁰+ A₁₂y+ (B₁x⁰+ E₁y)(d + d₀) + L⁰v_e ˙ d₀ = 0 ˙ y = A₂₁x⁰+ A₂₂y+ (B₂x⁰+ E₂y)(d + d₀) (3.17)

Dans (3.17), d est le signal de commande fourni par la loi de commande, tandis

que d₀ est une perturbation estimée avec le vecteur d’état, par l’observateur. La

représentation d’état étendue de l’observateur par modes glissants correspondant à la forme bilinéaire est la suivante :

   ˙ˆx0 = A₁₁xˆ⁰+ A₁₂yˆ+ (B₁xˆ⁰+ E₁y)(d + ˆˆ d₀) + L⁰v_e+ K₁w ˙ˆ d₀ = 0 + K₂w ˙ˆy = A21xˆ⁰+ A₂₂yˆ+ (B₂xˆ⁰+ E₂y)(d + ˆˆ d₀) − w (3.18)

où K₁et K₂sont les gains de l’observateur, ( ˆx⁰ _dˆ₀₎>le vecteur d’état augmenté et

wl’entrée de l’observateur, qui est équivalent à une entrée de commande dans le

cas d’une SMC.

Dans ce cas, nous appliquons le principe de la commande discontinue pour assurer l’attractivité vers la surface de glissement. Ainsi, nous assignons w =

Msgn(s) avec M une constante positive. Un bon choix de M peut être trouvé

en utilisant la condition d’attractivité s ˙s< 0. Cependant, le problème de réticence

n’est pas significatif puisque, dans ce cas, le modèle (SMO) est entièrement numé-rique (absence de bruit ou des dynamiques négligées). La surface de glissement est

s= ˆy− y, ce qui montre que sa convergence vers 0 assure une estimation parfaite.

Finalement, il reste à vérifier la dynamique de glissement. Pour cela, nous déter-minons la dynamique de l’erreur d’estimation en utilisant la composante continue

w_eq(commande équivalent dans le cas de la SMC). Cela conduit à :



˙ε = (A₁₁+ K₁A₂₁)ε + (B1+ K₁B₂)ε(d + d0)

ε = xˆ⁰− x^{0 (3.19)}

La paire (A₁₁, A₂₁) étant observable, nous pouvons trouver un gain K₁ tel que

A_ε= A₁₁+ K₁A₂₁ est Hurwitz. Ensuite, nous pouvons estimer x⁰⁰ à partir de ˆx⁰⁰=

C⁻¹₂ (y −C₁xˆ⁰).

Un observateur est donc synthétisé en prenant :

M= 1500; K₁= ( - 0,0822 0,7284 0,2486)^>; K₂= - 0,0066

Un essai de variation de la consigne, comme celui de la SMC (première stratégie

sans observateur), est effectué. La Fig.3.21 montre les réponses obtenues en

94 3.2 Synthèse des observateurs par modes glissants – en simulation, la réponse est identique à celle sans observateur ;

– expérimentalement, la phase transitoire est plus lisse, et avec un écart faible entre la référence et la tension de sortie.

L’écart constaté, entre la référence et la tension de sortie, existe toujours comme prévu et a une valeur relative inférieure à 0,8%, ce qui est acceptable dans la majorité des applications des convertisseurs DC-DC. Il est maintenant dû aux in-certitudes des valeurs des résistances du capteur de la tension de sortie, et à la chaîne de mesure.

Figure 3.21 – Réponse en simulation et expérimentale à une variation de 2V de la consigne en présence de l’observateur

Sachant que l’approche de l’observateur par modes glissants proposé est non linéaire, et que le principe de séparation de la stabilité pour la commande et l’observateur ne s’applique pas, il faut démontrer analytiquement la stabilité glo-bale du système complet comportant la commande et l’observation (convertis-seur+SMC+SMO), ce qui n’est pas donné ici à cause des expressions non linéaires complexes. Cependant, nous avons vérifié que le système complet, linéarisé autour du point de fonctionnement, est stable (ayant une matrice de transition Hurwitz).

Enfin, un résultat positif de cette approche est que les réglages des paramètres de la SMC et ceux du SMO sont totalement indépendants.

3.3 Conclusions

Dans ce chapitre, la commande équivalente par modes glissants a été appliquée afin de fournir une loi de commande rapide et stable, appliquée dans le cadre de ces travaux sur un convertisseur de type SEPIC, tout en conservant une fréquence de commutation fixe. Ceci a facilité l’implémentation pratique et son utilisation sans la commande discontinue a été justifiée. Nous avons montré que, contraire-ment à ce qui a été supposé en termes du choix de la surface de glissecontraire-ment, une commande par modes glissants du premier ordre conduit à une loi de commande instable pour le SEPIC, même si ce n’est pas le cas pour d’autres convertisseurs DC-DC.

Nous avons proposé des stratégies de commande par modes glissants du second ordre qui permettent d’obtenir des comportements dynamiques rapides et stables et qui sont en même temps d’une complexité de synthèse « raisonnable ».

Par ailleurs, nous avons proposé un observateur par modes glissants qui prend en compte des incertitudes pour estimer le vecteur d’état et limiter les problèmes de mesure de toutes les variables d’état.

De plus, une comparaison des lois de commande avec une analyse de robus-tesse de stabilité, pour le convertisseur SEPIC, a été traitée. Comparativement à la régulation de type PI et à la commande par retour d’état, les résultats ob-tenus en simulation, et confirmés expérimentalement, ont permis de conclure à des meilleures performances de la commande par modes glissants, en particulier vis-à-vis des perturbations de la charge. Du point de vue du comportement non linéaire, la commande par modes glissants a aussi permis d’obtenir une meilleure homogénéité avec une très bonne dynamique transitoire lors des changements de point de fonctionnement. En termes de robustesse, l’analyse effectuée en utilisant la valeur singulière structurée a permis de conclure à une meilleure performance de la commande par modes glissants.

Cependant, ces performances peuvent être améliorées si la valeur de la charge peut être estimée, ce que l’observateur par modes glissants ne fait pas ici. Ce problème est complexe vis-à-vis de la conception de ce type d’observateurs. En

revanche, nous le proposons dans le chapitre 5 en utilisant une autre approche

Modélisation et commande par