Synthèse des formules

L’analyse des mesures de pression à l’interface entre le sol et la structure protégée pendant les essais d’impact a conduit à représenter la distribution spatio-temporelle de pression induite par l’impact (p(r, t)) comme le produit de la distribution spatiale de pression induite maximale (pmax(r)) par la distribution temporelle de la pression induite « normalisée » à la distance r de la trajectoire d’impact, i.e. la pression induite divisée par la pression induite maximale à cette distance. La distribution p(r, t) a ainsi été exprimée par les équations 4.1 à 4.3 rappelées ci-dessous :

 Pour t < t_i(r) : p(r, t) = 0 4.31  Pour t_i(r) ≤ t < t_max(r) : p(r, t) = p_max(r) × f(t − t_i(r)) 4.32  Pour tmax(r) ≤ t : p(r, t) = p_max(r) × g(r, t − t_max(r)) 4.33

Où ti(r) représente l’instant d’arrivée de la sollicitation à la distance r de la trajectoire, p_max(r) la distribution spatiale de pression induite maximale et les fonctions f et g la distribution de pression induite normalisée respectivement avant et après le pic de pression, à l’instant tmax(r).

La distribution spatiale de la pression maximale pmax(r) a été représentée en Figure 4.2 et la distribution temporelle de la pression induite « normalisée » à la distance r de la trajectoire, montrant les fonctions f et g, en Figure 4.3. La fonction f, pendant l’augmentation de la pression jusqu’à sa valeur maximale à cette distance est parabolique, puis la fonction g, pendant sa décroissance vers zéro, est Gaussienne.

Cinq grandeurs sont utilisées pour caractériser, à partir des essais, la distribution pmax(r) et les fonctions f et g (cf. équations 4.4 à 4.11) :

 A_i : la vitesse de propagation de la sollicitation dans la couche de sol,

 p_max(r=0)) et p_max(r=B/2) , la pression induite maximale, respectivement au droit de l’impact et à l’aplomb de la périphérie du bloc,

 p₅₀ et ∆t50, la vitesse d’accroissement de la pression induite normalisée (caractérisant la fonction f), observée indépendante de la distance à la trajectoire d’impact, et la durée pendant laquelle la pression induite est supérieure à 50 % de sa valeur maximale (caractérisant la fonction g), observée diminuer avec la distance à la trajectoire d’impact.

La campagne d’essais expérimentaux a systématiquement combiné différentes épaisseurs de la couche de sol protectrice (D), diamètres équivalents d’impacteur (H) et hauteur de chute (H, reliée à la vitesse d’impact). A partir de ces essais, ce chapitre a présenté l’analyse de l’influence de la

configuration d’impact (D, B et H) sur chacune de ces cinq grandeurs. Cette analyse a permis de mettre en évidence de nouveaux phénomènes et d’exprimer en fonction de la configuration d’impact définie par D, B et H les cinq grandeurs qui caractérisent la distribution spatio-temporelle de pression induite par l’impact à l’interface entre la couche de sol protectrice et la structure.

Concernant la propagation initiale de la sollicitation (vitesse Ai, mise en évidence en représentant le temps d’arrivée de la sollicitation en fonction de la distance du capteur de pression à la trajectoire de pression), cette grandeur a été observée identique dans tous les essais. Ce paramètre peut donc être défini à partir d’un essai, instrumenté par capteurs de pressions à l’interface sol-structure, indépendamment de la configuration d’impact D, B ou H.

La valeur de la pression maximale induite au droit du point d’impact a été trouvée, pour une hauteur de chute (ou une vitesse d’impact), augmenter linéairement avec le rapport B/D, de manière beaucoup plus significative pour B > 0.75D. Pour la conception d’une protection aux impacts par une couche de sol, il est donc recommandé de choisir l’épaisseur de la couche de sol supérieure à 4B/3.

La pente et l’ordonnée à l’origine de la relation affine entre la pression maximale induite au droit du point d’impact (pmax(r=0)) et la valeur du rapport B/D dépend de la hauteur de chute (i.e. de la vitesse d’impact du bloc rocheux). Cette pente et ordonnée ont également été trouvées linéaires en fonction de H, conduisant à exprimer la pression maximale induite au droit du point d’impact en fonction de la configuration d’impact (D, B et H) par l’équation suivante :

p_max (^B

D^{, H) = (c1∙H+c2}) × _D^B + (c₃∙ H + c₄) 4.34 Les valeurs des paramètres ci, i=1 à 4, sont différents pour les épaisseurs de couche de sol protectrice (D) inférieures ou supérieures à l’épaisseur critique de 4B/3. Dans chacun des cas, pour les épaisseurs supérieures à 4B/3 (recommandé), les valeurs de ces quatre paramètres sont obtenues expérimentalement en deux étapes. Premièrement, pour une hauteur de chute donnée, effectuer une régression linéaire sur les valeurs de pmax(r=0) observées pour plusieurs valeurs du rapport B/D. Deuxièmement, la pente donnée par cette régression correspondant au facteur de B/D dans l’équation 4.34 et l’ordonnée à l’origine au terme constant (pour une valeur de H), effectuer une régression linéaire sur chacun de ces deux termes en fonction de H, pour obtenir respectivement (c₁ et c₂) et (c₃ et c₄). Considérant la qualité des régressions observées, neuf essais combinant trois rapports de B/D et trois hauteurs de chute (H) permettent de déterminer ces coefficients.

La distribution spatiale de pression induite maximale (pmax(r)) est de forme Gaussienne, comme indiqué par l’équation 4.35 ci-après, décroissante à partir de l’extrémum observé au droit du point d’impact. Le paramètre β1, décrivant la diminution de la pression maximale en fonction de la distance à la trajectoire d’impact (r), est relié à la valeur de la pression induite maximale au droit de la périphérie du bloc par l’équation 4.36, dans laquelle B représente le diamètre équivalent du bloc.

p_max(r) = p_max(r=0) ∙ e-β₁r² 4.35 β₁= ⁴

B2 ln ( ^pmax(r=0)

p_max(r=^B₂₎) 4.36

La valeur en B/2 de la pression induite maximale normalisée (pmax (r=B/2) / p_max (r=0)) décroit avec le rapport B/D, indépendamment de la hauteur de chute (H, ou vitesse d’impact). En fait, lorsque les dimensions du bloc sont grandes par rapport à l’épaisseur de la couche de sol protectrice, un effet d’enclume se produit qui rigidifie le sol autour de la trajectoire d’impact et réduit fortement la valeur de la pression maximale au droit de la périphérie du bloc (en B/2). Il a été montré que le paramètre β1 est donné par l’équation suivante :

β₁=^{4 a}

D2 4.37

Où le paramètre a est déterminé par interpolation Gaussienne des valeurs de pression induite maximale normalisée à la distance B/2 de la trajectoire d’impact en fonction du rapport B/D.

La distribution temporelle de la pression induite normalisée à la distance r de la trajectoire d’impact est de forme différente avant et après le pic de pression. Avant le pic, les résultats des essais ont montré que la pression induite normalisée augmentait à la même vitesse, indépendamment de la distance à la trajectoire. Pendant l’augmentation de la pression, la courbe de pression induite normalisée en fonction du temps est de forme parabolique, caractérisée par la pente de la courbe à 50 % de la pression maximale (p₅₀), comme représenté par l’équation suivante :

p(r, t) p_max(r) ⁼

p₅₀

2 ^{(t − ti}(r)) × (2√2 − p₅₀∙(t − ti(r))) 4.38

Les essais montrent que la vitesse d’accroissement de la pression induite normalisée à 50 % de la pression induite maximale (p₅₀) est indépendante de la hauteur de chute (H, ou la vitesse d’impact) et peu influencée par l’épaisseur de la couche de sol protectrice (D). Par contre p₅₀ décroit avec le diamètre équivalent du bloc rocheux (B) selon la relation suivante :

p₅₀=^v

B ^4.39

Où v (en m/s) est un paramètre dont la valeur est obtenue par régression hyperbolique sur les valeurs de p₅₀ en fonction de B.

p₅₀ étant indépendante de H et peu influencé par D, peu d’essais avec différents diamètres de bloc (B) suffisent pour déterminer la valeur de ce paramètre. De plus, p₅₀ étant indépendante de de la distance à la trajectoire d’impact, sa valeur peut être mesurée sur tout capteur de pression à l’interface sol-structure.

En tout point de l’interface sol-structure, la décroissance de la pression induite normalisée en fonction du temps est de forme Gaussienne, représentée par l’équation suivante :

p(r, t) p_max(r) ^{= e−γ(r) ∙ (t − tmax(r))} 2 4.40 Avec : γ(r) = ^ln(2)∙p50 2 [p₅₀∙∆t₅₀(r) − 1]2 4.41

Où ∆t₅₀(r) représente la durée du pic de pression induite au-dessus de 50 % de la pression maximale au point situé à la distance r de la trajectoire d’impact.

Les essais ont montré que ∆t50 était une fonction linéaire décroissante de la distance à la trajectoire d’impact : ∆t₅₀(r) = [k₁ ∙ (^B D^{) +} k₂₁ 1+_k^H 22 ] − L ∙ r 4.42

où k1 (en s) déterminé par régression linéaire sur les valeurs de ∆t50 au droit de l’impact (en r = 0) en fonction du rapport B/D, observées pour une hauteur de chute (ou vitesse d’impact) donnée. Les paramètres k21 (en s) et k22 (en m) représentent la relation hyperbolique entre l’ordonnée à l’origine de ces relations linéaires et la hauteur de chute (ou la vitesse d’impact).

Enfin, le taux de décroissance de la durée du pic de pression ∆t50 avec la distance à la trajectoire (facteur L dans l’équation 4.42) s’exprime par :

L = l₁ ∙ (^B D^{) +}

l₂

H ^4.43

Où l1 (en s/m) est déterminé par régression linéaire sur les valeurs de L observées pour une hauteur de chute (ou vitesse d’impact) donnée. Le paramètres l2 (en s) représente la relation hyperbolique entre l’ordonnée à l’origine de ces relations linéaires et la hauteur de chute.

Les valeurs des paramètres qui décrivent, pour une configuration d’impact D, B et H, la distribution spatio-temporelle de pression induite ont été déterminés pour le sable fin utilisé dans les essais, compacté à la densité sèche moyenne de 1.54. La vitesse (Ai) qui caractérise la propagation de la sollicitation à travers la couche de sol a été trouvée égale à 155 m/s (±27m/s).