Evolution temporelle de la pression pendant l’impact

Pour une épaisseur de couche de sable (D), le délai d’arrivée de la sollicitation d’impact en fonction de la distance à la trajectoire (t_i(r)) peut être déduit de l’analyse de la propagation de la sollicitation présentée en Section 3.7.4. En effet, une relation linéaire a été trouvée entre le temps d’arrivée de la sollicitation de pression en différents points de la surface supérieure de la dalle et la distance au point d’impact (Figure 3.27). Cette relation linéaire est caractérisée par sa pente, ou « vitesse de propagation » de la sollicitation dans le sable – due à la plastification et l’enfoncement progressif pendant la pénétration. Par conséquent, dans la configuration d’essai, où la trajectoire est verticale et la structure protégée horizontale, le délai d’arrivée de la sollicitation d’impact en fonction de la distance à la trajectoire est caractérisé par l’équation suivante :

t_i(r)= t_i(0)+ √D2+r2− 𝐷

A_i ^3.8

Où :

 A_i est une vitesse, correspondant à la pente de la relation linéaire observée entre la distance à l’impact et l’instant d’arrivée de la sollicitation induite par l’impact (cf. Figure 3.27) et  t_i(0) est l’ordonnée à l’origine de cette droite, correspondant au l’instant d’arrivée de la

sollicitation à la dalle à l’aplomb du point d’impact.

L’ordonnée à l’origine (t_i(0)) peut également être déterminée à partir du graphe en Figure 3.27. Toutefois, dans l’hypothèse où la structure est dimensionnée de manière découplée de l’impact du bloc sur la couche de sable, cette valeur est sans influence sur les résultats du calcul de structure. En effet, l’origine du temps pour décrire la distribution spatio-temporelle de pression nécessaire au calcul peut être fixée de manière arbitraire. Dans l’analyse des résultats d’essais, au Chapitre 4, cette valeur sera arbitrairement prise comme origine des temps pour alléger les notations.

L’étape suivante du dépouillement d’essai porte sur la caractérisation de l’accroissement jusqu’au pic de pression induite normalisée, i.e. la fonction f(t) dans les équations 3.2 ou 3.3. En observant la Figure 3.31, qui représente la pression induite normalisée en fonction du temps à partir de l’arrivée de la sollicitation au capteur, il apparaît que, du fait d’oscillations dans les mesures, l’instant correspondant au pic est très difficile à déterminer précisément par routine mathématique.

Ces oscillations dans les mesures de pression au sommet de la dalle ne sont pas systématiques, mais apparaissent de manière plus ou moins marquée dans certains essais, suivant les conditions de sollicitation (D, B, H). La Figure 3.34 montre le cas extrême des mesures du capteur 17, le plus proche de la trajectoire d’impact, lors de l’essai 29 (D2B4H2C2). Les oscillations dans les mesures apparaissent nettement régulières dans le temps et conduisent à s’intéresser à la mise en résonnance d’un élément pendant l’essai.

Figure 3.34. Pression induite normalisée au capteur 17 pendant l’essai 29 (D2B4H2C2)

La Figure 3.35 est un zoom de la figure précédente illustrant le caractère ondulatoire périodique de la perturbation. Cette figure montre que deux pics successifs sont distants d’environ 2 ms. Cette fréquence de vibration est celle d’une plaque d’acier carrée épaisse de 2.5 cm et de côté 20 cm encastrée en périphérie, environ 500 Hz. Cette géométrie et composition sont proches de celles de la plaque en surface des capteurs qui protège la cellule de mesure de pression d’huile.

L’entrée en résonnance des capteurs de pression, dans certaines conditions d’essai (D, B, H et C), influant sur la vitesse de sollicitation, introduit une incertitude sur la valeur de pression induite maximale observée. Au vu de l’ensemble des essais, cette incertitude paraît modérée. Par contre, comme le montre la Figure 3.35, la détermination directe de l’instant correspondant au pic de pression induite dans cet essai est très hasardeuse.

Figure 3.35. Pression induite normalisée au capteur 17 au début de l’essai 29

En un point de la surface de la dalle, la montée jusqu’au pic de pression induite normalisée (fonction f(t) dans les équations 3.2 et 3.3) a été représentée par une parabole, caractérisée par (1) une valeur nulle à l’instant ti(r), (2) la pente de la courbe observée à 50 % de la pression induite maximale et (3) une tangente nulle lorsque la pression induite atteint son maximum (100 % dans le graphe de pression induite normalisée). Cette forme de modélisation et ces trois conditions imposées, nécessaires et suffisantes pour la définition d’un polynôme de degré 2, sont illustrées en Figure 3.36.

Figure 3.36 : Présentation de la forme de parabole choisie pour modéliser la pression normalisée en fonction du temps et des 3 hypothèses pour la caler.

La traduction de ces hypothèses en équation impose d’exprimer l’instant où la pression induite par l’impact atteint son maximum (tmax) par l’équation suivante :

t_max(r)=_p^√2

50(r)^+ti(r) 3.9

Où :

 t_max(r) est l’instant où la pression induite atteint sa valeur maximale à la distance r de la trajectoire (l’instant où pmax(r) est atteinte),

 p₅₀(r) la pente de la courbe de pression induite normalisée en fonction du temps, dans la première partie ascendante, au point correspondant à 50 % de la maximale (100%) et

 t_i(r), comme défini précédemment, le temps à l’arrivée de la sollicitation à la distance r de la trajectoire.

Ainsi, l’étape suivante dans la procédure de dépouillement des mesures de chaque essai consistait à déterminer la valeur de p50 au droit de chacun des capteurs de pression. Comme le montre graphiquement la Figure 3.31, ces valeurs sont voisines. Par conséquent, la pente p50 a été considérée indépendante de r, prise égale à la moyenne des valeurs sur l’ensemble des capteurs.

En utilisant l’interpolation parabolique de l’augmentation de la pression induite décrite dans ce qui précède, il peut être démontré qu’à une distance r de la trajectoire, l’instant où la pression induite atteint 50 % de sa valeur maximale est donné par l’équation suivante :

t₅₀(r)=^{√2 − 1}

p₅₀ ^+ti(r) 3.10

Pour chacun des capteurs, à différentes distances de la trajectoire d’impact, la Figure 3.37 montre la durée entre l’instant d’arrivée au capteur de la sollicitation induite par l’impact (t_i(r)) et l’instant où la valeur de la pression induite mesurée en ce point est maximale (t_max(r)). Dans le cas ou des oscillations conduiraient à une valeur de pression plus importante que celle obtenue sur le pic « principal », comme c’est le cas sur l’essai représenté en Figure 3.34, c’est l’instant où le pic principal atteint sa valeur maximale qui est prise en compte. Cette durée d’accroissement de la pression induite à sa valeur maximale apparaît identique pour tous les capteurs, de l’ordre de 10 ms pour l’essai 22, indépendamment de la distance à la trajectoire d’impact.

Ceci indique, comme le montre aussi la Figure 3.31, qu’après arrivée de la sollicitation, la pression induite augmente à la même vitesse en tout point, au fur et à mesure de l’enfoncement du bloc dans le sable. La durée d’enfoncement du bloc (cf. Figure 3.26) est comparable, de l’ordre de 50 ms pour la durée totale, 20 ms pour atteindre le pic de décélération. Cette observation tend à conclure que les efforts induits par l’impact sont transmis de manière quasi-statique, au fur et à mesure de l’enfoncement du bloc et de la rupture du sable.

Figure 3.37 : Durée d’accroissement de la pression induite par l’impact à sa valeur maximale en fonction de la distance à la trajectoire d’impact (essai 22, D2B2H3C2)

Pour clore la description de la variation au cours du temps de la pression en un point pendant l’impact, la décroissance de la pression après le pic doit également être caractérisée. Comme précédemment pour l’accroissement de la pression induite jusqu’au pic, l’analyse s’appuie sur la représentation de la pression induite normalisée par sa valeur maximales en fonction du temps, décalée du temps d’arrivée de la sollicitation au point de mesure, représentée en Figure 3.31, page 104.

Cette figure montre que, contrairement à la phase de montée au pic, où les courbes étaient superposées, pendant la phase de décroissance, les courbes aux différents points de mesure sont décalées, la décroissance étant plus lente près de la trajectoire d’impact (capteur 17) et plus rapide pour les points plus éloignés (capteur 11). En fait, à distance de la trajectoire, la pression induite (non normalisée) est plus faible et diminue plus rapidement. Par conséquent, la pression induite normalisée est représentée par l’équation suivante :

Pour p(r, t) décroissante, après le pic de pression,

p(r, t-tmax(r))

p_max(r) ^{= g(r, t) 3.11}

Ou, par changement de variable,

p(r, t) = p_max(r) × g(t+t_max(r)) 3.12

Avec :

 p(r, t) : Pression induite par l’impact à une distance r de la trajectoire d’impact et au temps t  p_max(r) : Accroissement maximal de pression à la distance r au cours de l’impact

 t_max(r) : Temps où la pression induite est maximale à la distance r de la trajectoire  g(r, t) : Fonction représentant la décroissance de la pression normalisée après le pic

On notera que la fonction g, ne dépend de r que par de tmax(r).

La procédure de dépouillement des mesures permettant de définir les caractéristiques décrivant la distribution de pression induite maximale en fonction de la distance à la trajectoire d’impact (p_max(r)) a été présentée en section précédente (équation 3.4). Cette distribution est de forme Gaussienne, caractérisée par la pression maximale au droit de l’impact et la pression maximale à la distance B/2 de la trajectoire d’impact. Pour chaque essai, ces valeurs sont obtenues directement par régression sur les pressions induites maximales mesurées par les capteurs à différentes distances de la trajectoire.

nulle lorsque la pression normalisée est maximale (égale à 1) et la tangente à 50 % de la pression induite maximale (p50), constante aisément déterminée à partir des mesures.

La forme après le pic de la courbe de pression induite normalisée en un point (Figure 3.31) conduit à considérer une distribution temporelle Gaussienne. En effet, cette fonction présente une tangente nulle à son extrémum et permet de représenter avec un seul paramètre une décroissance vers zéro pour de grandes valeurs du temps. Toutefois, au vu des courbes, cette décroissance dépend de la distance à la trajectoire d’impact. Par conséquent, la fonction g(r, t) peut être étudiée sous la forme suivante :

g(r ,t) = e-γ(r)*(t-t_max(r))² 3.13

Dans cette équation, la fonction γ(r) caractérise, à la distance r de la trajectoire, la décroissance de la pression induite par l’impact au cours du temps. La Figure 3.38 représente l’évolution au cours du temps de la pression induite normalisée au droit du capteur de pression 17.

Comme pour la détermination du paramètre β, réalisée en section 3.7.5.1, nous aurions pu réaliser une régression entre les valeurs de pression induite normalisée en ce point pour les valeurs du temps supérieures à t_max(r). Or les oscillations à fréquence élevée au voisinage du pic et la décharge du remblai en fin d’essai introduiraient d’importantes incertitudes dans la détermination de la valeur de la fonction γ(r) en ce point par régression.

Comme expliqué dans ce qui précède, les oscillations à fréquence élevée proviennent de la mise en résonnance de la structure du capteur de pression, plus ou moins forte suivant les conditions de sollicitation (paramètres D, B et H). De même, la décharge du remblai après le pic de pression, produisant des variations de pression à l’interface sol-structure plus ou moins marquées et périodiques, résulte de la vibration de la dalle d’essai sous l’action de l’impulsion de pression causée par l’impact. En effet, il a été constaté que la fréquence des oscillations observées était de l’ordre de la fréquence propre de la dalle d’essai, les extrémums étant distants d’environ 30 ms.

Pour les conditions de sollicitation (D, B, H) produisant une certaine mise en résonnance de la dalle d’essai, les mesures de pression à l’interface sol-structure en un point au cours du temps peuvent être difficiles à analyser pour en extraire la forme de la pression induite par l’impact. Les pressions proviennent alors d’une superposition de la pression induite par l’impact avec la pression provenant de l’interaction entre la couche de sable sous son poids propre et la dalle en vibration. Les deux phénomènes deviennent particulièrement difficiles à distinguer lorsqu’ils produisent des pressions du même ordre (voisines du poids des terres), donc à distance de la trajectoire d’impact.

C’est pourquoi, dans le dépouillement des essais, la valeur de la fonction γ(r) a été basée sur la détermination graphique de la durée du pic de pression induite normalisée, au-dessus de 50 % de la pression maximale (notée ∆t₅₀), observée au capteur à la distance r. En fait, la Figure 3.38 est la fenêtre proposée par la routine de dépouillement Matlab pour sélectionner manuellement les points caractérisant la durée du pic ∆t50. Dans cette figure, sur la courbe de pressions mesurées normalisée, la pente de la courbe dans la partie ascendante à 50 % du maximum enregistrée, déterminée à l’étape précédente du dépouillement, a été représentée en rouge.

Cette méthode de caractérisation de la décroissance de la pression induite normalisée en fonction du temps, basée sur l’observation de la durée du pic à mi- amplitude, permet de s’affranchir de l’influence de la vibration de la dalle d’essai qui devient significative pour les faibles pressions et les temps supérieurs à 30 ms. Cette procédure graphique permet de s’en assurer.

Figure 3.38. Pression induite normalisée en fonction du temps au droit du capteur 17 (essai 22, D2B2H3C2) – Interface graphique de définition de p50 et ∆t50 en ce point

En Figure 3.39, la durée du pic de pression induite au-dessus de 50 % de sa valeur maximale a été représentée en fonction de la distance à la trajectoire d’impact. L’expérience montre que la durée du pic de pression induite diminue linéairement avec la distance à la trajectoire d’impact.

Figure 3.39 : Durée du pic de pression au-dessus de 50 % de la valeur maximale à différentes distances à la trajectoire d’impact (essai 22, D2B2H3C2)