révèle le premier niveau d’hétérogénéité, en faisant apparaître les bulles et le plâtre pris (considéré à cette échelle comme un milieu continu).
– L’échelle mésoscopique est celle du plâtre pris (noté pp). Un ver de ce matériau révèle un second niveau d’hétérogénéité, en distinguant les cristaux de gypse des pores intercristallins. – L’échelle microscopique est celle du cristal de gypse (noté g), que l’on considère comme
homogène.
Ainsi, par exemple, lorsque nous parlerons de comportement homogénéisé à l’échelle mésosco- pique, il s’agira du comportement effectif du plâtre pris, obtenu par homogénéisation du ver à cette échelle. Ce comportement effectif pourra être utilisé dans l’étape d’homogénéisation sui- vante, à l’échelle macroscopique.
échelle macroscopique plâtre pris avec bulles (pb)
bulle plâtre pris
échelle mésoscopique plâtre pris (pp) de gypse cristal intercristallinspores échelle microscopique cristal de gypse (g) cristal de gypse
Fig.3.7 – Représentation de la microstructure multiéchelle d’un plâtre pris avec bulles : un ver est schématisé à chacune des trois échelles introduites
Les cristaux présentent une longueur de l’ordre de la vingtaine de µm. Les bulles ont un diamètre de plusieurs centaines de µm. On peut donc considérer comme acquise la séparation d’échelles, ce qui permet d’envisager une homogénéisation en deux étapes afin d’obtenir les caractéristiques mécaniques effectives du plâtre pris avec bulles. Autrement dit, le plâtre pris avec bulles est ici considéré comme un matériau à double porosité, en distinguant deux espaces poreux : les bulles et les pores intercristallins.
Notons que cette partie II du mémoire est consacrée aux matériaux constitués de particules allongées, donc ne concernant a priori que l’échelle mésoscopique (plâtre pris). Néanmoins, nous irons jusqu’à l’échelle macroscopique (plâtre pris avec bulles) dans le cas de l’élasticité (cha- pitre 4).
3.3
Synthèse des données expérimentales utilisées
On dispose de données expérimentales, issues de la littérature, sur le comportement méca- nique du plâtre pris sec (donc à l’échelle mésoscopique). Celles-ci seront exploitées pour valider les modèles micromécaniques. La porosité intercristalline, fraction volumique d’espace poreux rencontré dans un ver à l’échelle mésoscopique, est notée fp.
De nombreux résultats de mesures de module de Young sur plâtre pris sont disponibles [80, 21, 2, 92, 120]. Dans ces études, les échantillons ont été préparés par hydratation de semihydrate avec différents rapports eau sur plâtre, afin d’obtenir une gamme très étendue de porosités. Le module de Young a été mesuré par ultrasons dans [80, 21], ou par essais mécaniques en compression simple dans [120]. Les mesures du module de Young en fonction de la porosité sont reprises sur la figure 3.8. Conformément à l’intuition, plus le plâtre est poreux, c’est-à-dire peu dense, plus le module de Young est faible.
CHAPITRE 3. INTRODUCTION AU PLÂTRE PRIS 0 5 10 15 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Epp (GP a) fp
Fig. 3.8 – Module de Young mesuré sur plâtre pris [80, 21, 2, 92, 120]
Sur la figure 3.9, on représente en fonction de la porosité les mesures de résistance en trac- tion (partie gauche) et compression (partie droite) simple, toujours issues de plusieurs sources bibliographiques indépendantes. À l’image du module de Young, les résistances sont d’autant plus faibles que la porosité est élevée. De plus, à porosité donnée, la résistance en traction est largement inférieure à celle en compression.
On note une certaine dispersion des données expérimentales, en particulier sur la résistance à la compression (figure 3.9 droite). Cette dispersion est liée à la variabilité des matériaux et conditions expérimentales, d’autant plus que l’on a réalisé une compilation de données issues de multiples sources. Par ailleurs, nous avons représenté les caractéristiques mécaniques en fonction d’un seul paramètre décrivant la morphologie : la porosité. Même si on peut probablement consi- dérer celui-ci comme le paramètre de premier ordre, il semble évident que d’autres paramètres doivent intervenir, tels que l’élancement des cristaux. . .
0 5 10 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 σ t pp (MP a) fp 0 25 50 75 100 125 0 0.2 0.4 0.6 0.8 σ c pp (MP a) fp
Fig.3.9 – Résistances en traction [2, 3, 66, 105] et compression [2, 3, 66, 105, 50, 120, 21, 112, 38] simples mesurées sur plâtre pris
Chapitre 4
Élasticité du plâtre pris
Dans ce chapitre, on cherche à modéliser l’élasticité du plâtre pris. La microstructure étant constituée d’un ensemble de cristaux allongés enchevêtrés, on propose de mettre en œuvre un schéma auto-cohérent dont les particules solides sont des ellipsoïdes de révolution allongés. L’élas- ticité de ces particules solides est caractérisée par le tenseur de rigidité anisotrope du cristal de gypse. On considère une répartition isotrope de l’orientation de ces particules. La confrontation du module de Young estimé et mesuré expérimentalement est satisfaisante, ce qui crédite le mo- dèle morphologique envisagé. Deux applications sont ensuite proposées. La première se concentre sur l’effet de la forme des particules solides sur la rigidité effective. Par ailleurs, le plâtre pris renferme fréquemment des bulles dans la pratique, de taille bien supérieure à celle des cristaux. La seconde application propose d’étudier l’impact de ces bulles sur la rigidité effective.
Sommaire
4.1 Rigidité de la phase solide . . . 40 4.1.1 Rigidité du cristal de gypse . . . 40 4.1.2 Axe du cristal dans la maille élémentaire . . . 40 4.2 Estimation de la rigidité du plâtre pris . . . 42 4.2.1 Modèle morphologique . . . 42 4.2.2 Schéma auto-cohérent . . . 42 4.2.3 Validation expérimentale . . . 44 4.3 Applications . . . 44 4.3.1 Effet du rapport d’aspect des particules solides . . . 44 4.3.2 Effet des bulles . . . 46 4.4 Détermination d’une rigidité isotrope équivalente pour le solide . . . 48
CHAPITRE 4. ÉLASTICITÉ DU PLÂTRE PRIS
Le plâtre pris est ici assimilé à un polycristal poreux dont les grains solides sont des cristaux de gypse, de forme allongée. Ainsi, les caractéristiques élastiques du plâtre pris dépendent de la forme des particules (caractérisée par le rapport d’aspect), de la porosité et de la rigidité élémentaire des particules. Cette dernière correspond au tenseur de rigidité complet et anisotrope du cristal de gypse (donné en section 4.1), chaque particule étant un cristal de gypse. En section 4.2, on valide le modèle morphologique de plâtre pris en confrontant les estimations du module de Young à des données expérimentales disponibles dans la littérature. La section 4.3 est ensuite consacrée à deux applications : d’une part l’influence du rapport d’aspect des particules solides, et d’autre part l’impact des bulles fréquemment présentes en pratique. Enfin, la section 4.4 propose un modèle simplifié pour lequel l’élasticité des particules ellipsoïdales est isotrope. Cette simplification évitera d’alourdir les modèles proposés dans les deux chapitres suivants.
4.1
Rigidité de la phase solide
4.1.1 Rigidité du cristal de gypse
Dans le plâtre pris vu comme un polycristal poreux, chaque grain est en fait un cristal de gypse. Le cristal de gypse a un comportement élastique anisotrope. Son tenseur de rigidité a été mesuré par ultrasons [55]. Les composantes non nulles de ce dernier sont reprises dans le tableau 4.1, qui est à compléter par symétrie (cijkl= cjikl= cijlk= cklij).
ijkl 1111 2222 3333 1122 1133 2233
cijkl (GPa) 78.59 62.74 72.59 41.01 26.85 24.24
ijkl 2323 1313 1212 1113 2213 3313 2312
cijkl (GPa) 9.10 26.41 10.44 −7.0 3.1 −17.4 −1.55
Tab.4.1 – Composantes non nulles du tenseur de rigidité du cristal de gypse [55] Ces composantes sont exprimées dans une base bien précise, définie à partir de la maille cristalline élémentaire de De Jong et Bouman [28] (figure 4.1) :
e1= a |a| , e2 = b |b| et e3= e1∧ e2 (4.1) β e1 e 2 e3 a = 5.68 Å b = 15.15 Å c = 6.29 Å β = 118.36°
Fig. 4.1 – Maille de De Jong et Bouman [28] et définition de la base (e1, e2, e3) dans laquelle le tenseur de rigidité du gypse est exprimé (voir table 4.1)
4.1.2 Axe du cristal dans la maille élémentaire
Il reste à déterminer l’orientation de la base dans laquelle le tenseur de rigidité est exprimé, vis-à-vis de l’ellipsoïde de révolution modélisant un cristal allongé. Autrement dit, il faut placer
4.1. RIGIDITÉ DE LA PHASE SOLIDE la maille de De Jong et Bouman dans le cristal allongé. L’ellipsoïde considéré étant de révolution, il nous suffit de connaître l’orientation de l’axe de l’ellipsoïde (plus grande dimension du cristal de gypse) vis-à-vis de la maille de De Jong et Bouman. Une revue de la bibliographie mène à deux possibilités contradictoires.
Klima [67] a observé puis mesuré la croissance de cristaux de gypse (figure 4.2). Il a observé que lmeas ≫ wmeas. Ainsi, la direction dans lequel les cristaux présentent leur plus grande
dimension est l’intersection des plans (010) et (011)1, soit a. Dans ce cas, nous prendrons le
vecteur a de la maille de De Jong et Bouman comme axe des ellipsoïdes de révolution représentant le solide.
Fig.4.2 – Représentation schématique des cristaux observés durant leur croissance par Klima [67] Reprenant les travaux de Simon et Bienfait [113], S. Meille indique [80] que le cristal de gypse croît préférentiellement dans la direction c de la maille de De Jong et Bouman (voir figure 4.3). Dans ce cas, nous prendrons le vecteur c de la maille de De Jong et Bouman comme axe de révolution des ellipsoïdes de révolution solides.
Fig. 4.3 – Représentation schématique d’un cristal de gypse, de ses faces et de la direction de plus grande dimension [80]
Nous ne débattrons pas sur la pertinence de l’une ou l’autre des directions préférentielles de croissance, ceci sortant du cadre de ce travail. Nous allons considérer les deux orientations possibles et nous comparerons les résultats obtenus, en termes d’élasticité effective.
1
En cristallographie, la notation (nanbnc)définit l’orientation d’un plan par celle de sa normale ; dans ce cas
CHAPITRE 4. ÉLASTICITÉ DU PLÂTRE PRIS