6.2.1 Définition du chargement imposé
On cherche à modéliser un essai de traction simple contrôlé en déformation. On impose donc une déformation homogène au contour du ver, de la forme :
6.2. MODÉLISATION D’UN ESSAI DE TRACTION SIMPLE où ρ est un paramètre qu’il faut ajuster de sorte que le tenseur de contraintes macroscopique Σ= Cpp: E soit effectivement uniaxial :
ρ = C
pp 1133
C1111pp + C1122pp (6.5)
On modélise ainsi un essai de traction simple contrôlé en déformation par la variable E33, à
laquelle on impose une évolution croissante à partir de 0. Il faut néanmoins prendre garde au fait que le paramètre ρ défini par (6.5) n’est pas constant au cours de l’essai, puisqu’il dépend de l’état d’endommagement de la microstructure. Ainsi, ρ s’apparente davantage à un paramètre subi, si bien que l’on ne peut en fait parler d’« essai piloté en déformation par E33 » que par
abus de langage.
6.2.2 Repérage du cristal critique
On rappelle que l’on considère le cas du critère local en traction : σN < σcr. Initialement,
lorsque la distribution de cristaux est isotrope, l’orientation qui maximise σN est θ0 = 0, ce qui
correspond à l’axe de traction simple (section 5.3.2). La première orientation critique est donc θ0 = 0. Les cristaux présentant cette orientation vont ainsi être « désactivés » dès lors que la
limite élastique macroscopique va être atteinte. Puis une autre orientation va devenir critique et les cristaux correspondants vont être désactivés, et ainsi de suite. . . La question est ici de déterminer la succession d’orientations critiques, c’est-à-dire de cristaux désactivés.
L’intuition conduit à supposer que les orientations critiques successives sont caractérisées par un angle θ0 croissant à partir de 0. Les cristaux subsistants (non désactivés) occupent alors le
cône θ0 ≤ θ ≤ 90° (figure 6.5). La variable θ0 est donc identifiée comme une variable d’endom-
magement. fraction volumique (1 − f0 p) cos θ0 fraction volumique (1 − f0 p)(1− cos θ0) e3 axe de révolution et de traction θ0
prochain cristal désactivé (cristal critique) cristaux subsistants
cristaux désactivés
Fig. 6.5 – Cristaux désactivés et subsistants, et prochain cristal désactivé, dans le cas de la traction simple
On vérifie maintenant cette hypothèse. Il s’agit de déterminer la contrainte σN dans tous les
cristaux subsistants. Cette dernière dépend à la fois de l’état de la microstructure (caractérisé par la variable d’endommagement θ0), et de l’orientation considérée (définie par le paramètre θ). On
la note σN(θ0, θ) avec θ∈ [θ0; 90°]. Le comportement des cristaux avant rupture étant élastique
linéaire, σN est proportionnel à la déformation macroscopique E33. On normalise σN/E33par le
module de Young Es des cristaux, pour former :
σN∗(θ0, θ) =
σN(θ0, θ)
EsE33 (6.6)
En d’autres termes, EsσN∗ (θ0, θ) représente la contrainte mobilisée dans le cristal d’orientation θ
lorsque la variable d’endommagement prend la valeur θ0, et pour une déformation macroscopique
axiale unité. La grandeur σ∗
N est sans dimension et indépendante de la valeur du chargement
CHAPITRE 6. COMPORTEMENT POST-LIMITE ÉLASTIQUE DU PLÂTRE PRIS
réalisés de façon similaire à la section 5.3, en considérant cette fois un milieu effectif isotrope transverse et non isotrope. Sur la figure 6.6, on représente en trait plein l’évolution de σ∗
N(θ0, θ)
en fonction de θ pour quelques valeurs de θ0. Pour chaque θ0, l’angle θ qui maximise σN∗(θ0, θ) est
θ = θ0. L’orientation critique est bien θ = θ0. On représente aussi sur la figure 6.6 en pointillés
le lieu des maxima, c’est-à-dire la fonction θ0 → σN∗(θ0, θ0), qui est décroissante.
On remarque que sur les quatre courbes tracées en trait plein, la fonction θ → σ∗ N(θ0, θ)
passe par 0 puis atteint son minimum en θ = 90°, minimum qui est négatif. Les cristaux per- pendiculaires à l’axe de traction subissent donc une contrainte de compression le long de leur axe. Ceci peut s’interpréter en invoquant l’effet Poisson à l’échelle de l’éprouvette, qui conduit à une réduction (puisque νpp> 0) de la section de l’éprouvette à mesure que E33 augmente. Cette
réduction de section tend à mettre en compression les cristaux perpendiculaires à e3.
θ0 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0 22.5 45 67.5 90 σ ∗ N(θ 0 ,θ ) = σN (θ0 ,θ ) E33 Es θ (°) θ0 = 0 22.5° 45° 67.5°
Fig.6.6 – Contrainte σN dans l’axe du cristal d’orientation θ pour quelques valeurs de θ0, et en
pointillés la contrainte σN dans le cristal d’orientation θ0 pour tout θ0 (νg = 0.34, fp0 = 0.7), en
traction simple
6.2.3 Détermination du comportement au delà de la limite élastique
Jusqu’à maintenant, on ne s’est pas préoccupé de la valeur prise par E33. On a déterminé
l’orientation critique en maximisant la fonction θ → σ∗
N(θ0, θ). On a établi l’évolution de cette
orientation critique θ0 en considérant le fait qu’un cristal devenu critique est rompu. Il reste à
déterminer la loi d’évolution de la variable d’endommagement, c’est-à-dire relier θ0 à la défor-
mation macroscopique. E33 subit une évolution monotone croissante dans le temps, supposée
donnée. Supposons que la microstructure ait atteint un état d’endommagement caractérisé par θ0. Le cristal critique, qui maximise σN, est θ = θ0. Ce cristal est désactivé lorsque sa contrainte
σN atteint σcr, c’est-à-dire σN(θ0, θ0) = σcr. Ceci assure le lien entre l’orientation courante θ0
du cristal désactivé et la déformation macroscopique courante E33:
EsE33σN∗ (θ0, θ0) = σcr (6.7)
La nature de l’essai que nous sommes en train de modéliser impose E33 croissant au cours du
temps. Ainsi, d’après (6.7), σ∗
N(θ0, θ0) est assujettie à décroître dans le temps. Or nous avons
montré dans la section précédente que, par le mécanisme de désactivation successive des cristaux, la fonction θ0 → σN∗(θ0, θ0) est nécessairement décroissante, ce qui signifie que θ0 croît dans le
temps. Ainsi, à mesure que E33croît, θ0croît lui aussi, de façon stable. On représente l’orientation
θ0des cristaux désactivés en fonction de E33sur la figure 6.7 pour quelques valeurs de la porosité
intercristalline f0
6.2. MODÉLISATION D’UN ESSAI DE TRACTION SIMPLE E33 n’a pas dépassé le seuil de limite élastique macroscopique, tous les cristaux subsistent et
θ0 = 0. Dès ce seuil dépassé, θ0 augmente avec E33 de façon stable : θ0 n’augmente que si E33
augmente lui même.
0 22.5 45 67.5 90 0 1000 2000 3000 4000 θ0 (° ) E33 (10−6) fp0 = 0.6 f0 p = 0.7 fp0 = 0.8
Fig. 6.7 – Loi d’évolution de la variable d’endommagement θ0 en fonction de la déformation macroscopique (Eg = 40 GPa, νg = 0.34, σcr = 15 MPa)
La loi d’évolution de la variable d’endommagement θ0 étant connue, on peut déterminer la
rigidité effective Cpp puis le module de Young apparent Eppapp (voir (6.1)) correspondants. On
en déduit la contrainte de traction macroscopique Σ33= EppappE33. Le sens de variation de cette
dernière est a priori indéterminé, puisque E33 augmente alors que Eppappdiminue (dans la mesure
où θ0 augmente, voir figure 6.2). Par ailleurs, la déformation macroscopique E11 =−ρE33 peut
être déterminée à l’aide de l’expression (6.5) de ρ. La figure 6.8 représente l’évolution de E33,
Σ33 et E11 au cours d’une expérience de traction simple modélisée pour quelques valeurs de
la porosité f0
p. On observe d’abord une phase élastique. Dès la limite élastique atteinte et le
premier cristal désactivé, la contrainte Σ33 décroît. À l’échelle macroscopique, on obtient donc
une rupture fragile stable. En particulier, la résistance (valeur maximale atteinte par Σ33) est
égale à la limite élastique. Ceci autorise la comparaison, effectuée en section 5.3.4, de la limite élastique modélisée avec la résistance expérimentale.
0 0.5 1 1.5 2 -250 -200 -150 -100 -50 0 Σ33 (MP a) E11 (10−6) f0 p = 0.6 fp0= 0.7 fp0= 0.8 0 0.5 1 1.5 2 0 1000 2000 3000 4000 Σ33 (MP a) E33 (10−6) f0 p = 0.6 fp0 = 0.7 fp0 = 0.8
Fig.6.8 – Comportement obtenu en traction simple pour quelques valeurs de la porosité (Eg =
40 GPa, νg = 0.34, σcr = 15 MPa)
CHAPITRE 6. COMPORTEMENT POST-LIMITE ÉLASTIQUE DU PLÂTRE PRIS
plâtre pris. Ainsi, nous n’avons trouvé dans la littérature que des essais (avec parfois la propo- sition d’un modèle purement macroscopique de comportement) sur plâtre pris fibré, en traction simple [99, 2, 79] ou en flexion [16, 37]. Il faudrait donc, pour valider l’approche développée ici, envisager soit la modélisation d’un essai de flexion, soit l’incorporation de fibres par une étape d’homogénéisation supplémentaire.