3.3 Analyse détaillée du réseau avec un désaccord négatif
3.3.3 Synchronisation
L'approximation du mouvement de l'atome dans le réseau optique carré à deux os- cillateurs de Du ng couplés montre que, près du fond du puits, la dynamique est gou- vernée par un processus de synchronisation, ce qui est con rmé par les simulations numériques. De plus, l'inhibition du chaos dans ce système est liée à cette synchronisa- tion.
On a vu qu'au fond du puits les mouvements de faible amplitude selon X et Y ont la même fréquence. Évidemment, quand l'énergie des atomes augmente, cette dégéné- rescence pourrait disparaître à cause de l'anharmonicité du potentiel. Cependant, les mouvements dans les deux directions restent accrochés à la même fréquence, à cause d'un mécanisme de synchronisation proche de l'accrochage en fréquence des systèmes dissipatifs. Cette synchronisation se produit grâce à un verrouillage de phase entre les deux directions. Elle est la conséquence de la dégénérescence des fréquences dans les deux directions et du couplage entre ces deux oscillations. Le système traité est conser- vatif, et donc la synchronisation n'est pas ici strictement un accrochage en fréquence, vu qu'il n'y a pas de dissipation. En conséquence, les oscillations périodiques sont modulées en phase et en amplitude.
Le phénomène de synchronisation, comme nous l'avons vu dans le chapitre 2, est capable de supprimer la dynamique complexe dans les systèmes dissipatifs. Les résul- tats des simulations montrent que, dans le réseau rouge conservatif, l'accrochage des fréquences se produit dans une grande partie du puits. Même au bord des puits, des trajectoires chaotiques apparaissent seulement de façon marginale. Par conséquent, ce phénomène de synchronisation est un mécanisme su samment puissant pour expliquer la suppression du chaos dans ce système. De plus, il ne s'agit pas d'un comportement local, car l'inhibition du chaos persiste pour n'importe quels paramètres du réseau, tant que le désaccord est négatif.
Les travaux décrits dans ce chapitre ont montré comment la dynamique d'un atome dans un réseau optique peut changer drastiquement en fonction des propriétés du ré- seau : dans les réseaux carrés, une dynamique purement chaotique des atomes apparaît (pour le paramètre α = 0.5) quand la fréquence du laser est décalée vers le bleu, alors que le chaos est presque inexistant quand le laser est décalé vers le rouge.
Le premier cas semblerait plus prévisible et compréhensible à cause des non-linéarités du potentiel. De plus, le couplage entre les deux directions est très fort. L'absence de chaos dans les puits de potentiel dans le cas d'un désaccord négatif constitue un chan- gement radical inattendu dans la dynamique, par rapport au cas du désaccord négatif ; cette diérence a été expliquée par un phénomène de synchronisation. Dans ce réseau conservatif rouge, et grâce à des mécanismes similaires à ceux qui interviennent dans
3.3. ANALYSE DÉTAILLÉE DU RÉSEAU AVEC UN DÉSACCORD NÉGATIF 71 un système dissipatif, la synchronisation entre les mouvements dans les deux directions de l'espace est à l'origine de l'absence du chaos. Ce comportement particulier de la dynamique pour le désaccord négatif suggère une étude approfondie de la dynamique dans les réseaux carrés avec un désaccord positif, pour y déterminer l'étendue du chaos.
Conclusion de la première partie
Dans cette première partie, nous avons d'abord établi les concepts du domaine des atomes froids nécessaires pour introduire le réseau optique conservatif auquel nous nous intéressons : le réseau carré à 2D. Les travaux sur ce réseau ont donné des indices sur la dynamique possible pour un atome piégé dans ses puits, qui dépend fortement du désac- cord laser. Cette dynamique inclut un phénomène de synchronisation conservative pour toutes les con gurations avec un désaccord négatif. En revanche, le cas particulier mon- tré du désaccord positif présente du chaos, et ce contraste suscite l'étude approfondie qui suit sur ce système.
D'autre part, nous avons développé l'emploi des sections de Poincaré et de l'analyse des spectres comme des outil numériques pour déterminer le caractère régulier ou chao- tique de la dynamique, et pour l'étudier. Ces deux éléments seront ceux utilisés dans la partie II pour traiter le cas général du réseau carré bleu.
Finalement, le traitement analytique employé pour décrire le mouvement dans le réseau carré rouge con rme la puissance de cette approximation. Le modèle du potentiel approché par des oscillateurs de Du ng couplés sera revisité dans la partie III de ce travail.
Deuxième partie
Traitement numérique
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Introduction à la deuxième partie
Nous voulons étudier la dynamique du réseau conservatif carré à 2D, avec un désac- cord laser positif. Dans cette deuxième partie du manuscrit, nous abordons cette étude avec un traitement numérique et nous présentons les résultats obtenus.
Nous commençons avec la description de la méthode numérique employée pour ré- soudre les équations du mouvement dans notre réseau carré, au chapitre 4. Nous rappe- lons certains éléments concernant les méthodes d'intégration numérique utilisées. Nous expliquons surtout notre approche pour la résolution des équations du mouvement. En particulier, l'intérêt de travailler avec des cartes de sections de Poincaré et les spectres des solutions. Les résultats obtenus selon les algorithmes décrits dans ce chapitre sont présentés ensuite, de façon générale, dans le chapitre 5. Ce chapitre a comme but d'ex- poser la grande variété des cas particuliers que présente la dynamique dans le réseau carré. Il introduit ainsi les diérents cas que nous traiterons dans la suite. À cause du couplage entre les deux directions de l'espace, notre système conservatif peut présen- ter des mouvements périodiques, quasi-périodiques, des accrochages en fréquence et du chaos.
La présence des accrochages et du chaos est analysée dans le chapitre 6. Dans ce chapitre, l'analyse sur l'inhibition du chaos pour diérentes con gurations du réseau mène à identi er les résonances présentes. Les phénomènes de synchronisation observés dans le chapitre 5 sont donc associés aux dites résonances. Cette identi cation ouvre la voie au traitement analytique que nous développons dans la partie III de ce mémoire.
Chapitre 4
Résolution numérique des équations
du mouvement
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ous voulons étudier la dynamique d'un atome dans un réseau conservatif : nous com-mençons par intégrer numériquement les équations du mouvement, avec les forces qui dérivent du potentiel correspondant. Dans la section 1 de ce chapitre, nous établissons les caractéristiques du système à résoudre, et l'approche adoptée pour le faire, qui im- plique l'étude des sections de Poincaré et des spectres des solutions. En particulier, les trajectoires sont obtenues par une intégration de type Runge-Kutta à pas variable. Nous décrivons cette méthode en section 2. Finalement, dans la section 3, nous donnons les détails concernant l'implémentation de cette méthode et des algorithmes choisis pour obtenir les sections de Poincaré et pour analyser les spectres du système.