La diversité des régimes dynamiques du réseau carré bleu fait que, pour une valeur de α donnée, la nature du mouvement atomique change avec E. Cette nature varie, en particulier, de régulière à chaotique. Elle peut changer aussi d'un mouvement découplé dans chaque coordonnée à un autre accroché en fréquence.
De la même façon, pour une énergie donnée, l'espace des phases change radicalement selon la valeur de α. Prenons par exemple un atome avec une énergie E = 0.5, et analysons comment sa dynamique peut varier en modi ant α ( gure 5.19) : pour cette énergie, nous avons trouvé uniquement des solutions découplées pour α = 0.2 et pour
α = 0.3. Ensuite, nous avons vu que pour cette valeur il existe aussi des solutions
accrochées en fréquence pour α = 0.1 (fY = fX), α = 0.4 (fY = (3/2) fX), α = 0.5 et
α = 0.6 (fY = 2fX). Pour α = 0.7, il y a aussi du chaos. En n, pour α = 0.8 et pour
α = 0.9, l'atome avec cette énergie n'est plus piégé dans le puits de potentiel.
5.3. DISCUSSION 117
Figure 5.19 Seuils d'énergie pour l'apparition de solutions accrochées (Esols) et du chaos (Echaos), pour les diérentes valeurs de α. Les courbes pontillées s'a chent
seulement comme un guide. On montre aussi le seuil d'énergie ET (α) pour sortir du
puits.
un atome dans le réseau carré bleu. Pour mieux traiter cette dynamique, nous pouvons xer un des deux paramètres intervenants : soit une valeur particulière de α pour étudier les diérents régimes qui apparaissent pour diérentes énergies, soit l'énergie de l'atome pour évaluer les eets du paramètre α.
Nous pouvons cependant établir quelques caractéristiques observées dans l'explora- tion que nous avons faite des espaces des phases pour les divers (α, E), en excluant le cas particulier α = 0. D'abord, il existe toujours les solutions représentant un mouve- ment découplé selon X et selon Y . En particulier, la solution trouvée pour X = 0 est
toujours un point xe elliptique4 et les solutions quasi-périodiques autour de ce point
forment une région qui reste régulière dans toutes les situations que nous avons explo- rées. La solution Y = 0 devient un point xe hyperbolique quand d'autres points xes
apparaissent, notamment ceux correspondants aux solutions fY = fX. Cette apparition
de solutions accrochées en fréquence se produit, comme nous l'avons constaté, à des
valeurs d'énergie Esols très diérentes selon α ( gure 5.19).
Seuils d'énergie pour l'apparition des solutions accrochées
Nous pouvons comparer les diérentes valeurs de Esols si nous prenons comme
référence le seuil d'énergie ET(α) dans chaque cas. Les solutions accrochées appa-
raissent pour des très faibles énergies par rapport au seuil pour α = 0.6 et α = 0.8
(Esols < 0.1 × ET). Elles apparaissent pour des énergies intermédiaires pour α = 0.1
jusqu'à α = 0.5 (0.4 × ET < Esols < 0.7 × ET). Finalement, les solutions accrochées
apparaissent pour des hautes énergies pour α = 0.7 et α = 0.9 (Esols > 0.75 × ET).
Les seuils Esols correspondent à la première solution accrochée qui apparaît, mais
nous avons vu que celle qui apparaît en premier n'est pas toujours la même. Comme
nous l'avons constaté, la solution fY = fX est trouvée pour α de 0.1 à 0.4 aux énergies
Esolsremarquées en rouge dans la gure 5.19. Le point pour α = 0 apparaît donc comme
l'origine de cette solution, pour lequel elle est toujours présente, et à partir duquel le
seuil Esolss'incrémente avec α croissant. D'autre part, la solution fY = 2fX est trouvée
pour toutes les énergies pour α = 0.6, et ses seuils d'apparition Esols sont en bleu dans
la gure 5.19. Les seuils pour la solution fY = 3fX sont remarqués en vert : ce point
xe apparaît pour très hautes énergies pour α = 0.7, mais il est toujours présent pour
α = 0.8. La solution accrochée qui complète la courbe Esols est le mouvement avec
fY = (3/2) fX, vu pour α = 0.3 et α = 0.4, où il apparaît pour des énergies plus faibles
que les solutions fY = fX.
Seuils d'énergie pour l'apparition du chaos
L'apparition du chaos est un trait commun pour toutes les valeurs de α examinées dans ce chapitre : l'étendue de la région chaotique, néanmoins, change beaucoup avec
α. Il semble rester toujours des îlots réguliers, notamment la région au voisinage du
point elliptique X = 0, créant un régime mixte quand on approche le seuil d'énergie
ET.
L'apparition de solutions chaotiques a été observée pour des diérentes énergies Echaos, selon la valeur de α ( gure 5.19) : les solutions chaotiques s'observent pour des énergies grandes par rapport au seuil pour α = 0.1 jusqu'à α = 0.3, et pour α = 0.5,
α = 0.6 et α = 0.9 (0.7 × ET < Echaos< 0.9 × ET). En revanche, le chaos apparaît pour
des très hautes énergies pour α = 0.4, α = 0.7 et α = 0.8 (Echaos> 0.9 × ET).
Le seuil d'apparition du chaos ne semble pas être lié à son étendue, car dans des cas où il apparaît seulement pour des énergies grandes (par exemple, α = 0.7) il est quand même très développé. Pour comparer correctement la présence du chaos dans les diérentes situations il nous semble nécessaire de prendre une valeur xe d'énergie ;
un choix naturel est le seuil d'énergie ET, pour lequel les amplitudes du mouvement
atteignent leur maxima et donc toutes les non-linéarités deviennent importantes. Dans le chapitre suivant, nous prenons cette approche pour mieux comprendre l'existence du chaos dans les diérentes con gurations de notre système.
Chapitre 6
Chaos et synchronisation dans le
réseau carré bleu
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L'
atome piégé dans le réseau carré avec un désaccord positif (réseau carré bleu) présentela diversité de régimes dynamiques explorés dans le chapitre 5. Dans ce chapitre, ces régimes sont analysées exclusivement en fonction du paramètre α : la dépendance de la dynamique avec α est étudiée à partir du comportement au seuil d'énergie pour que l'atome reste dans un puits de potentiel. En particulier, l'étendue de la zone de l'espace des phases pour laquelle le système est chaotique varie, ce qui est montré en section 1 et quanti é en section 2 à l'aide des cartes de sections de Poincaré. Nous verrons que pour certaines valeurs de α il y a des fenêtres de dynamique régulière, où le chaos est inhibé. En section 3, nous con rmons la présence ou inhibition du chaos en calculant la dimension des trajectoires dans les diérentes con gurations. Finalement, en section 4, nous utilisons une approximation analytique pour associer les fenêtres à des résonances, qui inhibent le chaos dans le système par un phénomène de synchronisation.
Chapitre 6
Chaos et synchronisation dans le réseau carré
bleu
6.1 Introduction : l'étendue du chaos au seuil d'éner-
gie
Dans le chapitre 5, nous avons décrit les diérents régimes dynamiques qui se ma- nifestent pour un atome piégé dans le réseau carré bleu. Ces régimes sont obtenus en modi ant les deux paramètres qui interviennent dans ce système, l'énergie E de l'atome et le paramètre α. En particulier, l'existence d'un régime chaotique et son étendue va- rient selon ces deux paramètres.
L'exploration de la dynamique dans l'espace (α, E) est cependant trop vaste, comme nous l'avons vu dans le chapitre 5. De plus, le seuil d'énergie pour l'apparition du chaos est indépendant de son développement ultérieur dans l'espace des phases. Pour mieux comprendre les variations du régime dynamique et de l'étendue du chaos, dans ce chapitre nous les analysons en fonction du paramètre α, en xant l'énergie au seuil
ET (éq. 5.4) au delà duquel l'atome peut sortir du puits de potentiel. C'est pour cette
énergie que les non-linéarités et les termes de couplage du Hamiltonien sont maximaux, et on s'attend donc à ce que la dynamique soit le plus chaotique.
Une première analyse sur l'évolution de la dynamique avec α peut se faire à partir
des sections de Poincaré (SP) calculées pour une énergie égale à ET. Pour des énergies
proches du seuil, l'espace des phases accessible, que nous avons décrit comme un demi- ovoïde, prend la forme montrée sur les gures 6.1a et 6.1b. Le demi-ovale qui est sur l'axe X s'aplatit, de sorte que la projection latérale (X, Y ) tend vers un rectangle ( gure 6.1d).
Examinons alors cette projection latérale (X, Y ) du demi-ovoïde pour les valeurs de α considérées dans le chapitre 5 : la gure 6.2 permet de comparer qualitativement l'étendue du régime chaotique selon la valeur de α. Au lieu du cas particulier α = 0, qui n'a pas d'intérêt car nous savons qu'il mène forcement à un mouvement régulier, nous prenons ici une valeur petite de α : α = 0.01 ( gure 6.2a).
Nous constatons l'absence de chaos au seuil d'énergie pour α = 0.01, alors qu'au contraire il apparaît pour α = 0.1 ( gure 6.2b), et il est plus étendu par exemple pour α = 0.2 ( gure 6.2c), α = 0.3 ( gure 6.2d) et α = 0.4 ( gure 6.2e). Dans le cas déjà connu α = 0.5 (voir section 2 du chapitre 3), ou en α = 0.6, la situation est intermédiaire, avec une zone chaotique assez étendue mais une région non chaotique presque aussi étendue ( gures 6.2f, 6.2g).
Dans la section suivante, nous allons présenter une méthode de mesure de l'étendue du chaos, a n de rendre ces observations plus quantitatives. Nous prendrons aussi un ensemble de valeurs de α plus grand, en le faisant varier de 0 à 1 de façon plus continue.