SYMÉTRIES DISCRÈTES

Les variétés riemaniennes n’ont besoin que d’une seule quantité (à savoir le tenseur métrique) pour être complètement caractérisées (la métrique définie naturellement la connexion de Lévi-Civita). Les variétés complexes que l’on considère ici possèdent entre guillemets un degré de liberté supplémentaire dû à leur caractère complexe : les états|unki sont des vecteurs complexes, lors d’un transport parallèle il faut suivre leur norme (via le tenseur métrique) et leur phase (via la courbure de Berry).

Pour un fibré trivial commeH , la donnée d’une famille de sections suffit à définir le choix de la connexion alors donnée par l’équation (3) de la Réf. [35]. Ces sections sont des bases orthonormées deHkpour tout k. On notera que le caractère trivial du fibréH a une conséquence importante sur les nombres de Chern des bandes du système :

X

n

Cn= 0. (2.80)

Le hamiltonien ˆHk sur le N -espace vectoriel peut être représenté sous forme matricielle, et cette représentation dépendra de la base de sections choisie, par exemple les bases I ou II défi-nies ci-dessus. Le choix de la base II s’avère plus physique, puisque la connexion est reliée à la transformée de Fourier de l’opérateur positionr [ˆ 35,36]. Pour une description plus approfondie de cette formulation mathématique de la topologie des bandes, ainsi qu’à l’application à un modèle sur réseau en nid d’abeille, on se reportera par exemple à la revue de D. Carpentier [20].

2.4 Symétries discrètes

Lorsqu’un système est invariant par une transformation, on dit que cette transformation est une symétrie du système. La présence d’une symétrie impose des contraintes sur certaines grandeurs physiques telles que le hamiltonien. Dans le cas d’un cristal, la périodicité du potentiel cristallin est par exemple à l’origine du théorème de Bloch : le hamiltonien commute avec tous les opérateurs de translation par des vecteurs du réseau de Bravais.

Certaines transformations sont particulièrement pertinentes dans le cas de modèles cristallins : la symétrie de renversement du temps, la symétrie d’inversion, et les symétries chirales. L’objectif sera ici de définir ces symétries, et d’en déduire des conséquences sur le hamiltonien, ses états propres, ses énergies propres, et les quantités géométriques.

2.4.1 Symétrie de reversement du temps

Transformation de renversement du temps

Une première symétrie discrète est l’opération de renversement du temps T . Celui-ci laisse l’opérateur position invariant, mais oppose les impulsions des particules. On peut montrer que c’est un opérateur anti-unitaire qu’on écrit [13]

T = UK, (2.81)

où U est une matrice unitaire, et K un opérateur qui prend le complexe conjugué de toutes les quantités à sa droite (opérateur qui ne peut pas être représenté comme une matrice). Dans le cas de particules sans spin U = 1 convient, etT = K est simplement l’opérateur de conjugaison

CHAPITRE 2. INTRODUCTION À LA THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DES BANDES

complexe. Dans la suite de la discussion, nous nous plaçons dans ce cas particulier où le hamiltonien ne dépend que de l’espace et non du spin des particules.

Dans le cas d’un hamiltonien de liaisons fortes (2.46), le renversement du temps revient dans l’espace réel àtij → t?

ij (puisqu’il conserve l’opérateur positionT ˆr= ˆrT ). Dans l’espace réciproque, il change k→ −k car T |k, `i = T <sup>X</sup> R e<sup>ik·R</sup>|R, `i =^X R e^−ik·R|R, `i T = |−k, `i T . (2.82) Ainsi, lorsqu’on applique le renversement du temps, la décomposition (2.46) montre queHk → H?

−k

et les énergies deviennentEnk→ En−k.16

Systèmes symétriques parT

Supposons que le renversement du temps soit une symétrie du système, c’est-à-dire

h ˆH, Tⁱ= 0 ou T ˆHT−1= ˆH. (2.83) Dans l’espace réel, la symétrie par renversement du temps impose à la matrice d’être réelle : tij = t?

ij (on verra avec la substitution de Peierls qu’un champ magnétique brise cette symétrie). Dans l’espace réciproque, la matrice hamiltonienne vérifie

H−k^? =Hk . (2.84)

On en déduit que si |Ψki est un état propre de Hk d’énergieEk, alorsT |Ψki est aussi état propre deHkd’énergieE_−k. Le spectre est donc pair en k.

Tous les modèles que nous considérerons auront cette symétrie en l’absence de champ magné-tique. Un exemple de modèle brisant le renversement du temps est le modèle de Haldane [60].

Conséquences sur les quantités géométriques

Sous l’action de T , les unk(r) sont transformées en un−k(r)?. À partir des expressions (2.77), (2.78) et (2.79), on peut calculer les nouvelles quantités géométriques après l’opération de renver-sement du temps [13] :

gnk,ij −→ gn−k,ij

Ω_nk −→ −Ωn−k

m_nk −→ −mn−k.

(2.85)

À l’image d’un champ magnétique et d’une aimantation respectivement, la courbure de Berry et le moment orbital changent de signe après renversement du temps.

2.4.2 Symétrie d’inversion spatiale

Transformation d’inversion

Beaucoup de cristaux possèdent une symétrie d’inversion spatiale ponctuelle ; c’est-à-dire qu’il existe un point à la position r₀(sur le réseau ou non) tel que le cristal après rotation de 180° autour de ce point se superpose au cristal initial (ce qui n’impose pas qu’un atome A soit envoyé sur un

2.4. SYMÉTRIES DISCRÈTES

autre atomeA). Par définition de cette transformation, un point r de l’espace se transforme en r0

vérifiant

r⁰− r0=−(r − r0). (2.86) Dans le cas d’un réseau carré par exemple, r₀= 0 convient, et la transformation d’inversion revient à opposer toutes les positions. Dans le cas d’un réseau sur nid d’abeille, r0peut être choisi au milieu d’un lien reliant les deux atomes dans la maille, et les atomesA et B seront inversés.

Sans détailler les calculs, on retiendra que pour les réseaux que nous étudierons dans les cha-pitres suivants (carré, triangulaire et nid d’abeille), l’effet sur la matrice hamiltonienne est de chan-ger k→ −k ; de plus, pour le nid d’abeille, les atomes A et B sont échangés.

Cependant, un réseau peut posséder une symétrie d’inversion sans que le modèle en lui-même soit symétrique. L’exemple du nitrure de bore est emblématique : le réseau nid d’abeille est symé-trique par inversion avec un centre d’inversion au milieu d’un lien entre deux atomes, mais si les atomesA et B ont des énergies différentes, alors le hamiltonien n’est pas invariant.

Conséquences d’une symétrie d’inversion

Si un modèle possède une symétrie d’inversionh ˆH, Iⁱ= 0, de même que pour la symétrie de ren-versement du temps, le spectre est pair en k. De plus, les quantités géométriques se transforment de la façon suivante :

gnk,ij −→ gn−k,ij

Ω_nk −→ Ω_n−k m_nk −→ mn−k.

(2.87) Toutes les fonctions géométriques d’un modèle possédant une symétrie d’inversion sont donc paires en k.

Une conséquence importante pour les systèmes possédant la symétrie de renversement du temps et une symétrie d’inversion est que la courbure de Berry est nulle, partout où les |unki sont bien définis (c’est-à-dire si le spectre n’est pas dégénéré). En revanche, cela n’impose au tenseur géo-métrique que d’être pair. Nous reviendrons sur cette situation dans le CHAP. 7lors de l’étude du modèle à deux bandes sur réseau carré où on montrera que les effets interbandes ne sont contrôlés que par le tenseur métrique.

2.4.3 Symétrie chirale

Un autre type de symétrie discrète peut se produire : il peut exister un opérateur unitaireS qui anti-commute avec le hamiltonienn ˆH, S^o= 0 tout en étant une symétrieS2 = 11. Cette situation se présente fréquemment lorsque le système possède un degré de liberté interne.

Réseaux bipartis

Un réseau biparti est un graphe où l’on peut séparer tous les sommets en deux famillesU et V telles que tous les liens connectent un élément de U à un élément de V . Par exemple, un réseau carré est biparti, un réseau nid d’abeille est biparti avecU ={atomes A} et V = {atomes B}, tant qu’on ne considère pas de potentiel sur site. Le modèle du graphène avec sauts seconds voisins n’est pas biparti puisqu’il connecte des atomesA aux atomes A ; et de même le modèle du nitrure de bore n’est pas biparti puisque le potentiel sur site est considéré comme un lien avec retour sur le même site.

CHAPITRE 2. INTRODUCTION À LA THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DES BANDES

Les réseaux bipartis sont des exemples de systèmes présentant une symétrie chirale, souvent appelée symétrie de sous-réseau dans ce contexte. Nous verrons que le hamiltonien des modèles sur réseau biparti à deux atomes par maille s’écrit à l’aide de deux matrices de Pauli (par exempleσx

etσy pour le graphène) ; laissant ainsi la dernière (σz) anti-commuter avec ˆH.

Conséquence d’une symétrie chirale

SoitS un opérateur unitaire qui anti-commute avec le hamiltonien ˆHS = −S ˆH. Si |Ψi est un état propre du hamiltonien d’énergie E, alorsS |Ψi est également état propre d’énergie −E : les deux bandes étant symétriques par rapport àE = 0.

Le cas des modèles à trois bandes est particulièrement intéressant : un modèle à trois bandes possédant la symétrie chirale a deux bandes appariées, et sa troisième est nécessairement une bande plate à énergie nulle. Cette symétrie n’étant pas brisée en présence d’un champ magnétique, la bande plate est inerte avec le champ magnétique. Cependant, nous verrons au CHAP. 8que les caractéristiques magnétiques du système peuvent être grandement altérées par l’existence de cette bande (modèleα− T3).

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons introduit la théorie des bandes de Bloch, puis l’approximation des liaisons fortes. Cette méthode est l’une des méthodes d’approximation les plus utilisées en phy-sique des solides pour étudier les systèmes avec et sans interaction. La simulation de systèmes de matière condensée avec des expériences d’atomes froids permet de réaliser exactement des mo-dèles de liaisons fortes, sur réseau carré ou nid d’abeille (on consultera par exemple la revue de N. Goldman [53] à ce sujet). Nous avons mis l’accent sur des aspects géométriques peu connus lors de modèles à plusieurs atomes par maille, en particulier le choix de la base d’écriture de la ma-trice hamiltonienne, liberté qui a provoqué une certaine confusion lors des premiers travaux sur les réseaux hexagonaux (voir la Réf. [10]). Nous avons introduit une vision géométrique moderne de théorie des bandes, qui nous permettra de formuler et d’interpréter le plus simplement possible la susceptibilité magnétique orbitale. Enfin, nous avons détaillé trois types de symétries discrètes qui se retrouveront dans les modèles étudiés par la suite, symétries qui imposeront des contraintes sur la forme de la susceptibilité orbitale.

Chapitre 3

Magnétisme dans un modèle de