CALCUL DE LA SUSCEPTIBILITÉ VIA LE PAPILLON DE HOFSTADTER

FIGURE3.1 – À gauche, le réseau carré avec l’intégrale de saut entre plus proches voisins (ppv)t. À droite le spectre du modèle à une bande associé sur réseau carré (en ordonnéeE/t variant entre −4 et 4, en abscisses kxa et kya sur une zone de Brillouin). Le minimum de la bande est atteint au

pointΓ, et il présente des points cols sur les limites de la PZB.

Le hamiltonien de ce modèle de liaisons fortes dans l’espace réel s’écrit3

ˆ H = −t^X hi,ji |iihj| =−t ^X m,n∈Z

(|m, nihm + 1, n| + |m, nihm − 1, n| + |m, nihm, n + 1| + |m, nihm, n − 1|)

(3.19) (3.20) en repérant un sitei par deux indices (m, n)∈ Z2. Puisqu’il n’y a qu’une orbitale par atome, et un atome par maille, celui-ci a un spectre donné par (2.20), ce qui donne dans notre cas :

Ek=−2t (cos(kxa) + cos(kya)) . (3.21) Ce spectre est présenté FIG. 3.1. Les vecteurs k sont pris dans la première zone de Brillouin rec-tangulaire, d’aire4π²/a². On remarque en particulier que près du bas de la bande, ce spectre peut être approximé par une relation de dispersion parabolique

Ek ≈^~ 2k² 2m? avec 1 m? =^2ta 2 ~² . (3.22)

Un électron vérifiant cette relation de dispersion est « presque libre », dans le sens où sa relation de dispersion est quadratique, mais où sa masse proprem est remplacée par la masse effective du réseaum?.

3. On choisit ici la convention oùt > 0, avec un facteur −t devant le hamiltonien ; celà a pour conséquence de donner un minimum de la relation de dispersion au pointΓ. Dans le CHAP.7, nous changerons de convention lors de l’étude des modèles à bandes plates, avect < 0 ; ceci afin que la bande plate soit celle de plus basse énergie. Ce choix n’influence aucunement la physique du problème, et sert juste à en simplifier l’analyse.

CHAPITRE 3. MAGNÉTISME DANS UN MODÈLE DE LIAISONS FORTES

3.3.2 Équation de Harper du réseau carré

Afin de simplifier les calculs, on choisit la jauge de Landau A = −Byex, compatible avec un champ magnétique constant B= Bez. La phase de Peierls s’écrit alors :

θ(Ri, Rj) =−e ~ Z R_j R_i A(r⁰)· dr⁰ =^eB ~ Z R_j R_i y dx = ^eB ~ yi+ yj 2 ^(xj− xi). (3.23) Celle-ci est en particulier nulle pour les liens verticaux puisque le potentiel vecteur leur est ortho-gonal. Une autre jauge aurait donné un résultat différent pour la phase de Peierls ; cependant, la quantité physique pertinente —la phase accumulée sur un cycle fermé— est reliée au flux du champ magnétique à travers celui-ci et est donc indépendante de la jauge.

En utilisant la substitution de Peierls, le hamiltonien du modèle sur réseau carré en présence d’un champ magnétique s’écrit

ˆ H(B) =^X hi,ji te^iθ(Ri,Rj) |iihj| = t ^X m,n∈Z e^iθm,n |m + 1, nihm, n| + |m, n + 1ihm, n| + h.c.
(3.24) où Ri= mex+ ney et θm,n=^eB ~ na²= 2πn^φ φ0 = 2πf n (3.25)

avecφ = Ba2,φ0= h/e le quantum de flux, et f = _φ^φ

0 le flux réduit.

Définition

La plaquette du réseau est par définition la plus petite surface du réseau cristallin délimitée par des sauts entre sites. Dans ce modèle à un atome par maille, la plaquette est égale à la maille élémentaire qui est un carré de surface a2. Cependant, ceci n’est pas toujours vérifié, il suffit de penser par exemple au réseau carré à deux atomes par maille. La maille élémentaire est alors dou-blée, mais la plaquette reste identique. On retiendra queφ = Ba2est le flux à travers la plaquette élémentaire du réseau.4

Théorème de Bloch magnétique

On remarque que la phase (3.25) ne dépend que de n. Le hamiltonien conserve sa périodicité selon(Ox) ; on peut donc appliquer le théorème de Bloch dans cette direction et on peut choisir les fonctions propres de ˆH(B) sous la forme

Ψk(r) = e^ikxx_Ψ˜_{k(r) (3.26)} où ˜Ψk est une fonction périodique selon(Ox) de période a. Cependant, le hamiltonien ayant perdu sa périodicité selon l’axe(Oy), les fonctions propres ne peuvent se factoriser simplement selon cet axe, et sont donc à chercher sous la forme générale :

|Ψki =^X m e^ikxmaX n ane^ikyna |m, ni , (3.27)

4. Dans certains réseaux à plusieurs atomes par maille, il peut y avoir plusieurs plaquettes élémentaires. Si celles-ci ne sont pas commensurables, alors la méthode ci-après n’est pas utilisable.

3.3. CALCUL DE LA SUSCEPTIBILITÉ VIA LE PAPILLON DE HOFSTADTER

qui se ramène bien sûr à (2.17) si la périodicité est restaurée (c’est-à-dire an = 1 pour tout n). L’équation de Schrödinger associée ˆH |Ψki = Ek|Ψki est appelée équation de Harper, elle donne un système à Ny équations pour les coefficients an avec Ny le nombre d’atomes selon(Oy). Pour un système infini, lesansont reliés par une infinité d’équations

Ekan= te^−ikyae^2iπf(n−12)a_n−1+ te^ikyae^2iπf(n+2¹)an+1+ 2t cos (kxa) an. (3.28)

Flux rationnels

Un cas se démarque par sa simplicité cependant, celui oùf = φ/φ0est un nombre rationnel, que l’on peut écrire p/q. Dans cette situation, les équations de Harper vérifiées par an etan+q sont les mêmes, et on peut donc les chercher égaux. Ainsi, la suite infinie d’équations devient un système linéaire àq équations, qu’il est facile de résoudre numériquement, dans la limite où q ne dépasse pas la dizaine de milliers. Physiquement, avoir f = φ/φ0 rationnel signifie qu’on a commensurabilité entre le flux passant à travers une maille élémentaire, et le flux élémentaireh/e.

Si,f = ^p_q, alors lestijsont périodiques de périodeqa. Le système récupère une périodicité globale qa dans la direction y, et se comporte comme un cristal sur réseau rectangulaire à q atomes par maille. Cesq atomes apportent q bandes magnétiques, souvent appelées sous-bandes magnétiques. On se placera toujours dans ce cas pour les approches numériques.

3.3.3 Papillon de Hofstadter

Grâce à la restauration du théorème de Bloch, il est possible de trouver facilement les énergies propres du réseau pour n’importe quel champ magnétique rationnel. Après l’étude de la struc-ture mathématique de ces équations par Azbel [8], Hofstadter [66] traça le graphe des énergies propres En en fonction de la variablef pour le modèle une bande sur réseau carré. Celui-ci est présenté FIG.3.2. Sa forme suggestive a laissé à la postérité le nom de papillon de Hofstadter, nom donné au graphe(En, f ) pour tout modèle de liaisons fortes en champ magnétique.

Symétries

Le papillon de Hofstadter du réseau carré présente un grand nombre de propriétés, dont un caractère fractal. Celui-ci intéresse particulièrement les mathématiciens, et est considéré comme un objet d’étude en soit. Le papillon possède également des propriétés de symétrie :

• Tout d’abord, le papillon possède la symétrie φ → φ + φ0, c’est-à-dire f → f + 1. Pour cette raison, il n’est tracé qu’entre0 et 1 sur la FIG.3.2. Cette symétrie provient de la substitution de Peierls, car sif = 1, alors les phases de Peierls sont des multiples de 2π, et le hamiltonien est donc le même qu’en l’absence de champ. Évidemment, cette symétrie n’existe pas dans les systèmes réels, et n’est qu’un artefact de la modélisation. En effet, lorsquef ∼ 1, le potentiel vecteur varie spatialement trop vite à l’échelle de la maille atomique pour que la substitution de Peierls soit justifiée (cf. SEC.3.1). Il faut aller au-delà de cette approximation pour avoir un résultat physique cohérent.

• On peut aussi observer une symétrie f → 1 − f, qui est équivalente avec la symétrie pré-cédente, à une symétrie f → −f. Celle-ci est une manifestation directe de la symétrie de renversement du temps que vérifie le système en l’absence de champ. Tous les modèles que

CHAPITRE 3. MAGNÉTISME DANS UN MODÈLE DE LIAISONS FORTES

FIGURE3.2 – Papillon de Hofstadter du modèle une bande sur réseau carré. On a tracé tous les

0 < p/q < 1 avec 1 6 q 6 60.

nous étudierons possèdent cette symétrie ; le papillon du modèle de Haldane sur réseau nid d’abeille ne serait en revanche pas tenu d’avoir cette propriété.

• Enfin, le papillon possède une symétrieEn→ −En. Celle-ci est reliée à la symétrie chirale du modèle sous-jacent, le réseau étant biparti.

Niveaux de Landau

Si globalement le papillon a l’air d’avoir une structure compliquée, il est possible d’en interpréter certaines parties. Le voisinage de (f = 0, En = −4) en est un exemple : on observe une série de niveaux qui augmentent linéairement avec le champ magnétique, et qui sont également espacés en énergie pour unf donné. Ces niveaux résultent de la structure locale du spectre du modèle qui se trouve être quadratique en bas de bande. Ce sont des niveaux de Landau classiques espacés de ~ωc, avec une masse correspondant à la masse effectivem?du réseau dans l’approximation parabolique proche du bord de bandes.

Ces niveaux augmentent avec le champ magnétique, et donc si seuls ces niveaux sont peuplés, on prédit une réponse diamagnétique du système. Cette réponse est en tout point similaire à celle des électrons libres avec une masse effective (cf. SEC.1.4).

3.3. CALCUL DE LA SUSCEPTIBILITÉ VIA LE PAPILLON DE HOFSTADTER