Les symétries de croisement sont un concept qui provient de la dé nition des blocs conformes ainsi que de l'invariance conforme [64,65]. Ce concept permet de dé nir les équations bootstraps conformes [27,28]. Par contre, ce dernier sujet ne sera pas couvert dans le présent chapitre malgré les résultats forts intéressants qui sont possibles d'obtenir avec cette méthode [3234].
Considérons le cas qui a été développé dans la section précédente à l'équation 3.7. Dans ce cas, nous avons contracté les champs φ1 et φ2 ensemble ainsi que les champs φ3 et φ4 ensemble à l'aide du
développement en produit d'opérateurs
hφ1φ2φ3φ4i →
X
∆,J
λJ,∆GJ,∆(z, z). (3.29)
Il nous aurait été possible de contracter les champs de deux autres façons sans modi er la solution de la fonction de corrélation soit
hφ1φ2φ3φ4i, hφ1φ2φ3φ4i. (3.30)
Toutefois les blocs conformes obtenus dans ces cas et les constantes du développement auraient été modi és. Nous diérentierons les diérentes combinaisons en les associant à diérents canaux soit s, t et u. Cette nomenclature est choisie due à la ressemblance entre ces contractions et celle des diagrammes de Feynman pour une interaction entre 4 champs
φ1 φ2 φ4 φ3 : hφ1φ2φ3φ4i → X ∆,J λsJ,∆GsJ,∆(z, z), (3.31) φ1 φ2 φ4 φ3 : hφ1φ2φ3φ4i → X ∆,J λtJ,∆GtJ,∆(z, z), (3.32)
φ1 φ2 φ4 φ3 : hφ1φ2φ3φ4i → X ∆,J λuJ,∆GuJ,∆(z, z). (3.33)
Les blocs conformes sont donc diérents d'un canal à l'autre ainsi que les coe cients qui leur sont associés. De plus, l'intervalle de convergence de ces blocs peut diérer. Par contre, la fonction de corrélation doit être la même que nous utilisons un canal ou l'autre. Ce faisant, il est possible de relier les développements des diérents canaux entre eux. Ces symétries portent le nom de symétrie de croisement. Connaissant la forme des blocs dans le canal s donnée par les équations 3.26 et 3.27
pour le cas 2 et 4 dimensions respectivement, il nous est possible d'a rmer que les blocs dans le canal t seront reliés à ceux dans le canal s par
X ∆,J λsJ,∆G(∆1,∆2,∆3,∆4) J,∆ (z, z) = X ∆,J λtJ,∆ (zz) 1 2(∆1+∆2) [(1 − z)(1 − z)]12(∆2+∆3) G(∆3,∆2,∆1,∆4) J,∆ (1 − z, 1 − z). (3.34)
Nous remarquons que dans le canal t, en plus du terme supplémentaire en z et z, il y a l'échange (1 ↔ 3)et (z, z) → (1 − z, 1 − z). Le domaine de convergence est le même que pour le canal s. Dans le cas du canal u, nous avons plutôt l'échange (2 ↔ 3) et (z, z) → (1/z, 1/z) par rapport au canal s X J,∆ λsJ,∆G(∆1,∆2,∆3,∆4) J,∆ (z, z) = X ∆,J λuJ,∆(zz)12(∆1+∆4)G(∆1,∆3,∆2,∆4) J,∆ 1 z, 1 z . (3.35)
Nous constatons aussi que le domaine de convergence dans le canal u est donné par 1 < z, z < ∞. La relation précédente est donc obtenue par le prolongement analytique du canal s vers le nouveau domaine.
Ces relations de symétrie semblent vouloir contraindre le système au niveau des coe cients ainsi que des champs présents dans le développement en produit d'opérateurs. Cette idée a mené au concept d'équation de bootstrap conforme mentionnée auparavant. Ceci à mener à des résultats numériques pour les données conformes. Malgré ces contraintes, ces données sont encore un mystère au niveau analytique. Une des méthodes proposées pour obtenir ces données est d'inverser les blocs conformes a n d'obtenir les coe cients en termes d'une intégrale sur les blocs et les fonctions de corrélation. Dans le prochain chapitre, nous aborderons ces méthodes et constaterons que la forme des blocs conformes complique les calculs.
Chapitre 4
Relation d'inversion des blocs conformes
Comme nous avons pu le voir dans le chapitre précédent, le développement en produit d'opérateurs et les blocs conformes associés possèdent toutes les informations nécessaires pour décrire une théorie conforme des champs. Toutefois, extraire ces informations n'est pas aussi direct que souhaité. Dans ce chapitre, nous aborderons le concept d'inversion des blocs conformes et nous nous attarderons sur des résultats fort intéressants. Le concept consiste à isoler les coe cients du développement en produit d'opérateurs en appliquant une transformation intégrale ayant une dépendance sur les blocs conformes et les fonctions de corrélation. Une des premières réalisations de cette idée a été faite par Hogervorst et Van Rees [35]. Celle-ci consistait à inverser dans l'espace euclidien le développement en produit d'opérateurs en une dimension en utilisant une base de fonctions orthogonales créée à partir des blocs conformes. Indépendamment, Caron-Huot proposa une relation d'inversion lorentzienne pour les champs scalaires en d dimensions [36]. Cette relation d'inversion plus générale permet d'extraire les coe cients ainsi que les dimensions des champs échangés grâce à l'analyse complexe. Cette relation fut ensuite reprise et généralisée pour des champs externes généraux [37,66].
Ce chapitre couvrira la relation d'inversion euclidienne puis celle lorentzienne, en portant une attention particulière au cas de champ scalaire qui est le sujet principal de ce mémoire. Une application au modèle d'Ising en deux dimensions sera aussi abordée pour démontrer l'utilité de cette méthode. L'article de Caron-Huot [36] sera le point central de ce chapitre puisque cet article a motivé la majorité des travaux de recherche présentés dans le cadre de ce mémoire.
4.1 Relation d'inversion euclidienne
Pour débuter, nous considérons le développement en blocs conformes pour quatre champs scalaires dans le canal s donné par l'équation 3.31en d dimensions. Il est possible d'écrire cette relation sous une forme où la dimension conforme ∆ des champs échangés est considérée comme continue [36,67]
G(z, z) = 112134+ ∞ X J =0 Z d/2+i∞ d/2−i∞ d∆ 2πiλ s(J, ∆)F J,∆(z, z), (4.1)
avec 1ijl'identité dans le canal ij. Nous constatons d'abord que les données du développement λsJ,∆sont
maintenant une fonction analytique en J et ∆ nommée λs(J, ∆). La fonction F
J,∆(z, z) correspond
correspond à la transformation3.16(∆ → d − ∆)[54,67] FJ,∆(z, z) = 1 2 GJ,∆(z, z) + KJ,d−∆ KJ,∆ GJ,d−∆(z, z) , (4.2)
avec les coe cients
KJ,∆=
Γ(∆ − 1)
Γ ∆ −d2 κJ +∆, κβ=
Γβ2 − aΓβ2 + aΓβ2− bΓβ2 + b
2π2Γ(β − 1)Γ(β) . (4.3)
Les paramètres a et b sont donnés par l'équation 3.21. Il est possible de passer de l'équation4.1à la dé nition originale 3.31en fermant le contour d'intégration vers la droite pour le terme GJ,∆(z, z) et
sur la gauche pour le shadow GJ,∆(z, z). Ceci est possible puisque les blocs conformes disparaissent
exponentiellement pour des grandes valeurs réelles de ∆. Les données conformes sont alors liées à leur forme analytique par
λsJ,∆= −Res[λs(J, ∆0), ∆0= ∆]. (4.4) Cette relation possède quelques exceptions qui seront discutées plus loin.
L'utilité de la dé nition4.1est que les fonctions harmoniques FJ,∆(z, z)forment une base orthogonale.
Ceci permet donc d'inverser l'équation4.1en multipliant par FJ0,∆0(z, z)des deux cotés et en intégrant
par la suite sur le plan complexe
λs(J, ∆) = N (J, ∆) Z
d2zµ(z, z)FJ,∆(z, z)G(z, z), (4.5)
avec N(J, ∆) un facteur de normalisation et la mesure µ(z, z) donnée par
µ(z, z) = z − z zz d−2 ((1 − z)(1 − z))a+b (zz)2 . (4.6)
Cette mesure est obtenue en demandant que l'opérateur diérentiel3.25soit auto-adjoint. Cette mesure est la même que celle caractérisant les polynômes de Koornwinder [6870]5. Le facteur de normalisation
est calculé en considérant le comportement des blocs près de l'origine z, z → 0
N (J, ∆) = Γ J + d−2 2 Γ J + d 2 KJ,∆ 2πΓ(J + 1)Γ(J + d − 2)KJ,d−∆ . (4.7)
Cette relation d'inversion encode toute l'information concernant le développement en produit d'opé- rateurs. En eet, une fois la fonction λs(J, ∆)isolée, la dimension conforme des champs échangés est
donnée par la position des pôles en ∆ et leurs coe cients sont donnés par le résidu. Toutefois, en pratique l'intégrale que nous obtenons est très di cile à réaliser. En eet, pour le cas d ≥ 2, l'intégrale ne peut pas être séparée pour z et z et la convergence de l'intégrale n'est pas assurée sur tout le domaine d'intégration. Dans le cas d = 1, la relation d'inversion euclidienne est nettement plus facile puisqu'il y a seulement une dépendance en z dans les blocs conformes [35]. En fait, dans ce cas il n'est pas nécessaire d'utiliser la représentation intégrale du développement en produit d'opérateurs. Il nous est donc possible de conclure cette section en a rmant que les idées présentées pour la relation d'inversion euclidienne sont intéressantes, mais di ciles d'utilisation. Une forme plus pratique où les variables d'intégrations pourraient être séparées est nécessaire. Dans la prochaine section, nous verrons comment une dynamique lorentzienne permet de corriger plusieurs des problèmes soulevés ici.
5. Cette relation entre les polynômes et les blocs conformes est connue dans la littérature, mais ne semble pas pour le moment permettre des simpli cations utiles.