Études des fonctions de corrélation en théorie conforme des champs : transformation intégrale du développement en produit d'opérateurs

© Mathieu Bélanger, 2020

Études des fonctions de corrélation en théorie conforme

des champs : transformation intégrale du

développement en produit d'opérateurs

Mémoire

Mathieu Bélanger

Maîtrise en physique - avec mémoire

Maître ès sciences (M. Sc.)

Étude des fonctions de corrélation en théorie

conforme des champs : transformation intégrale du

développement en produit d’opérateurs

Mémoire

Mathieu Bélanger

Sous la direction de:

Résumé

Les fonctions de corrélation en théorie conforme des champs peuvent être décrites par un développe-ment en produit d'opérateurs. Celui-ci contient l'entièreté des informations nécessaires pour caractéri-ser ces théories. Ceci a donné naissance aux équations de type bootstrap. Quelques résultats numériques ont démontré l'ecacité de cette méthode, mais aucun résultat théorique n'est en mesure de valider ceux-ci.

De récents résultats ont permis d'inverser les développements en produit d'opérateurs an d'obtenir une forme analytique des données conformes. Ces relations nécessitent toutefois la forme complète des fonctions de corrélation. Celles-ci ne sont généralement pas connues ce qui rend ces relations peu utiles. Nous proposons ici une transformation intégrale du développement en produit d'opérateurs utilisant les relations d'inversion. Cette relation permet d'obtenir une forme reliant les données conformes des diérents canaux. Dans le cas de quatre champs scalaires identiques, cette relation peut être utilisée en récurrence en deux et quatre dimensions. Ceci pourrait permettre de valider les résultats connus en plus de prédire de nouveaux modèles.

Abstract

Correlation functions in conformal eld theory can be expressed with the help of the operator product expansion. The latter contains all the necessary information to characterize those theories. This expansion has given rise to the bootstrap equations. The bootstrap program has led to interesting numerical results but analytic equivalents have yet to be found.

Some recent results introduced the inversion formula to the operator product expansion which allows one to nd the conformal data for the correlation function. Those relations need the complete form of the correlation function which are not usually known. This renders those inversion formulas hard to use for the bootstrap program.

Here, we propose an integral transformation of the operator product expansion that uses the inversion formula. This gives us a way to relate the conformal data of the dierent crossing symmetry channels. In the case of four identical scalar elds, this relation can be used as a recurrence relation in two and four dimensions. This might validate known results and also nd some new systems.

Table des matières

Résumé ii

Abstract iii

Table des matières iv

Liste des tableaux vi

Liste des gures vii

Remerciements x

Introduction 1

1 Résumé de théorie quantique des champs 6

1.1 Boson libre . . . 6

1.2 Intégrale de chemin. . . 9

1.3 Fonction de corrélation. . . 10

1.4 Symétrie en théorie quantique des champs . . . 11

2 Théorie conforme des champs 15 2.1 Invariance conforme en théorie quantique des champs. . . 15

2.2 Courant conservé en théorie conforme des champs . . . 19

2.3 Fonction de corrélation en théorie conforme des champs . . . 21

2.4 Invariance conforme en deux dimensions . . . 22

3 Développement en produit d'opérateurs et blocs conformes 27 3.1 Développement en produit d'opérateurs . . . 27

3.2 Blocs conformes. . . 29

3.3 Symétrie de croisement. . . 32

4 Relation d'inversion des blocs conformes 34 4.1 Relation d'inversion euclidienne . . . 34

4.2 Relation d'inversion lorentzienne . . . 36

4.3 Relation d'inversion lorentzienne généralisée . . . 40

4.4 Solution du modèle d'Ising en deux dimensions . . . 41

5 Transformation intégrale du développement en produit d'opérateurs 45 5.1 Construction de la transformation sur les symétries de croisement. . . 45

5.2 Champs scalaires en deux dimensions. . . 48

5.3 Champs scalaires en quatre dimensions. . . 54

Conclusion 58

B Représentation du noyau de transformation en termes de fonctions Meijer-G 64

Liste des tableaux

4.1 Coecients du développement en produit d'opérateurs pour quatre champs σ dans le

Liste des gures

4.1 Contour C et C± dans le plan ω. Les diérents points de branchement sont marqués

par une croix. Le sens des contours est représenté par une èche. . . 38

4.2 Graphique de la fonction de corrélation Gσσσσen fonction de z pour z = 1/2 en rouge. En

bleu et vert, nous avons la comparaison avec le développement en produit d'opérateurs dans le canal s jusqu'à λs

0,1 et λs2,2 respectivement. . . 43

4.3 Comparaison entre les canaux s et t pour un coecient dans le développement en produit

d'opérateurs pour z = 1/2. . . 43

4.4 Comparaison entre les canaux s et t pour deux coecients dans le développement en

produit d'opérateurs pour z = 1/2. . . 44

C.1 Comparaison des coecients du développement en produit d'opérateurs théoriques aux

À mes parents, ma soeur et ma copine pour leur appui.

Au sommet de la plus haute tension va jaillir l'élan d'une droite èche, du trait le plus dur et le plus libre.

Remerciements

Avant de débuter, je tiens à remercier mon directeur de recherche, Monsieur Jean-François Fortin, pour m'avoir donné la chance de réaliser ce tumultueux dé qu'est une maîtrise en physique théorique. Je tiens à vous remercier pour le support apporté tout au long de mon passage à la maîtrise ainsi qu'au baccalauréat. Merci encore pour les conseils et directives reliés à la recherche ainsi qu'aux demandes de bourses.

Je tiens à remercier mes collègues pour les discussions utiles à la recherche ainsi que pour les moments de divertissement permettant de passer au travers les moments plus ardus.

Il ne m'aurait pas été possible de réaliser ces travaux de recherche sans l'appui de mes parents, de ma s÷ur ainsi que de ma copine. Merci pour les encouragements, votre compréhension et votre aide sur la correction.

Finalement, ces travaux de recherche ont été réalisés grâce à la contribution nancière du CRSNG et du FRQNT par l'entremise du programme de bourses aux études supérieures.

Introduction

L'apogée de la théorie quantique des champs dans les années 1960 a permis d'apporter des réponses à plusieurs grandes questions en physique théorique. Cette théorie qui unit la mécanique quantique et la relativité restreinte, a donné naissance au modèle standard qui permet de décrire les interactions électrofaibles et fortes des particules élémentaires [14]. Cette théorie a apporté une meilleure compré-hension aux phénomènes appartenant à une variété de domaines. Elle réside au c÷ur même de notre compréhension d'une vaste gamme de sujets fondamentaux comme le mouvement des particules dans l'espace-temps ou des interactions des matériaux en matière condensée.

Le pouvoir prédictif de cet outil est à son maximum lorsqu'un développement perturbatif est possible. Ceci nécessite que les constituants se doivent d'interagir faiblement. Ainsi, cette théorie n'est pas en mesure de considérer des phénomènes comme la superconductivité à haute température ou la chromo-dynamique quantique à basse énergie. Ces deux systèmes sont des exemples de modèles théoriques qui demandent des interactions fortement couplées entre les particules.

Cette théorie n'a donc pas seulement apporté des réponses, mais aussi de nouvelles questions. Une de celles-ci est comment pouvons-nous relier les phénomènes macroscopiques à longue distance d'inter-action (dit infrarouge) à notre description microscopique à courte distance (dit ultraviolet) ? Il n'est pas évident a priori qu'un tel lien soit possible. La diérence d'échelle entre les systèmes étant grande, les paramètres infrarouges peuvent dépendre de façon arbitrairement complexe de ceux ultraviolets. De façon surprenante, la théorie quantique des champs possède une vaste variété de descriptions de systèmes ultraviolets ayant la même dynamique infrarouge. En eet, plusieurs modèles ultraviolets diérents convergent au même point xe dans la limite des basses énergies. Ceci étant dû au fait que, dans ces théories, les propriétés du système ne dépendent pas de l'énergie utilisée pour sonder le système. Ces théories démontrent ainsi une invariance d'échelle.

Ceci nous apporte ainsi une nouvelle question qui a tourmenté plusieurs chercheurs dans les années 1960 et 1970. Quelles sont les implications d'une théorie quantique des champs invariantes d'échelle ? Plusieurs se sont penchés sur la question pour en obtenir une réponse surprenante. Il fut constaté qu'une symétrie d'échelle impliquait généralement une invariance sous un groupe plus grand, soit le groupe conforme. Celui-ci comporte les transformations de translations, de Lorentz et spéciales conformes en plus des transformations d'échelle. Polyakov a pu établir un lien entre les transitions de phase avec des uctuations qui sont invariantes d'échelle et l'invariance conforme [5]. Toutefois, aucun lien mathématique n'explique cette augmentation des symétries.

Cette nouvelle invariance plus générale est donc devenue un sujet d'intérêt pour plusieurs travaux de recherche. Ces théories quantiques des champs possédant l'invariance sur le groupe conforme

se-ront alors appelées des théories conformes des champs. Les propriétés de ces symétries et de leurs eets ont été étudiés dans les années 1960 par Wess [6], Mack-Salam [7] et bien d'autres. Bien que les eets du groupe conforme aient été étudiés, l'augmentation de l'invariance d'échelle vers l'inva-riance conforme reste un phénomène mal compris. Est-ce que l'inval'inva-riance d'échelle implique toujours l'invariance conforme ?

L'article de Polyakov a mis en lumière le meilleur exemple de cette possible augmentation : les tran-sitions de phase des modèles statistiques invariants d'échelle. Bien que ces modèles soient décrits seulement par une théorie invariante d'échelle, leurs solutions, elles, sont invariantes sous l'ensemble du groupe conforme. Plusieurs contributions majeures ont été faites pour déterminer quelles sont les contraintes minimales sur un système pour que celui-ci ait une symétrie augmentée vers le groupe conforme. Il fut montré qu'une invariance d'échelle n'implique pas nécessairement l'invariance conforme en théorie quantique des champs [8,9]. L'invariance conforme est plutôt liée à la trace nulle du tenseur d'énergie-impulsion. Toutefois, il fut montré qu'en deux dimensions, l'invariance d'échelle implique toujours l'invariance conforme.

Cette question fut portée à des domaines extérieurs à la physique des particules. Il fut montré, entre autres, que l'augmentation de l'invariance d'échelle vers celle conforme n'était pas présente dans les systèmes de perception biologique. Une compréhension en termes de champs quantiques a été utilisée pour démontrer cela [1012].

Toutes ces contributions mènent à l'armation qu'il est impossible d'expliquer les théories conformes des champs comme une augmentation de l'invariance d'échelle des théories quantiques des champs. Une meilleure explication de l'origine des théories conformes des champs était donc nécessaire. Pour ce faire, il fallut attendre des avancées dans d'autres champs de la physique théorique. Dans les années 1970, la théorie quantique des champs reçue une de ses contributions des plus majeures avec la descrip-tion du groupe de renormalisadescrip-tion par Wilson et Kogut [13]. Ceci a permis d'élaborer la description de la théorie conforme des champs. En eet, il fut constaté que ces théories pouvaient être associées à des points xes dans le ux du groupe de renormalisation [14]. Des exemples concrets de cette armation peuvent être vus dans les travaux de Wilson-Fisher [15] et de Banks-Zaks [16]. Il fut par la suite montré que des théories quantiques des champs invariantes d'échelle, mais n'étant pas des théories conformes des champs, sont plutôt des cycles limites du ux du groupe de renormalisation [17].

Nous constatons que l'utilité de la théorie conforme des champs couvre une vaste gamme de sujets. Que cela soit en physique statistique avec les phénomènes critiques ou en physique des hautes énergies avec la théorie quantique des champs. Une meilleure compréhension de ces théories invariantes sur le groupe conforme permettrait d'augmenter notre compréhension des phénomènes quantiques.

Un autre exemple de la pertinence des théories conformes des champs est la compréhension de la gravité quantique. En eet, bien que la relativité générale permet de caractériser les phénomènes gravitationnels à grande échelle, donc faiblement couplés, les cas microscopiques ne peuvent pas être expliqués par cette théorie. La théorie des cordes tente de remédier à ce problème de façon perturbative puisque le développement non-perturbatif est nettement plus compliqué. Il est toutefois possible de remédier à cette complexité, et ainsi obtenir une meilleure description qui soit non-perturbative, en utilisant la correspondance AdS/CFT proposée par Maldacena en 1997 [18]. Cette correspondance conjecture qu'il existe une théorie de gravité quantique qui vit à l'intérieur d'un espace-temps qui se

comporte comme un espace anti-de Sitter (AdS) et que la frontière de cet espace est gouvernée par une théorie conforme des champs. En particulier, s'il y a présence de gravité dynamique à l'intérieur, il y aura existence d'un tenseur d'énergie impulsion dans la théorie conforme des champs à la frontière. Cette conjecture est l'un des sujets de recherche des plus actifs en lien avec la théorie conforme des champs et a reçu de grandes contributions depuis sa proposition [1921].

Toutes ces applications de la théorie conforme des champs justient amplement son importance. Une étude en détail de cette théorie s'impose alors. Pour bien caractériser le tout, il est nécessaire de comprendre les eets de l'invariance conforme sur les fonctions de corrélation des systèmes étudiés. Au niveau plus fondamental, les fonctions de corrélation permettent de mesurer la probabilité de diusion liée à certains phénomènes en théorie quantique des champs. En matière condensée, ces fonctions permettent de caractériser la magnétisation des systèmes. Lorsque nous ajoutons l'invariance conforme, ces fonctions permettent d'obtenir des observables comme les dimensions conformes ou les exposants critiques dans le cas des phénomènes de physique statistique. Celles-ci ont la particularité d'être xées en partie par l'action du groupe conforme. En eet, les contraintes imposées permettent de xer complètement les fonctions dépendant de deux champs externes. Toutefois, l'invariance sous le groupe conforme laisse parfois certaines libertés lorsque nous considérons un plus grand nombre de champs externes. En eet, les fonctions de corrélation à trois champs sont déterminées à une constante près, alors que celles à quatre champs ont une liberté sur une fonction qui dépend de rapports entre les distances des champs.

Cette liberté sur les fonctions de corrélation à quatre points complique l'obtention de la forme générale. Il faut donc considérer des cas précis pour obtenir une forme fermée. Ce travail reste toutefois ardu et a été réalisé que pour certains modèles simples comme le modèle d'Ising en deux dimensions [22,23]. C'est toutefois dans ces fonctions de corrélation que l'information physique sur les systèmes se trouve. Une caractérisation complète des théories conformes des champs passe donc par une caractérisation de leurs fonctions de corrélation. Ainsi, plusieurs outils ont été développés au l des années pour contraindre ces fonctions. Un de ces outils est le développement en produit d'opérateurs proposé, entre autres, par Ferrara, Gatto et Grillo [2426]. Celui-ci permet d'exprimer, à l'intérieur des fonctions de corrélation, le produit de deux champs externes comme une somme sur des opérateurs échangés. Il est alors possible d'exprimer les fonctions de corrélation à n champs en une somme sur des fonctions de corrélation à n − 1 champs. Nous pouvons alors contraindre les libertés sur les fonctions de corrélation à trois et quatre champs.

Cet outil a permis de développer ce qui est maintenant connu comme les équations de type bootstrap conforme [27,28]. Ces équations mettent en relation les symétries de croisement et le développement en produit d'opérateurs pour contraindre les opérateurs échangés. La complexité des équations nécessite des méthodes numériques, mais les résultats obtenus sont fort intéressants. Par exemple, il est possible de déterminer les dimensions conformes et les coecients du développement en trois dimensions avec une meilleure précision que toutes autres méthodes actuelles [2934].

Toutefois, il n'existe pas pour le moment de version analytique de ces résultats. Pour ce faire, il faut d'abord être en mesure d'inverser les développements en produit d'opérateurs. Une version euclidienne de cette inversion a été proposée en une dimension par Hogervorst et Van Rees [35]. Cette relation permet d'obtenir les coecients du développement en produit d'opérateurs en termes d'une intégrale

sur la fonction de corrélation. Toutefois, la version plus générale à d dimensions est nettement plus compliquée, ce qui limite son utilisation. Une relation d'inversion de type lorentzienne a été proposée par Caron-Huot pour des champs scalaires [36]. Le cas général a été réalisé par Kravchuk et Simmons-Dun [37]. Cette relation lorentzienne a la particularité d'avoir une intégrale séparable, ce qui facilite son utilisation. Il est ainsi possible d'obtenir les données du développement de façon analytique si nous connaissons la fonction de corrélation à quatre points.

Nous constatons assez rapidement les limitations de cette approche. La connaissance des fonctions de corrélation est limitée à quelques cas seulement. La majorité de ces cas sont en deux dimensions et nécessitent des outils qui ne sont pas présents en d dimensions comme l'algèbre de Virasoro [22]. De plus, si nous connaissons la fonction de corrélation, le développement en produit d'opérateurs ne donne pas plus d'informations, ce qui rend les données conformes inutiles. Il est donc nécessaire de développer une autre méthode pour extraire l'information contenue dans la relation d'inversion lorentzienne sans avoir de connaissances sur les fonctions de corrélation. Pour ce faire, nous proposons de combiner les symétries de croisement avec la relation d'inversion lorentzienne. Ceci sera le point culminant de ce mémoire, une relation donnant les coecients du développement en produit d'opérateurs et les dimensions conformes des champs échangés en termes des diérents canaux des symétries de croisement. Cette relation permettra d'augmenter le nombre de contraintes à respecter pour calculer ces coecients. Ces résultats peuvent être reliés aux méthodes de calcul perturbatif pour des grands twist proposés récemment dans la littérature [38,39]. Pour avoir un grand twist il est nécessaire d'avoir une grande diérence entre les dimensions conformes et le spin des champs. Ces développements considèrent seule-ment la limite où un des ratios anharmoniques est nul. Cette approximation provient du fait que les dimensions conformes sont liées à la divergence en ce point. Toutefois, ceci limite la précision des résul-tats. De plus, ces méthodes nécessitent une équation pour les dimensions conformes et une autre pour les coecients du développement en produit d'opérateurs. La méthode que nous proposons n'est pas limitée au cas où un des ratios anharmoniques est nul et encode l'information concernant les données conformes dans une seule équation.

An d'avoir une bonne compréhension de tous les éléments utilisés pour obtenir ce résultat, nous couvrons plusieurs éléments théoriques avant de nous plonger dans l'obtention de cette relation au chapitre 5. Nous débutons par un survol de la théorie quantique des champs au chapitre 1. Nous y abordons la théorie des bosons libres. Ceci nous mène à la dénition de la théorie quantique des champs en termes des intégrales de chemins ainsi qu'aux concepts de fonctions de corrélation et de symétries. Cette section se limite aux outils nécessaires pour bien dénir les théories conformes de champs. Nous invitons les lecteurs voulant une description plus complète à se référer aux ouvrages ayant servis de base pour cette section, soit les références [40,41].

Ceci nous mène au chapitre2où nous abordons les transformations conformes an d'avoir une compré-hension fondamentale de la théorie conforme des champs. Nous enchainons ensuite avec les courants conservés dans cette théorie. Ceci nous permet d'exprimer les conditions nécessaires pour que l'inva-riance d'échelle soit augmentée en inval'inva-riance conforme. Nous abordons ensuite les fonctions de corré-lation invariantes conformes et nous remarquons plusieurs simplications possibles dans cette théorie. Une courte section sur l'invariance conforme en d = 2 nous permet de bien comprendre le commen-taire fait au sujet des limitations des relations d'inversion. Cette section est un condensé d'ouvrages couvrant la théorie conforme des champs plus amplement [40,42,43].

Nous abordons ensuite le développement en produit d'opérateurs et les blocs conformes dans le chapitre

3. Nous y dénissons aussi le concept de symétrie de croisement qui permet d'obtenir les équations de type bootstrap. Les éléments obtenus dans ce chapitre sont les bases de notre construction des relations d'inversion présentées au chapitre 4. Nous y couvrons alors les récents développements au niveau des relations d'inversion de type euclidienne et lorentzienne. La solution analytique du modèle d'Ising en deux dimensions est aussi présenté à titre d'exemple.

Finalement, au chapitre 5, nous présentons la méthodologie proposée pour remédier au manque d'in-formations sur les fonctions de corrélation à quatre points. Nous présentons aussi les résultats obtenus en deux et quatre dimensions. Un commentaire est aussi apporté sur l'utilité et les implications de cette relation.

Il est important de noter que la nomenclature utilisée dans cet ouvrage est conforme à celle présentée dans la littérature en physique et présente des diérences avec celle utilisée en mathématique.

Chapitre 1

Résumé de théorie quantique des champs

Cette section se veut une introduction et un résumé de la théorie quantique des champs. Ceci a pour but d'introduire le cadre théorique permettant de bien dénir les théories conformes des champs qui seront le sujet principal de ce mémoire. Comme mentionné en introduction, le lecteur est référé aux ouvrages [40,41] pour une plus grande élaboration sur le sujet.

La théorie quantique des champs a émergé d'un besoin d'unir les deux piliers de la physique moderne soit la mécanique quantique et la relativité restreinte. Ces deux théories proposent des explications à plusieurs phénomènes observés, mais chacun dans sa propre limite. D'un coté, nous sommes en mesure d'expliquer le comportement de particules élémentaires à des vitesses faibles et de l'autre, le comportement d'objets massifs à des vitesses très élevées. Toutefois, lorsque nous combinons les deux, soit des particules élémentaires à des vitesses (énergie) très élevées de nouveaux phénomènes font leur apparition. Ceux-ci n'étant pas explicables par l'une ou l'autre des théories, un nouveau formalisme est nécessaire. En eet, plusieurs phénomènes maintenant bien détaillés, comme l'annihilation d'un électron et d'un positron en photons, s'expliquent que par ce nouveau formalisme. Proposée dans les années 1920, cette théorie eu son apogée lors du fondements du modèle standard avec les théories des interactions électrofaibles [13] et des interactions fortes [4]. Ces dernières découvertes ayant été pos-sibles grâce au mécanisme de Higgs [4447]. La théorie quantique des champs fut par la suite améliorée par diérentes contributions majeures comme le groupe de renormalisation [13] et la formulation en intégrale de chemin [48]. La théorie quantique des champs est encore à ce jour un domaine très actif en plus d'avoir donné le formalisme nécessaire à l'émergence de nouvelles théories comme la théorie conforme des champs, la théorie des cordes et la supersymétrie pour nommer que celles-ci.

Pour tirer les informations nécessaires au présent document, nous allons d'abord considérer une théo-rie de boson libre. Nous étudierons le formalisme de l'intégrale de chemin pour ensuite donner une dénition aux fonctions de corrélation qui seront au coeur du sujet de ce mémoire. Finalement, une description formelle des lois de conservation en théorie quantique des champs nous permettra de faire une transition à la théorie conforme des champs, le sujet qui nous intéresse ici.

1.1 Boson libre

Pour débuter notre étude de la théorie quantique des champs, nous allons d'abord considérer le cas le plus simple pour en tirer certains principes utiles. Pour ce faire, considérons un champ scalaire φ(x, t)

contenant une innité de degrés de liberté. La théorie des champs classiques nous permet d'armer que l'évolution de ce champ sera décrite par sa densité lagrangienne

L = 1 2  1 c2(∂µφ) 2_{− m}2_φ2  , (1.1)

où c représente la vitesse de la lumière et m la masse de la particule. Nous utiliserons le système d'unités naturelles tel que c = 1. De notre lagrangien, il est possible d'obtenir l'action de notre champ

S[φ] = Z

dxdtL(φ, ˙φ, ∇φ). (1.2) Le théorème de moindre action nous dit que le système va évoluer d'un temps ti vers tf sera donné

par le chemin qui minimise l'action. Ceci implique donc 0 = δS = Z d4x ∂L ∂φδφ + ∂L ∂(∂µφ) δ(∂µφ)  = Z d4x ∂L ∂φδφ − ∂µ  ∂L ∂(∂µφ)  δφ + ∂µ  ∂L ∂(∂µφ) δφ  . (1.3)

Le dernier terme correspond à un terme de surface et peut donc être annulé par l'intégrale. Ceci nous mène à l'équation du mouvement de Euler-Lagrange pour un champ

∂µ  _∂L ∂(∂µφ)  −∂L ∂φ = 0. (1.4)

Dans le cas d'un champ bosonique libre dont le lagrangien est donné par l'équation 1.1, l'équation du mouvement donne

(∂µ∂µ+ m2)φ = 0. (1.5)

Cette équation porte le nom d'équation de Klein-Gordon. Il est bien de noter que nous sommes toujours dans le cas classique. Comme nous voulons obtenir des éléments de théorie quantique des champs, nous allons maintenant venir quantier le tout pour obtenir ce que nous cherchons. Pour ce faire, nous commençons par déterminer le moment canonique associé à notre champ φ(x) soit π(x) = ˙φ(x). L'Hamiltonien de notre système sera donc donné par

H = π(x) ˙φ(x) − L. (1.6) Les relations de commutation pour un système continu sont

[φ(x), π(y)] = iδ(3)(x − y);

[φ(x), φ(y)] = [π(x), π(y)] = 0. (1.7) Pour obtenir des informations sur le spectre de notre Hamiltonien, il est nécessaire d'écrire l'équation de Klein-Gordon dans l'espace de Fourier. Nous utilisons la dénition

φ(x, t) =

Z _d3_p

(2π)3e

ip·x_{φ(p, t). (1.8)}

Dans cet espace, l'équation de Klein-Gordon prend la forme d'un oscillateur harmonique simple soit  ∂2 ∂t2+ ω 2 p  φ(p, t) = 0, ω2p= |p| 2 + m2. (1.9)

Nous pouvons ensuite dénir les opérateurs d'échelles, ap et a†p, pour exprimer notre champ dans l'espace de Fourier φ(x) = Z _d3_p (2π)3 1 p2ωp apeip·x+ a†pe −ip·x
_(1.10) π(x) = Z _d3_p (2π)3(−i) r ωp 2 ape ip·x_{− a}† pe −ip·x
_{. (1.11)}

Nos relations de commutation1.7 deviennent en termes des opérateurs d'échelles

[ap, a†p0] = (2π)3δ(3)(p − p0), [ap, ap0] = [a†_p, a†_p0] = 0. (1.12)

L'Hamiltonien d'un boson libre en termes des opérateurs d'échelle s'exprime alors comme

H = Z _d3_p (2π)3ωp  a†_pap+ 1 2[ap, a † p]  . (1.13)

Dans cette expression, le dernier terme nous pose un problème. En eet, ce terme est proportionnel à δ(0), un nombre inni. Ainsi, l'énergie de base du système serait un nombre inni, ce qui ne correspond pas aux résultats expérimentaux. Toutefois, ce qui est mesurée expérimentalement n'est pas la valeur absolue d'énergie, mais plutôt la diérence d'énergie entre un état donné et l'état fondamental. Ainsi, cet inni n'a aucun impact sur les mesures expérimentales et peut être omis dans la suite de nos calculs.

De l'expression de l'Hamiltonien, il est possible d'obtenir les relations de commutation avec les opéra-teurs d'échelle

[H, a†_p] = ωpa†p, [H, ap] = −ωpap. (1.14)

Il est alors possible de construire l'ensemble du spectre de la théorie. Nous dénissons l'état fondamental comme |0i tel que ap|0i = 0, pour tout p. Les autres états sont construits en faisant agir l'opérateur

de création a†

psur l'état fondamental. Ces états auront une énergie donnée par

Ha†_p|0i = ωpa†p|0i. (1.15)

De façon générale, l'état a† pia

†

pj. . . |0iaura une énergie donnée par ωpi+ ωpj+ . . ., où nous utilisons les

relations de commutation pour obtenir l'énergie de notre état. De plus, par les relations de commutation

1.12, nous remarquons que a†

qa†p|0i représente le même état que a†pa†q|0i, ceci conrme donc que

notre système respecte la statistique de Bose-Einstein. Nous utiliserons la notation |pi ∝ a†

p|0i pour

représenter l'état créé par l'action de notre opérateur de création sur l'état du vide. Si nous regardons l'eet du champ φ(x) sur l'état fondamental

φ(x)|0i = Z _d3_p (2π)3 1 2Ep e−ip·x|pi, (1.16) nous constatons que notre champ crée une superposition d'états de quantité de mouvement bien dénis. L'interprétation choisie ici est que φ(x) agissant sur l'état fondamental crée une particule à la position x. En utilisant la représentation de Heisenberg, il nous est possible d'aller plus loin et de relier φ(x) à φ(0)

Si nous regardons la quantité h0|φ(y)φ(x)|0i, nous pouvons interpréter cela comme la création d'une particule en x et l'annihilation de cette même particule en y. Ceci correspond donc à la propagation d'une particule de x vers y. Cette quantité, appelée propagateur, a la forme

D(x − y) = h0|φ(y)φ(x)|0i = Z _d3_p (2π)3 1 2Ep e−ip·(x−y). (1.18) Cette expression comporte certains problèmes relatifs à la causalité des deux évènements. En eet, nous n'avons rien précisé sur la coordonnée temporelle de x et y. Si x0_{> y}0_{la particule serait détruite}

avant d'être créée, ce qui cause des problèmes. Pour remédier à cela, nous utiliserons l'opérateur d'arrangement temporel T

DF(x − y) = h0|T φ(x)φ(y)|0i =

(

D(x − y)si x0_{> y}0

D(y − x)si x0< y0 . (1.19) Il nous est donc possible de bien dénir la propagation d'un boson libre. La méthodologie utilisée dans cette section pour obtenir une base de la théorie quantique des champs peut être utilisée pour caractériser les fermions relativistes. Toutefois, dans le cadre de ce mémoire, nous nous limiterons aux champs scalaires. Ainsi, seulement le traitement bosonique sera nécessaire.

Le traitement canonique fait dans cette section nous permet de donner un sens à la théorie quan-tique des champs. Ce formalisme n'est pas le seul possible et d'autres sont plus praquan-tiques, comme le formalisme de l'intégrale de chemin.

1.2 Intégrale de chemin

Dans les sections précédentes, nous avons concentré nos eorts sur la quantication canonique. Cette méthode nous permet d'exprimer les états du système qui réside dans un espace vectoriel. Il existe une autre méthode qui nous sera plus utile par la suite. Cette méthode, proposée par Feynman [48], nous permet d'exprimer la propagation d'une particule comme la somme pondérée de tous les chemins possibles, soit l'intégrale de chemin. Cette interprétation est conforme avec le principe de moindre action puisque, comme nous allons le voir, les chemins les plus probables seront ceux qui minimisent l'action.

Débutons notre analyse en considérant l'Hamiltonien indépendant du temps pour une particule ponc-tuelle

H = pˆ

2

2m+ V (ˆx), [ˆx, ˆp], (1.20) où V (ˆx) est un potentiel quelconque et nous utilisons le hat pour diérentier nos opérateurs des quantités physiques. L'opérateur d'évolution temporelle

U (t) = eiHt, (1.21) nous permet de passer d'un temps ti à un temps ti+ t. Les éléments matriciels de cet opérateur dans

la base des positions pour un temps innitésimal δt correspondent à

hx|U (δt)|x0i ≈ r m 2πiδtexp  iδt 1 2m (x − x0)2 δt2 − V (x 0₎_{, (1.22)}

où nous avons considéré seulement les termes d'ordre δt et inséré une relation de complétude en p pour obtenir des quantités physiques. Nous pouvons remarquer que le terme dans notre exponentielle

correspond à l'action innitésimale

hx|U (δt)|x0i ≈ r

m

2πiδtexp {iS(x

0_{, x; δt)} . (1.23)}

Si nous voulons considérer l'évolution pour un temps t, il nous est possible de séparer notre propagation complète comme N petites propagations de t/N

hxf|U (t)|xii =  mN 2πit N/2Z N −1 Y j=1 dxjhxf|U ( t N)|xN −1ihxN −1|U ( t N)|xN −2i . . . hx1|U ( t N)|xii. (1.24) En utilisant l'expression du cas innitésimal1.23, nous constatons que dans la limite où N tend vers l'inni hxf|U (t)|xii = lim N →∞  mN 2πit N/2Z N −1 Y j=1 dxjexp iS[x]. (1.25)

Pour simplier la notation, nous utilisons la mesure de l'intégrale fonctionnelle

[dx] = lim N →∞ N −1 Y j=1  mN 2πit 1/2 dxj, (1.26) hxf|U (t)|xii = Z (xf,t) (xi,0) [dx] exp iS[x]. (1.27) Le passage d'une particule ponctuelle vers un champ se fait de la même façon en considérant une séparation des coordonnées spatiales et temporelles et en intégrant sur chacun des champs sur le parcours

hφ(xf, tf)|φ(xi, ti)i =

Z

[dφ(x, t)] exp iS[φ]. (1.28) Cette dénition possède de nombreux avantages par rapport à la quantication canonique. En eet, si le champ considéré est invariant sur les transformations de Lorentz, l'intégrale de chemin va reéter cette invariance, et ce de façon directe. Cette invariance sera aussi exprimée dans les fonctions de corrélation puisque celles-ci peuvent être exprimées en termes d'une intégrale de chemin.

1.3 Fonction de corrélation

Les fonctions de corrélation sont des outils de la théorie quantique des champs permettant, entre autres, de calculer l'amplitude de diusion entre diérents états de particules libres. Ces fonctions permettent donc de quantier la probabilité qu'un phénomène se produise. Les champs présents dans la fonction de corrélation seront appelés des champs externes. De plus, le nombre de champs dans la fonction de corrélation sera référé par le nombre de points dans l'espace où ces champs existent. La fonction de corrélation à n points est donc dénie comme

hφ(x1)φ(x2) . . . φ(xn)i = h0|T (φ(x1)φ(x2) . . . φ(xn))|0i, (1.29)

avec T l'opérateur d'ordre temporel introduit à l'équation1.19. Dans le cas présent cet opérateur agit comme

T (x(t1)x(t2) . . . x(tn)) = x(t1)x(t2) . . . x(tn)si t1> t2> · · · > tn. (1.30)

L'ordre temporel permet d'assurer que les fonctions de corrélation convergent pour la valeur moyenne du vide.

Il est possible d'utiliser le formalisme d'intégrale de chemin mentionné à la section précédente pour réécrire nos fonctions de corrélation comme

hφ(x1)φ(x2) . . . φ(xn)i = lim →0

R [dφ]φ(x1)φ(x2) . . . φ(xn) exp(iS[φ(x)])

R [dφ] exp(iS[φ(x)])

, (1.31) avec S l'action obtenue en remplaçant les dépendances temporelles t par t(1 − i) avec l'intégrale

temporelle ayant les bornes t = ±∞. Cette dénition peut être simpliée en saturant la prescription en . Pour ce faire, nous dénissons les fonctions de corrélation sur un temps imaginaire t = −iτ (τ ∈ R). Ceci équivaut à réaliser une rotation de Wick, ce qui envoie notre métrique de Minkowski vers une métrique euclidienne. Nos fonctions de corrélation ont alors la forme

hφ(x1)φ(x2) . . . φ(xn)i =

R [dφ]φ(x1)φ(x2) . . . φ(xn) exp(−SE[φ(x)])

R [dφ] exp(−SE[φ(x)])

. (1.32)

Pour simplier la notation, nous allons nous limiter à l'étude des fonctions de corrélation de type euclidienne et ainsi laisser tomber les indices E. De plus nous remplacerons τ par t lorsqu'il n'y pas matière à confusion.

Les fonctions de corrélation peuvent être construites à partir d'une fonction génératrice appelée Z[j]

Z[j] = Z [dφ] exp  −S[φ(x)] − Z dxj(x)φ(x)  . (1.33)

Il est alors possible d'obtenir toutes fonctions de corrélation par l'action successive de dérivées sur cette fonction génératrice

hφ(x1)φ(x2) . . . φ(xn)i = Z[0]−1 δ δj(x1) δ δj(x2) . . . δ δj(xn) Z[j]    _j=0 . (1.34)

Dans la relation précédente nous utilisons la dérivée fonctionnelle δZ[j]

δj(xi) qui dénote la variation de la

fonction Z[j] par rapport à une variation de la fonction j(xi). Cette notation sera importante dans la

suite de ce chapitre et du suivant.

Comme la fonction génératrice évaluée à j = 0 est un scalaire équivalent au facteur de renormalisation de la dénition originale, nous le dénissons comme Z = Z[0]. Il est alors possible de réécrire notre fonction de corrélation sous une forme qui nous sera utile pour la suite soit

hφ(x1)φ(x2) . . . φ(xn)i =

1 Z

Z

[dφ]φ(x1)φ(x2) . . . φ(xn) exp(−S[φ(x)]). (1.35)

Comme nous venons de le voir, l'action est une quantité très importante dans le calcul des fonctions de corrélation. Cette action possède des comportements intéressants sous certaines transformations. Dans la section suivante, nous regarderons comment certaines de ces transformations s'avèrent être des symétries de nos théories.

1.4 Symétrie en théorie quantique des champs

Cette section se veut être un survol de l'importance des transformations de symétrie dans le cadre de la physique des hautes énergies. Les outils développés ici nous permettront de dénir la théorie

conforme des champs dans le prochain chapitre. Considérons d'abord une transformation de coordon-nées quelconques

x → x0

Φ(x) → Φ0(x0). (1.36) Dans une telle transformation, la nouvelle coordonnée aura une certaine dépendance sur le système de coordonnées original, de même pour le nouveau champ qui dépendra du champ original. Nous pouvons représenter cela comme Φ0_(x0_{) = F (Φ(x)), où F représente la transformation. Si nous considérons une}

telle transformation sur l'action de notre système S nous constatons que

S0= Z ddxL(Φ0(x), ∂µΦ0(x)) = Z ddx     ∂x0 ∂x     L  F (φ(x)), ∂x ν ∂x0µ∂νF (Φ(x))  . (1.37)

Dans le cas où la nouvelle action est la même que l'action originale S0 _{= S, nous dirons que la}

transformation est de symétrie. Les transformations de symétries continues sont fondamentales puisque, grâce au théorème de Noether, nous savons qu'il y aura une charge conservée associée. Considérons donc ces transformations continues an d'obtenir ce résultat fort utile. Soit une transformation continue innitésimale x0µ= xµ+ ωa δxµ δωa , (1.38) Φ0(x0) = Φ(x) + ωa δF δωa (x). (1.39)

Nous pouvons dénir le générateur Ga de notre transformation comme la diérence entre le champ

transformé et le champ original

δωΦ(x) = Φ0(x) − Φ(x) = −iωaGaΦ(x). (1.40)

En utilisant la dénition des transformations, nous obtenons

iGaΦ = δxµ δωa ∂µΦ − δF δωa . (1.41)

Cette dénition nous permettra d'obtenir les diérents générateurs des transformations conformes dans le prochain chapitre. Considérons maintenant comment une transformation continue aectera l'action de notre système. Pour ce faire, nous calculons la matrice Jacobienne de notre transformation innitésimale ∂x0ν ∂xµ = δ ν µ+ ∂µ  ωa δxν δωa  . (1.42)

Notre action transformée est donnée par

S0= Z ddx  1 + ∂µ  ωa δxµ δωa  L  Φ + ωa δF δωa ,  δν_µ− δµ  ωa  δxν δωa   δνΦ + δν  ωa  δF δωa  . (1.43) La variation entre notre action transformée et l'originale δS = S0_{− S est}

δS = − Z dx  _∂L ∂(∂µΦ) δνΦ − δµνL  δxν ωa − ∂L ∂(∂µΦ) δF ωa  ∂µωa. (1.44)

Nous dénissons le courant associé à notre transformation comme j_aµ=  _∂L ∂(∂µΦ) δνΦ − δνµL  δxν ωa − ∂L ∂(∂µΦ) δF ωa . (1.45)

Si nous intégrons δS par partie

δS = Z

ddx∂µjaµωa. (1.46)

Nous pouvons alors utiliser le théorème de Noether qui nous permet de dire que l'action est stationnaire pour une variation des champs si les champs obéissent aux équations du mouvement 1.4. Ainsi notre variation de l'action doit s'annuler pour toutes transformations de symétrie. Ceci nous laisse donc avec la loi de conservation des courants

∂µjaµ= 0. (1.47)

À chaque courant conservé, il est possible de déterminer la charge associée en intégrant la composante temporelle du courant

Qa=

Z

dd−1xj_a0. (1.48) Le courant que nous venons de dénir en1.45n'est pas le seul choix qui respecte la loi de conservation. En eet, il est toujours possible d'ajouter la divergence d'un tenseur antisymétrique Bµν

a j_aµ→ jµ a + ∂νBaµν, B µν a = −B νµ a . (1.49)

L'antisymétrie du tenseur ajouté assure que la relation de conservation1.47sera toujours valide. Nous allons maintenant considérer une transformation de symétrie et en tirer un courant conservé qui sera essentiel pour diérentier les théories conformes des champs par rapport aux autres théories quantiques des champs. Pour ce faire, considérons une translation innitésimale

x0µ→ xµ_{+ }µ_{. (1.50)}

Les variations associées à cette transformation sont données par δxµ δν = δ µ ν, δΦ δν = 0. (1.51)

En utilisant l'équation 1.45, nous trouvons le tenseur d'énergie-impulsion canonique Tµν c

T_cµν = −ηµνL + ∂L ∂(∂µΦ)

∂νΦ. (1.52)

La charge associée est le quadrivecteur d'impulsion Pν

Pν = Z

dd−1xT_c0ν. (1.53) Ce tenseur, quoique très utile, n'est pas symétrique sur ses indices. Nous venons de voir qu'il est possible d'ajouter la divergence d'un tenseur antisymétrique à notre courant. Nous cherchons donc à déterminer ce tenseur tel que

T_Bµν = T_cµν+ ∂ρBρµν, T µν B = T

νµ

B . (1.54)

Pour ce faire, nous considérons une transformation de Lorentz innitésimale

Les variations associées à cette transformation sont données par δxρ δωµν =1 2(η ρµ_xν_{− η}ρν_xµ_), δF δωµν = −1 2iS µν_{Φ. (1.56)}

Nous sommes alors en mesure d'obtenir un courant conservé de la forme jµνρ= Tcµνx ρ − Tcµρx ν + i ∂L ∂(∂µΦ) SνρΦ. (1.57) Pour que notre tenseur d'énergie-impulsion soit symétrique, nous devons avoir Bρµν _{de telle sorte que}

ce courant ait la forme

jµνρ= T_Bµνxρ− T_Bµρxν. (1.58) Pour trouver un Bρµν _{qui permet cette solution, nous devons procéder par inspection pour obtenir}

Bρµν = i 2  _∂L ∂(∂µΦ) SνρΦ + ∂L ∂(∂ρΦ) SµνΦ + ∂L ∂(∂νΦ) SµρΦ  . (1.59) Avec la dénition de l'équation1.59, notre tenseur d'énergie impulsion déni à l'équation1.54est bel et bien symétrique. Ceci n'est toutefois pas la seule modication du tenseur d'énergie-impulsion possible. En eet, nous verrons à la section 2.2 comment notre tenseur d'énergie-impulsion peut être modié pour être sans trace sous certaines conditions. Ceci assurera que les théories considérées sont bel et bien invariantes sous le groupe conforme. Avant d'arriver à cela, il est nécessaire de bien comprendre les diérentes transformations conformes, ce que nous ferons au prochain chapitre.

Chapitre 2

Théorie conforme des champs

Les théories conformes des champs s'inscrivent comme des cas spéciaux de la théorie quantique des champs discutée précédemment. En eet, ces systèmes possèdent des invariances supplémentaires sous l'action du groupe conforme. Une caractéristique supplémentaire de ces théories est qu'elles corres-pondent à des points xes du groupe de renormalisation. Toutes ces caractéristiques les rendent in-téressantes d'un point de vue purement théorique puisqu'elles semblent, à priori, être plus simples à analyser.

D'un point de vue physique, ces théories représentent des modèles de physique statistique aux points critiques. Il est, en eet, possible de déterminer les exposants critiques de ces modèles. Cela fait de ces théories des candidats intéressants pour caractériser les transitions de phase de deuxième ordre. De plus, il est possible de caractériser les théories quantiques des champs à l'aide des théories conformes des champs. En eet, puisque l'état du vide est invariant conforme, il est possible de débuter avec ce modèle et de faire une série de déformations pour obtenir la théorie quantique des champs souhaitée. Pour bien comprendre tous ces points, il est pertinent de bien comprendre les fondements de la théorie et ainsi avoir connaissance des dicultés de celle-ci. Ce chapitre couvrira d'abord les bases théoriques de la théorie conforme des champs en dimension générale. Nous serons aussi en mesure de mettre des conditions sur les courants conservés pour assurer l'invariance conforme. Nous verrons aussi comment les fonctions de corrélation sont aectées par le groupe conforme. Nous étudierons en suite le cas de d = 2dimensions qui possède certaines subtilités dues à la nature innie du groupe conforme dans cette dimension. La caractérisation de cette dimension nous donnera les outils nécessaires pour comprendre certains modèles de physique statistique fort intéressants comme le modèle d'Ising qui sera utilisé dans les chapitres suivants.

2.1 Invariance conforme en théorie quantique des champs

Une théorie quantique des champs est dite invariante sous le groupe conforme si l'action, l'intégrale de la densité lagrangienne sur l'espace-temps, reste inchangée sous une transformation associée à ce groupe. Considérons d'abord les transformations conformes pour ensuite obtenir les conditions pour que cette armation soit valide.

mé-trique gµν invariante sauf pour un facteur d'échelle

gµν0 (x0) = Λ(x)gµν(x). (2.1)

Nous cherchons d'abord à comprendre les diérentes implications de cette condition. Considérons une transformation de la forme xµ _{→ x}0µ _{= x}µ_{+ }µ_{(x). Sous cette transformation, notre métrique sera}

modiée pour

gµν→ gµν− (∂µν+ ∂νµ). (2.2)

Pour que cette transformation respecte notre condition2.1, il faut exiger que le deuxième terme respecte la relation

∂µν+ ∂νµ= f (x)gµν, (2.3)

avec f(x) donnée par

f (x) = 2 d∂ρ

ρ_{. (2.4)}

En suivant la dérivation présentée par Di Francesco-Mathieu-Sénéchal [40], il nous est possible d'obtenir la relation

(d − 1)∂2f = 0. (2.5) Cette relation limite la forme possible des transformations conformes dans le cas d ≥ 3, soit

µ= aµ+ bµνxν+ cµνρxνxρ. (2.6)

Dans cette relation, le paramètre aµ est libre de contraintes et est associé à une translation

innité-simale. Les autres termes sont contraints par les équations obtenues précédemment. Considérons que notre métrique correspond à un espace plat avec gµν(x) = ηµν. Nous pouvons alors considérer une

métrique euclidienne ou de Minkowski

ηµν =

(

diag(1, 1, . . . , 1) Euclidienne

diag(1, −1, . . . , −1) Minkowski. (2.7) Le traitement fait ici n'est pas modié si nous choisissons l'une ou l'autre des métriques sauf pour leurs formes explicites.

Si nous revenons à la condition2.6et que nous nous limitons d'abord au terme linéaire, nous pouvons obtenir à l'aide de2.3 bµν+ bνµ= 2 db λ ληµν. (2.8)

Cette relation sera respectée dans le cas où bµν sera la somme d'une partie antisymétrique et d'une

partie de trace pure. Soit

bµν = αηµν+ mµν, mµν = −mνµ. (2.9)

La partie antisymétrique sera associé à une transformation de Lorentz innitésimale. Quant au terme de trace, il sera associé à une dilatation innitésimale. Dans le cas du dernier paramètre cµνρ, il nous

est possible d'obtenir une forme respectant nos conditions en appliquant une dérivée sur notre équation

2.3

2∂µ∂νρ= ηµρ∂νf + ηνρ∂µf − ηµν∂ρf. (2.10)

Nous utilisons alors la dénition de f(x) et la forme quadratique de µ. Ceci nous donne la condition

cµνρ= ηµρkν+ ηµνkρ− ηνρkµ, kµ ≡

1 dc

σ

La transformation innitésimale associée sera

x0µ= xµ+ 2(x · k)xµ− kµ_x2_{. (2.12)}

Cette transformation porte le nom de transformation spéciale conforme. En rassemblant ces transfor-mations innitésimales, il nous est possible de former l'ensemble des transfortransfor-mations conformes. Cet ensemble forme un groupe ni en d > 2 et possède le groupe de Poincaré comme sous-groupe (cas Λ(x) = 1). Nous nommerons le groupe des transformations conformes en d dimensions Gd. Comme

nous venons de le voir, ces transformations peuvent être séparées en quatre catégories : 1) Dilatations x0µ= αxµ (2.13) 2) Translations x0µ= xµ+ aµ (2.14) 3) Transformations de Lorentz x0µ= Mµ_νxν (2.15) 4) Transformations spéciales conformes

x0µ= x

µ_{− k}µ_x2

1 − 2k · x + k2_x2 (2.16)

Il serait utile de connaitre les générateurs associés au groupe conforme. Pour ce faire, considérons notre dénition établie au chapitre 1 à l'équation1.41. À partir de cette dénition et des transformations conformes, nous déterminons les générateurs du groupe conforme en supposant a priori que les champs ne sont pas aectés par les transformations (F(Φ) = Φ). L'action du groupe sur les champs sera obtenue plus loin. Ainsi, l'ensemble des générateurs du groupe conforme est donné par

D = −ixµ∂µ, (2.17)

Pµ= −i∂µ, (2.18)

Lµν = i(xµ∂ν− xν∂µ), (2.19)

Kµ= −i(2xµxν∂ν− x2∂µ), (2.20)

où D correspond au générateur d'une dilatation, Pµau générateur d'une translation, Lµνau générateur

de Lorentz et Kµ au générateur des transformations spéciales conformes. À partir de cet ensemble de

générateurs, il est possible d'obtenir l'algèbre de notre groupe. L'ensemble des relations de commutation non nulles est donné par

[D, Pµ] = iPµ, [D, Kµ] = −iKµ, [Kµ, Pν] = 2i(ηµνD − Lµν), [Kρ, Lµν] = i(ηρµKν− ηρνKµ), [Pρ, Lµν] = i(ηρµPν− ηρνPµ), [Lµν, Lρσ] = i(ηνρLµσ+ ηµσLνρ− ηµρLνσ− ηνσLµρ). (2.21)

Il est possible de rassembler ces relations de commutation en une dénition plus simple qui montre de façon explicite l'homomorphisme Gd∼ SO(d + 1, 1). Pour ce faire, nous dénissons les générateurs

suivants Jµ,ν = Lµν, J−1,µ= 1 2(Pµ− Kµ), J−1,0= D, J0,µ= 1 2(Pµ+ Kµ). (2.22)

Ces nouveaux générateurs respectent la relation de commutation de SO(d + 1, 1),

[Jab, Jcd] = i(ηadJbc+ ηbcJad− ηacJbd− ηbdJac) (2.23)

avec a, b, c, d ∈ {−1, 0, 1, ..., d} et ηab = diag(−1, 1, 1, ..., 1)1. Cette représentation dans l'espace

eu-clidienne présente plusieurs avantages et mène à l'espace de plongement qui peut être fort utile pour solutionner bon nombre de problèmes. Toutefois, nous ne nous attarderons pas sur le sujet et cet espace est mentionné qu'à titre informatif. G. Mack et A. Salam [7] en font une étude et S. Weinberg [49] présente une approche intuitive de cet espace.

Pour bien caractériser nos générateurs, il est essentiel d'ajouter la contribution liée à la présence du champ dans l'équation1.41. Pour ce faire, nous dénissons une représentation matricielle Sµν comme

l'action d'une transformation de Lorentz innitésimale sur le champ Φ(0)

LµνΦ(0) = SµνΦ(0). (2.24)

Selon cette dénition, Sµν est l'opérateur de spin associé à Φ. Nous pouvons dénir de façon semblable

˜

∆ et κµ associé à l'action du générateur de dilatation et du générateur des transformations spéciales

conformes respectivement

DΦ(0) = ˜∆Φ(0), (2.25) KµΦ(0) = κµΦ(0). (2.26)

Ces représentations matricielles doivent respecter les règles de commutation de notre groupe, ce qui nous donne l'algèbre réduite

[ ˜∆, κµ] = −iκµ, [κρ, Sµν] = i(ηρµκν− ηρνκµ), [Sµν, Sρσ] = i(ηνρSµσ+ ηµσSνρ− ηµρSνσ− ηνσSµρ), [ ˜∆, Sµν] = 0, [κν, κµ] = 0. (2.27)

Il est ensuite possible de déplacer notre champ à l'aide de l'opérateur de translation. En eet, pour tout élément X de l'algèbre conforme, nous avons

XΦ(x) = exp(−iPµxµ)X0Φ(0), (2.28)

avec

X0 = exp(iPµxµ)X exp(−iPµxµ). (2.29)

1. Ceci n'est pas la seule dénition possible. En eet, il est possible d'obtenir la structure SO(d, 2) par la même construction en utilisant la métrique de Minkowski ηAB =diag(−1, 1, 1, ..., −1). Cette forme aura son utilité dans les

chapitres suivants. Dans ce cas, nous utiliserons les générateurs MAB avec A, B ∈ {0, 1, ..., d + 1}. Les deux relations

Le terme 2.29peut être calculé facilement en utilisant la formule de Hausdor e−ABeA= B + [B, A] + 1

2![[B, A], A] + 1

3![[[B, A], A], A] + . . . (2.30) Dans notre cas, cette relation est nie ce qui simplie grandement les calculs [50]. Il est alors possible d'écrire l'action des générateurs sur nos champs en utilisant les relations 2.21et 2.27

PµΦ(x) = i∂µΦ(x),

MµνΦ(x) = i(xµ∂ν− xν∂µ)Φ(x) + SµνΦ(x),

DΦ(x) = (−ixν∂ν+ ˜∆)Φ(x),

KµΦ(x) = (κµ+ 2xµ∆ − x˜ νSµν− 2ixµxν∂ν+ ix2∂µ)Φ(x).

(2.31)

La transformation spéciale conforme a la particularité de dénir les champs quasi-primaires de notre théorie. Si l'action de Kµ sur notre champ s'annule à x = 0, notre champ sera dit quasi-primaire soit

[Kµ, Φ(0)] = 0. (2.32)

Il est possible d'agir sur des champs primaires par Pµ pour créer des champs dit secondaires ou

descendants. Il est possible de classier tous nos opérateurs locaux par leurs champs quasi-primaires associés. Ce concept sera nécessaire lors de notre étude du développement en produit d'opérateurs au chapitre3.

Si nous revenons à l'eet qu'a notre invariance conforme, il est possible d'obtenir des contraintes sur les solutions possibles de notre théorie. Considérons une fonction F (xi) de n points xi qui serait

invariante sous l'action du groupe conforme. Puisque nous avons l'invariance sous translation et sous rotation, cette fonction pourra dépendre que des distances entre les points xij = |xi− xj|. De plus,

l'invariance sous dilatation impose que F pourra ne dépendre que des rapports entre les distances xij/xkl. Finalement, sous l'action d'une transformation spéciale conforme, ces distances deviennent

x0ij =

xij

(1 − 2k · xi+ b2x2i)1/2(1 − 2k · xj+ b2x2j)1/2

. (2.33)

Cette relation ne peut pas être satisfaite pour moins de quatre points : une fonction invariante conforme à deux ou trois points sera simplement une constante. Dans le cas de n ≥ 4, il est possible de construire n(n − 3)/2 rapports anharmoniques qui respectent cette condition. Dans le cas n = 4, nous avons les deux possibilités u = x12x34 x13x24 , v =x23x14 x13x24 . (2.34)

Ainsi, une théorie qui serait invariante conforme aurait des solutions qui seraient contraintes de res-pecter les diérentes conditions qui viennent d'être énumérées. Nous n'avons pas encore discuter des conditions pour qu'une théorie quantique des champs soit invariante conforme. Pour ce faire, il sera utile d'étudier les courants conservés dans une théorie quantique et ainsi déterminer des conditions sur le tenseur d'énergie-impulsion qui assure l'invariance conforme.

2.2 Courant conservé en théorie conforme des champs

Le tenseur d'énergie-impulsion a une importance particulière pour les théories conformes des champs. Pour bien cerner les implications associées à ce tenseur, il est nécessaire de considérer le courant de dilatation et le courant conforme de notre théorie. Considérons une théorie quantique des champs

qui possède une symétrie sur le groupe de Poincaré (invariance sur translation et transformation de Lorentz). Nous cherchons à voir sous quelle condition notre théorie possèdera l'invariance sous dilatation et sous transformation conforme. Rappelons nous qu'une transformation conforme peut être écrite sous la forme x0µ_{= x}µ_{+ }µ_{(x) avec la condition2.3. Le courant de dilatation a été donné par}

Wess [6]

Dµ_{(x) = x}ν_T µ ν + V

µ_{(x), (2.35)}

où Tµν est le tenseur énergie-impulsion canonique donné par la relation1.52et Vµ(x)est un opérateur

local qui possède une dépendance en x seulement dans les champs. Si ce courant respecte la relation de conservation 1.47, notre théorie sera invariante sous dilatation. Cette relation de conservation a la forme

∂µDµ(x) = Tµµ+ ∂µVµ(x) = 0. (2.36)

Ainsi, pour que notre système soit invariant sur dilatation, le tenseur d'énergie-impulsion doit avoir une trace de la forme

T_µµ= −∂µVµ(x). (2.37)

Polchinski a démontré que cette condition n'impose pas assez de contraintes pour obtenir l'invariance conforme [9]. Pour constater cela nous devons utiliser le courant conforme donné par,

Kµ(x) = 

ν_(x)T µ

ν (x) + ∂ · (x)V0µ(x) + ∂ν∂ · (x)Lνµ(x), (2.38)

où V0_{(x)est pareil à V (x) sauf pour la possibilité d'avoir l'ajout d'un courant conservé. L}νµ_correspond

à un opérateur local. De plus, nous avons la restriction ∂ ·  est linéaire en x. Pour que ce courant soit conservé, il doit respecter la condition de conservation. Dans le cas d ≥ 3, les conditions deviennent

T_µµ= −∂µV0µ(x), (2.39)

V0µ= −∂νLνµ. (2.40)

En d = 2 nous aurons les mêmes conditions avec Lνµ_{(x) = η}µν_{L(x). Si nous combinons les conditions}

2.39et2.40nous obtenons

d ≥ 3 T_µµ = ∂ν∂µLνµ(x), (2.41)

d = 2 T_µµ= ∂2L(x). (2.42) Ces conditions peuvent être combinées avec le fait qu'il existe une innité de tenseurs d'énergie-impulsion correspondant au même Hamiltonien comme il a été vu à la section 1.4. En eet, si deux tenseurs d'énergie-impulsion existent pour le même système, il est possible de les relier l'un à l'autre par

T0µν= Tµν+ ∂σ∂ρYµσνρ, (2.43)

avec Yµσνρ un opérateur local antisymétrique sur µ ↔ σ et ν ↔ ρ et symétrique sur µσ ↔ νρ. Ainsi,

si nous respectons la condition pour la conservation du courant conforme, il est possible d'écrire un nouveau tenseur d'énergie-impulsion Θµν, soit en d ≥ 3

Θµν = Tµν(x) + 1 d − 2∂µ∂αL α ν(x) + ∂ν∂αLαµ(x) − ∂2Lµν(x) − gµν∂α∂βLαβ(x)  + 1 (d − 2)(d − 1)gµν∂ 2_L α α (x) − ∂µ∂νLαα(x) , (2.44)

et pour d = 2

Θµν = Tµν(x) +

1

d − 1∂µ∂νL(x) + gµν∂

2_{L(x) . (2.45)}

Ce nouveau tenseur respecte toutes les conditions énumérées plus haut. Par contre, ce tenseur à la particularité d'être sans trace

Θ_µµ(x) = 0. (2.46) Ainsi la présence de l'invariance conforme dans notre théorie est équivalente à l'existence d'un tenseur d'énergie-impulsion sans trace, s'il y a invariance sous dilatation. Par contre, le fait que notre système soit invariant sur dilatation n'impose pas l'invariance conforme. En eet, la trace du tenseur d'énergie-impulsion pourrait être la divergence d'un opérateur local Vµ _{qui ne serait pas lui-même un courant}

conservé plus une divergence comme la condition2.40impose.

Cet argument a permis a Polchinski [9] d'expliquer les conditions permettant l'augmentation de l'in-variance d'échelle vers l'inl'in-variance conforme observée dans les systèmes critiques en physique statis-tique [5].

Maintenant que nous avons une meilleure connaissance des théories conformes des champs, il serait intéressant de voir comment ces symétries se reètent dans des objets mesurables. Pour ce faire, nous allons reprendre notre discussion des fonctions de corrélation et les étudier du point de vue de la théorie conforme des champs.

2.3 Fonction de corrélation en théorie conforme des champs

Comme il a été vu à la section1.3, les fonctions de corrélation sont des outils de la théorie quantique des champs qui permettent de mesurer la probabilité qu'un phénomène se produise. Dans cette section, nous tenterons de comprendre l'eet de l'invariance conforme sur ces fonctions. De façon générale, nous savons que les fonctions de corrélation sont données par l'équation 1.35 que nous réécrivons ici par souci de clarté hΦ1(x1) . . . Φn(xn)i = 1 Z Z [dΦ]Φ1(x1) . . . Φn(xn) exp(−S[Φ]). (2.47)

Pour une transformation générale de la forme x → x0 _{avec Φ}0_{(x) = F (Φ(x)), nous avons la relation}

hΦ1(x01) . . . Φn(x0n)i = hF (Φ1(x1)) . . . F (Φn(xn))i. (2.48)

Si nous regardons les fonctions de corrélation à deux points pour des champs sans spin, la relation précédente devient hΦ1(x1)Φ2(x2)i =     ∂x0 ∂x     −∆1/d x=x1     ∂x0 ∂x     −∆2/d x=x2 hΦ1(x01)Φ2(x02)i. (2.49)

Cette relation nous permet de restreindre les formes possibles des fonctions de corrélation en imposant l'invariance sous le groupe conforme. En eet, si nous regardons une dilatation x → λx

hΦ1(x1)Φ2(x2)i = λ∆1+∆2hΦ1(λx1)Φ2(λx2)i. (2.50)

L'invariance sous rotation et translation impose la forme

En combinant ces deux conditions nous trouvons hΦ1(x1)Φ2(x2)i =

C12

|x1− x2|∆1+∆2

. (2.52)

Dans cette équation C12 est une constante qui dépend du système étudié. Cette forme peut être

restreinte encore plus si nous considérons une transformation spéciale conforme. Pour ce type de transformation nous avons 

   ∂x0 ∂x     = 1 (1 − 2k · x + k2_x2₎d. (2.53)

La forme2.52implique que sous cette transformation nous avons C12 |x1− x2|∆1+∆2 = C12(γ1γ2) (∆1+∆2)/2 γ∆1 1 γ ∆2 2 |x1− x2|∆1+∆2 , (2.54)

avec γi= (1 − 2k · xi+ k2x2i). Cette condition est satisfaite seulement si ∆1= ∆2. Ainsi, il est possible

d'armer que la forme exacte pour une fonction de corrélation à deux points sera hΦ1(x1)Φ2(x2)i =

C12

|x1− x2|2∆1

δ∆1,∆2 (2.55)

avec une constante C12 à déterminer. Un même développement peut être fait pour caractériser les

fonctions de corrélation à trois points, hΦ1(x1)Φ2(x2)Φ3(x3)i = C123 x∆1+∆2−∆3 12 x ∆2+∆3−∆1 23 x ∆1+∆3−∆2 13 , (2.56) avec C123 une constante à déterminer qui correspond au coecient du développement en produit

d'opérateurs. Ce développement sera considéré en détail au chapitre 3. Pour l'instant nous pouvons considérer cette constante comme un paramètre à déterminer qui dépend des champs externes consi-dérés. Dans le cas des fonctions à quatre points, une forme dénitive n'est pas connue, mais une série de restrictions nous permet de limiter celle-ci à

hΦ1(x1)Φ2(x2)Φ3(x3)Φ4(x4)i = G  x12x34 x13x24 ,x12x34 x23x14  4 Y i<j x∆/3−∆i−∆j ij , ∆ = 4 X i=1 ∆i, (2.57)

avec xij = |xi− xj| et G une fonction arbitraire qui dépend seulement des rapports anharmoniques

que nous avons vus plus tôt.

Avant de s'aventurer en détails dans le développement en produit d'opérateurs qui donne des restric-tions supplémentaires sur les foncrestric-tions de corrélation, il est bien de considérer le cas d = 2. Celui-ci possède des outils supplémentaires qui permettent des simplications importantes qui aecteront les fonctions de corrélation et leurs développements en produit d'opérateurs.

2.4 Invariance conforme en deux dimensions

En deux dimensions, l'invariance conforme acquiert certaines particularités qui ne sont pas présentes dans des systèmes de plus grande dimension. Comme nous avons pu le constater dans les sections précédentes, certains comportements sont diérents en deux dimensions et nécessitent une attention particulière. Pour bien décrire le groupe conforme dans cette dimension, il est nécessaire d'utiliser un système de coordonnées plus ecace soit

z = x0+ ix1, z = x¯ 0− ix1_,

où z est la coordonnée holomorphique et ¯z celle antiholomorphique. De façon générale, ces coordonnées seront considérées comme des variables indépendantes et donc z ne sera pas le conjugué complexe de z. Dans ce système de coordonnées, il nous sera habituellement possible de séparer les composantes holomorphiques de celles antiholomorphiques et de les traiter séparément. Le groupe conforme en deux dimensions G2pourra donc être décrit de façon séparée entre ces deux composantes. Dans l'espace C,

le groupe conforme correspond à l'ensemble des applications de C ou d'une partie de C sur lui-même. Avec notre choix de coordonnées, il est clair que G sera le produit direct

G2= Γ ⊗ Γ (2.59)

où Γ (Γ) est l'ensemble des applications analytiques sur la variable z (z). Une transformation innité-simale du groupe Γ aura la forme

z → z + (z). (2.60) Cette transformation holomorphique innitésimale admet une série de Laurent autour du point z = 0 donnée par (z) = ∞ X n=−∞ nzn+1. (2.61)

Il est alors possible de lier l'algèbre de Lie associée au groupe Γ à l'algèbre des opérateurs diérentiels

ln= zn+1

d

dz, n = 0, ±1, ±2, . . . , (2.62) avec la relation de commutation

[ln, lm] = (n − m)ln+m. (2.63)

De la même façon, les générateurs ln forment l'algèbre de Γ et satisfont la même relation de

com-mutation. Les générateurs l−1, l0, l1 forment la sous-algèbre sl(2, C) qui correspond au sous-groupe

SL(2, C) ⊂ Γ. Ces générateurs et leurs équivalents antiholomorphiques correspondent aux transforma-tions globales du groupe conforme, soit les transformatransforma-tions de la forme

z → f (z) = az + b

cz + d, ad − bc = 1. (2.64) L'analyse réalisée dans les sections précédentes considérait uniquement des transformations globales. Ainsi, tout le développement fait auparavant s'applique parfaitement à ce sous-groupe. Toutefois, ce ne sont pas les seules transformations possibles en deux dimensions qui respectent les conditions pour être des transformations conformes. Les transformations supplémentaires qui sont des transformations locales sont d'une importance particulière. Nous nous devons donc de prendre en compte l'entièreté du groupe G2. Ce faisant le groupe conforme en deux dimensions n'est pas ni comme pour d ≥ 3.

Pour regarder comment une transformation conforme en deux dimensions agit sur un champ, nous devons considérer les dimensions conformes holomorphiques (antiholomorphiques) h (¯h) dénies pour un facteur d'échelle ∆ et un spin J comme

h = 1

2(∆ + J ), ¯ h = 1

2(∆ − J ). (2.65) Pour une transformation conforme z → w(z) ¯h → ¯w(¯z)

φ0(w, ¯w) → dw dz −h_{ d ¯w} d¯z −¯h φ(z, ¯z). (2.66)

Un champ transformant de la sorte pour l'ensemble des transformations conformes globales sera appelé quasi-primaire. Si, en plus, cette relation est vraie pour toutes les transformations locales, nous lui donnerons le nom de champ primaire. Un champ qui ne respecte pas la relation 2.66sera générale-ment appelé un champ secondaire ou descendant. Un exemple de champs quasi-primaire qui n'est pas primaire serait le tenseur énergie-impulsion sur lequel nous allons nous attarder plus en détails. De plus, il est possible d'exprimer un champ secondaire comme un opérateur diérentiel agissant sur notre champ primaire.

Puisque le tenseur d'énergie impulsion est un courant conservé, il doit respecter la relation de continuité ∂aTab= 0. (2.67)

De plus, comme nous l'avons vu à la section 2.2, en théorie conforme des champs, il doit exister un tenseur d'énergie-impulsion de trace nulle, Ta

a = 0. Ces deux conditions impliquent qu'en deux

di-mensions le tenseur d'énergie-impulsion a seulement deux composantes indépendantes choisies comme T (x) = T11− T22+ 2iT12,

T (x) = T11− T22− 2iT12.

(2.68)

Ces composantes respectent les équations de Cauchy-Riemann ∂zT (x) = 0,

∂zT (x) = 0.

(2.69)

Ceci nous indique donc que chacune des composantes dépendent seulement d'une des deux variables holomorphiques. Nous prenons comme dénition

T = T (z), T = T (z). (2.70) Il est alors possible de réaliser la série de Laurent autour de z = 0 (z = 0) pour obtenir

T (z) = ∞ X n=−∞ Ln zn+2, T (z) = ∞ X n=−∞ Ln zn+2. (2.71) Cette relation peut être inversée en utilisant

Ln= 1 2πi I dzzn+1T (z), Ln = 1 2πi I dzzn+1T (z). (2.72)

Les opérateurs Ln satisfont la relation de commutation

[Ln, Lm] = (n − m)Ln+m+

c 12(n

3_{− n)δ}

n+m,0, (2.73)

avec c qui correspond à la charge centrale. La même relation est obtenue pour les opérateurs antiholo-morphiques. De plus, les opérateurs Lncommuteront toujours avec un opérateur Lm. Ces relations de

commutation correspondent à l'algèbre de Virasoro. Dans le cadre de la théorie conforme des champs, elles permettent d'agir sur les états faisant partie de l'espace d'Hilbert de notre théorie. En eet, il est possible d'exprimer un champ conforme en deux dimensions comme

φ(z) = X m∈Z z−m−hφm, (2.74) φm= 1 2πi I dzzm+h−1φ(z). (2.75)