De r´ecents travaux proposent des solutions d’´equations confluentes de Heun. Les liens entre ces ´equations et nos ´equations biconfluentes r´eduites sont cependant assez difficiles
`a effectuer. Notre premi`ere approche a ´et´e d’utiliser les travaux de Cheb-Terrab [13] [14]
et [31]. L’id´ee ´etant d’utiliser les repr´esentations des ´equations de Heun confluentes ob-tenues par Cheb-Terrab puis d’appliquer un processus de confluence pour repr´esenter les solutions (IV.4.112). Les travaux de Cheb-Terrab ne traitent pas de l’´equation confluente qui nous int´eresse.
Une piste serait sans doute d’appliquer les proc´ed´es de Cheb-Terrab directement `a l’´equation (IV.4.112).
Les transformations consid´er´ees par Maier [29] pourraient aussi ˆetre utiles.
Conclusion et Perspectives
Lors de simulations num´eriques en acoustique et en ´electromagn´etisme, le coˆut ´elev´e des m´ethodes int´egrales pour certains calculs (hautes fr´equences) a n´ecessit´e le d´eveloppement des m´ethodes asymptotiques associ´ees aux m´ethodes de rayons. Ces m´ethodes reposent sur l’utilisation de d´eveloppements de la solution en puissances du nombre d’onde k.
Le point de vue g´eom´etrique de ces m´ethodes est aussi bien d´ecrit par le principe de Fermat que par l’utilisation de l’´equation eikonale donn´ee par l’introduction d’un d´eveloppement asymptotique de la solution dans les ´equations de propagation (´equation d’Helmholtz en acoustique, ´equations de Maxwell en ´electromagn´etisme).
L’´equation de transport associ´ee `a l’´equation eikonale nous donne les moyens de r´esoudre la propagation en espace libre. Les ph´enom`enes de r´eflexion et de transmission sont correc-tement d´ecrits par les relations de passage `a une interface. Ces relations sont donn´ees par la r´esolution locale des ´equations de propagation. Ces ph´enom`enes viennent compl´eter la premi`ere approximation des d´eveloppements asymptotiques, l’Optique G´eom´etrique.
Dans le cadre de calculs sur des objets diffractants de forme simple ou bien de calculs `a tr`es hautes fr´equences, l’Optique G´eom´etrique est souvent suffisante pour d´ecrire les ph´enom`enes en pr´esence.
Les simulations num´eriques en acoustique (respectivement en ´electromagn´etisme) ont sou-vent pour but de connaˆıtre la pression (respectivement le champ ´electromagn´etique) en un point donn´e. Pour effectuer ces calculs, l’utilisation d’une M´ethode de Courants permet d’´eviter les probl`emes de caustiques. L’association de l’Optique G´eom´etrique et d’uneM´ethode de Courantsnous am`ene l’Optique Physique. Nous avons propos´e une m´ethode robuste pour le calcul de l’int´egrale de rayonnement (M´ethode de Lud-wig) utilisable dans le cadre d’une m´ethode de rayons permettant de diminuer de fa¸con cons´equente le nombre de rayons lanc´es et donc le coˆut des calculs.
Nous avons ici donn´e l’exemple de cas pour lesquels l’Optique Physiqueest tr`es satisfai-sante. Les r´esultats obtenus pour les calculs de multi-r´eflexion et de transmission sont tr`es proches des r´esultats trouv´es par une m´ethode int´egrale 3D et nous ont aussi permis de valider une approche couche mince permettant de repr´esenter un mat´eriau multi-couches par une seule couche de mat´eriau affect´e d’une imp´edance particuli`ere.
Certaines r´egions ne sont pas correctement d´ecrites par l’Optique G´eom´etrique. Le comportement de la solution dans ces r´egions est alors ´etudi´e par une M´ethode de couche limite. L’utilisation de cette m´ethode n´ecessite le passage `a un syst`eme de coor-donn´ees li´e au ph´enom`ene de diffraction ´etudi´e. Pour l’´etude de la zone de Fock comme pour l’´etude de rampants, le syst`eme de coordonn´ees est li´e `a la surface. Ces syst`emes sont les syst`emes de coordonn´ees semi-g´eod´esique et g´eod´esique. Ensuite, nous postu-lons un Ansatz sous forme de d´eveloppement asymptotique que nous ins´erons dans les
´equations de propagation adapt´ees au nouveau syst`eme de coordonn´ees. L’ordonnance-ment des ´equations r´esultantes suivant les puissances de k permet de d´eterminer, par r´esolution des ´equations de plus grand ordre, les premiers ordres du d´eveloppement de la solution. Apr`es avoir d´etermin´e les formes de solutions dans ces r´egions particuli`eres, il reste `a les relier entre elles par utilisation de passage `a la limite, de m´ethode de r´esidus et de m´ethode de phase stationnaire.
Dans le cadre de cette th`ese nous appliquons cette M´ethode de couche limite aux
ph´enom`enes de diffraction sur la surface : la zone de Fock (autour de la fronti`ere ombre-lumi`ere), la zone d’ombre profonde sur la surface. L’´etude de ces r´egions fait apparaˆıtre l’´equation d’Airy. Nous avons expliqu´e la m´ethodologie utilis´ee afin d’obtenir les formu-lations dans ces domaines particuliers ainsi que les proc´ed´es qui permettent de les relier.
Les simulations num´eriques obtenues sur la sph`ere sont tr`es proches des r´esultats obtenus par la m´ethode int´egrale. De nombreux cas d’utilisation de m´ethode de couche limite sont disponibles dans la litt´erature, notamment dans les ouvrages de Bouche, Molinet et Andronov.
Certains cas, comme celui des corps allong´es, n´ecessitent une attention plus particuli`ere.
Afin de d´ecrire correctement le comportement de la solution la prise en compte de cer-taines caract´eristiques g´eom´etriques est n´ecessaire. L’´etude de la prise en compte du rayon de courbure transverse `a la g´eod´esique am`ene une nouvelle ´equation : l’´equation bicon-fluente r´eduite de Heun. Ne connaissant pas actuellement de solution analytique `a cette ´equation, nous avons utilis´e un d´eveloppement limit´e afin de caract´eriser la solution sur la surface dans la zone de Fock. La solution d’onde rampante n´ecessite, quant `a elle, d’obtenir une solution de l’´equation de Heun.
La r´esolution num´erique del’´equation biconfluente r´eduite de Heunest coˆuteuse et augmente les approximations effectu´ees par l’approche asymptotique. La r´esolution ana-lytique de l’´equation biconfluente r´eduite de Heun est l’un des principaux axes de travail sur les corps allong´es. Les r´ecents travaux de Cheb-Terrab sur les ´equations de Heun peuvent ˆetre un bon point de d´epart pour cette recherche de solutions. Nous avons effectu´e l’´etude des ph´enom`enes de diffraction sur la surface ; l’´etude de la diffraction de rampants dans la zone d’ombre profonde loin de la surface permettrait une meilleure compr´ehension des ph´enom`enes sur les corps allong´es. Enfin, les applications num´eriques sur des g´eom´etries `a trois dimensions am`eneraient une certaine validation des travaux effectu´es sur les corps allong´es.
Dans le cadre de calculs sur des objets grands devant la longueur d’onde contenant cer-taines parties tr`es difficiles `a traiter avec les m´ethodes asymptotiques, on peut envisager une hybridation avec des m´ethodes plus basses fr´equences telles que les m´ethodes de moments ou les m´ethodes multipˆoles. Les processus d’hybridation mis en oeuvre aux in-terfaces sont alors complexes. Afin que ce genre de calcul ne devienne pas trop coˆuteux, il peut ˆetre int´eressant de d´evelopper une approche multipolaire des sources.
Cinqui` eme partie
Annexe
Table des Mati` eres
1 G´eom´etrie Diff´erentielle . . . 130 1.1 Calcul de la matrice m´etrique (g) . . . 130 1.2 Calcul du coefficient de divergence de g´eod´esiques . . . 132 1.3 Calcul de la Torsion . . . 134 2 D´eveloppement de Luneberg-Kline . . . 135 2.1 Helmholtz . . . 135 2.2 Maxwell . . . 136 2.3 R´esolution de l’´equation eikonale de la phase . . . 137 3 Calcul du coefficient d’amplitude des rampants . . . 138 3.1 Corps non allong´es . . . 139 3.2 Corps ’mod´er´ement’ allong´es . . . 140 4 Fonctions sp´eciales . . . 141 4.1 Fonctions d’Airy . . . 141 4.2 Calcul des fonctions de Fock . . . 143 5 Approximation de l’´equation de Heun . . . 145 5.1 Helmholtz . . . 145 6 Modes de Propagation des Rampants . . . 148 6.1 Corps ”classiques”(fonction d’Airy) . . . 148 6.2 Corps allong´es . . . 150