La sph`ere est le premier cas de validation 3D des formulations de Fock et de rampants.
Pour valider les r´esultats th´eoriques, nous prenons une sph`ere de 100 mm de rayon.
Acoustique
Le cas acoustique est effectu´e en m´ethode asymptotique et compar´e aux r´esultats d’une m´ethode int´egrale 3D `a une fr´equence de 10kHz.
Les r´esultats obtenus sont alors les suivants :
M´ethode Int´egrale M´ethode Asymptotique Fig. 59 – Potentiel de double couche de la sph`ere acoustique parfaitement r´efl´echissante `a 10kHz
Pour une meilleure visibilit´e, le r´esultat de la m´ethode asymptotique a ´et´e projet´e sur une sph`ere maill´ee de la mˆeme fa¸con que celle utilis´ee pour le calcul en m´ethode int´egrale.
Les petites inperfections visibles sur la sph`ere en m´ethode asymptotique sont dues `a la projection et n’ont donc aucune influence sur le calcul de rayonnement.
On compare les potentiels double couche `a la surface de la sph`ere ( fig. 60).
−100
−80
−60
−40
−20 0
20 40
60 80
−2100
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
Fig. 60 – Comparaison des potentiels de double couche
On remarque que les deux r´esultats sont tr`es proches. Seule la zone proche du pˆole de la sph`ere oppos´e `a la source connaˆıt quelques diff´erences. N’ayant pas fait d´epasser le pˆole aux rayons rampants lanc´es lors du calcul, on peut affecter ce manque d’amplitude au fait que les rampants pris en compte ne soient pas all´es assez loin. En effet, lorsque les ondes rampantes passent le pˆole oppos´e `a l’incidence, ils passent une caustique (ph´enom`ene
´etudi´e par Bouche, Molinet). Le passage de cette caustique induisant un d´ephasage de l’onde rampante, des interf´erences destructrices peuvent apparaˆıtre.
Electromagn´etique
Pour ce cas de validation nous faisons varier l’imp´edance Z et la fr´equence de calcul.
site
Source
Observateur
Fig. 61 – Cas de calcul sur une sph`ere
On peut comparer le module des courants −→J sur la surface de la sph`ere PEC aux fr´equences de 1 GHz et 10GHz ( fig. 62).
Fig. 62 – Module des courants ´electriques pour la sph`ere PEC
On remarque que suivant la fr´equence de calcul, la r´epartition de l’´energie est diff´erente. A 10GHz l’amplitude des courants de la zone d’ombre est moindre qu’`a 1GHz. Cette ob-servation appuie le fait que l’optique physique tend `a ˆetre exacte `a tr`es hautes fr´equences.
A 10GHz, on compare les composantes selon −→x et−→y des courants −→
J `a la surface de la sph`ere ( fig. 63).
−100
−50 0
50 100
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
J
X−100
−50 0
50
−2100
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
x
J
YFig. 63 – Comparaison des composantes des courants ´electriques
On remarque que, comme en acoustique, les r´esultats sont tr`es proches. Seule la zone proche du pˆole de la sph`ere oppos´e `a la source connaˆıt quelques diff´erences pour la com-posante suivant −→y et une explosion au pˆole due au passage de la caustique.
On compare ensuite les r´esultats de la m´ethode asymptotique avec ceux d’une m´ethode int´egrale. Nous comparons les r´esultats en polarisationHHetV V (polarisation ´electrique horizontale et verticale) ( fig. 64).
0 50 100 150
−30
−25
−20
−15
−10
−5 0 5 10 15
Azimuth (°)
SER (dB)
0 50 100 150
−30
−25
−20
−15
−10
−5 0 5 10 15
Azimuth (° )
SER (dB)
Fig. 64 – Comparaison de la SER entre la m´ethode asymptotique et une m´ethode int´egrale 3D sur la sph`ere PEC
La comparaison des r´esultats nous montre un tr`es bon accord entre la m´ethode asympto-tique et la m´ethode int´egrale 3D.
On compare de mˆeme les r´esultats pour une sph`ere recouverte d’un mat´eriau d’imp´edance Z = 0.1 ( fig. 65).
Les r´esultats sont encore tr`es proches ce qui valide les formulations donn´ees pr´ec´edemment dans le cas de la sph`ere recouverte.
0 50 100 150
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5 0 5 10 15
Aimuth (°)
SER (dB)
0 50 100 150
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5 0 5 10 15
Azimuth (°)
SER (dB)
Fig. 65 – Comparaison de la SER entre la m´ethode asymptotique et une m´ethode int´egrale 3D sur la sph`ere Z = 0.1
On compare aussi les r´esultats obtenus pour le cas Z = 1 ( fig. 66).
Ce cas correspond `a un mat´eriau parfaitement absorbant.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
−100
−80
−60
−40
−20 0 20
Azimuth (°)
SER (dB)
Fig. 66 – Comparaison de la SER entre la m´ethode asymptotique et une m´ethode int´egrale 3D sur la sph`ere Z = 1
Cette comparaison nous apporte des r´esultats tr`es proches sauf lorsque l’observateur est proche de l’´emetteur. Pour de tels angles, le champ rayonn´e devrait quasiment ˆetre nul.
La SER devrait donc ˆetre ´egale `a −∞ pour un angle de 0. La m´ethode asymptotique trouve une SER proche de −90dB . Ce cas est tr`es int´eressant car il nous renseigne aussi sur la pr´ecision des ´evaluations num´eriques des formulations. −90dB est un niveau tr`es faible que l’on peut assimiler `a un niveau nul lors de simulations.
Quatri` eme partie
Formulations sur corps allong´ es
Table des Mati` eres
1 Corps ’Mod´er´ement’ allong´es . . . 95 1.1 Domaine de Fock . . . 95 1.2 Ondes rampantes . . . 96 1.3 Repr´esentation des formulations de rampants pour un corps ’mod´er´ement’
allong´e . . . 97 2 Corps ’Fortement’ allong´es . . . 99 2.1 Domaine de Fock . . . 99 2.2 Ondes rampantes . . . 108 2.3 Raccordement des solutions . . . 114 2.4 Modes de propagation des rampants . . . 116 3 Validation des formulations . . . 118 4 Equation Biconfluente R´eduite de Heun . . . 122´ 4.1 Classification des singularit´es des EDO . . . 123 4.2 Sur la repr´esentation des solutions de (IV.4.112) . . . 125
Afin d’´etudier le ph´enom`ene de diffraction sur les corps allong´es, nous allons suivre la mˆeme d´emarche que dans le cas de corps ’classiques’ ( cf. part III).
Nous appliquons en premier cette m´ethodologie aux corps ’mod´er´ement’ allong´es puis aux corps ’fortement’ allong´es.
1 Corps ’Mod´ er´ ement’ allong´ es
Nous parlons de corps ’Mod´er´ement’ allong´es lorsque nous avons la condition : k13 << 1
ρt
<< k23 (IV.1.1) sur le rayon de courbure transverse de la g´eod´esique.
Nous allons d’abord ´etudier les ph´enom`enes dans la zone de Fock pour ensuite travailler dans la zone d’ombre et enfin effectuer les raccordements n´ecessaires `a la compatibilit´e des formulations.