POUR UN SUPRACONDUCTEUR A DEUX BANDES

Comme premier essai, nous allons calculer Rc 2 en négligeant les diffusions intrabandes. Physiquement cette situation n'est pas trés réaliste, mais à cause de la complexité des calculs il vaut mieux commencer par investiguer une situa-tion suffisament simple.

Ceci précisé, noua reprenons l'équation du gap 25) avec les mêmes opérateurs S~j donnés sous 26). Les valeurs propres slj ne sont plus obtenues dans la limite H

=

o, mais dans la limite sale, c'est-à-dire

35) (:l.sd} 2

» hô/3 et (Àds> 2» h/3 2

avec h "' 2eP.(vfdl

et ^{ô ~} 2

(2T!Tcd} 2 (vfs/vfd)

Dans cette approximation sij prend la forme ^Ill

Ill 1 hôft2

5ss j2n+ljH

5d/t 3(j2n+l +>.

5d/t) 3 36)

Ill 1 hft2

5dd l2n+ll+>.ds/t 3 ( l2n+l +Àd

9/t) 3

Pour calculer les valeurs propres cr~j' nous écrivons les relations 24) sous la forme :

w :l.sd ₁

Des prob~èmes d'approximation surgissent lorsque l'on veut

é ^Cl)

la contribution relative du terme entre crochets sera impor-tante pour les faibles valeurs de n. On remplace ainsi cette

Cette approximation nous permet donc d'exprimer les quantités non diagonales dans l'équation du gap 25), à l'aide des fonctions digamma :

40)

Pour calculer o:s' nous écrivons à partir de 24)

41) 1

). hy). ( )2 2

l2n+t1²+ ~l2n+ll+ ^ds + 1 h/t

t 3t2_À t 3(J2n+li+À /tl2

sd ds

où le dernier terme du dénominateur varie entre les deux va-leurs extrêmes suivant >.d

9/t

il 0 si l2n+ll >> ).ds/t 42)

De manière consistante avec le calcul de o~d' nous prenons l'approximation 11), on obtient ainsi pour cr~

8

43) l2n+ll + Àd₅/ t ow ~ ---~~--~~

ss l2n+ll + (À /tl l2n+ll + h1_

0 3t2

et en utilisant les propriétés des fonctions digamma, on trouve

Le calcul pour o~d est identique et nous-obtenons une équation pour le champ critique en introduisant une nouvelle unité réduite pour le champ :

45)

46)

{L~

^{(tc/tl - g}5}

{Ln (1/t) - gd}

= P./>.

0)

2F2

avec 9

5 (>.

5d/À

0}f(>.

0/tl + (>.d

5

^/À

0

^)f(~/t)

9d (>.d

8/À 0} f (>.

0/ t ) + (À 9d/),

0) f (fÎ/tl F f(>.

0/t) - f(~/t)

et les unités réduites sont définies par

47)

t = T/Tcd

4.6. DISCUSSION DES PREDICTIONS POUR Hc2

1. Le premier test important que l'on peut effectuer sur l'équation 46) est de prendre deux bandes identiques, c'est-à-dire, de poser

Intuitivement, nous nous attendons à ce que cette ~quation

donne une prédiction pour Hc2 identique à celle de WHR. En manipulant al9ébriquement l'équation 46) et en tenant compte de 48), on obtient z

49) {tn(l/t)- fP

où P(t) est la fonction d'A.G.

Ainsi pour .\

0 >> 1 et quelque soit le rapport Àsd/Àds qui

détermine tc' nous obtenons h(o)/tc • P(o). Ceci évidem-ment ne d'mont~e pas que h(t) est proportionnel • p(~).

Mais ce résultat obtenu pour .\

0 » 1 est également valable pour pre_sque toutes les valeurs de X

9d et .\ds. Le tableau ci-dessous résume quelques calculs caractéristiques de h{o) obtenus à l'aide de l'équation 46), tandis que tc est déter-miné avec 30).

1

1 tes 1 "'sd 1 Àds 1 tc 1 h(O) 1 h(O)/tc 1

l _ _ _ l _ _ _ l ___ l _ _ _ l _ _ _ l _ _ _ l

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 0.281 1 0.281 1

1 1 1 1 1 1

o.s

1 1 1 0.744 1 0.209 1 0.281 1

1 1 1 1 1 1

o.s

1 1 9 1 0.542 1 0.152 1 0.281 1

1 1 1 1 1 1

0.5 1 9 1 1 0.943 1 0.265 1 0.281 1

1 1 1 1 1 1

0.1 1 1 ⁹ 1 ^0.143 1 ^0.040 1 ^0.281 1

1 1 1 1 1 1

o.s

1 0.2 ' 0.2 1 0.797 1 0.236 1 0.296 1

_ _ _ l _ _ _ l __ . _l _ _ _ l _ _ _ l _ _ _ 1

En utilisant les paramètres de la dernière ligne du tableau, h ( t) diffère fortement de P ( t 1, ce qu'indique le rapport h(o)/t • Mais pour ces paramètres, les hypothèses de la

(:

limite sale ne sont plus satisfaites.

Pour montrer que h(t) diffère très peu de ~(t), nous reprenons 1 'équation 46) mais en défini~>sant de nouvelles unités réduites par rapport à Tc.

53)

46) peut alors s'écrire sous la forme : 54) {Ln(l/t)+Ln(tcstcd)-f(l.

0/tl} {Ln(l/tl-f(h/t)}

À À

+Ln (tcs\:d)-

{À

dsLn (tes)+ À sd.Ln (tcd 1}

{f

^(>.₀^/tl

-f

^(h/t}}

=

⁰

0 0

De la même manière, nous pouvons écrire une équation pour Tc en tenant compte de 53)

55) L (t t ) _{ ^Àds Ln(t ) +---À ^>.d 5 ^}

Ln(tcd) f(À0) = 0 n cs cd - À

0 cs

0

Ainsi, en combinant 54) et 55), nous obtenons que h(t) • P(t) à condition que l'on puisse faire l'approximation

i) pour t =tc= 1 cette approximation est exacte i 1 ) pour t " 1 ( t < 1 1 , nous avons h < < À

0 d 'où 1 'ap-proximation 56) est encore valable.

Ainsi près de tc, h(t)

=

^p {t). Nous savons que h(o)

=

^p (o) d'où l'on peut conclure que les déviations de la courbe uni-verselle d'A.G. seront très faibles.

4.7. OEUXIEMB CALCUL DE Rc 2 AVEC DEUX BANOtS

Nous avo.na vu au paragraphe précédent qua la dépendance en température du . champ critique prédite par 1 'équation 46) était identique à celle de NBf:l dans la limite sale. Ceci n'était pas évident à priori à cause de la structure compli-quée de l'équation 46). Mais en analysant d'un peu plus près cette équation, nous constatons que les termes de Rpair breaking• liés au champ n'influencent pas de manière distincte chacune des bandes. tl semble donc que les appro-ximations effectuées lors de ce calcul, conduisent à moyen-ner les propriétés électroniques des deux bandes (ce qui apparatt dans le paramètre y défini par: la relation 39))

et ainsi, à calculer le champ critique d'un supraconducteur avec une seule bande à la surface de Fermi. ^La structure compliquée de 4 6) est alors uniquement la conséquence de l'équation déterminant Tc. Ceci est clairement mis en évidence dans la discussion précédente où en introduisant explicitement Tc, nous obtenons une dépendance en tempéra-ture de Hc2 donnée par la fonction universelle d'Abrikosov Gorkov. Ce résultat est donc certainement lié à la perte d'identité de chacune dea bandes, ceci étant une conséquence de nos approximations J9bis) et 42ii).

Pour tenir compte de ces remarques, nous reprenons le calcul de Hc2 mais en utilisant les approximations 39ter) et 42i).

Nous obtenons ainsi :

Ll 1 2n!11

-À + Àdsf

~

Àds

_h_~

ow _SB (

~

~f{~ _À ^{/t )}

0 Ào Àsd 3Àot

57) ^{(1) 0}

L:J ^{l2n!11 - a~d f ..}

.J!!!f (). _~ ^~ /tl ^{• .\sdffsd}

^_h_f

0 Ào Àds 3.\ot

w ⁰

On obtient alors pour le champ critique, l'équation suivante

58) JLn(t₀₈/t) - q₆(À₀,h₈

)l

lLn(l/t) - qà(À₀,hd)l= (À/Ào)2F2(>,o,h)

où 9s• gd et F sont définis en 46) mais avec les champs réduits suivants

59) h

Discussions

Comme au paragraphe 4. 6 nous dés irons, d~ns la li mi te de deux bandes identiques, obtenir la dépendance universelle d'A.G. pour h(t). Malheureusement dans ce cas, nous avons h8 = hd

= 2n

et ainsi, il n'est plus possible d'obtenir A.G.

Néanmoins, un calcul numérique montre que l'écart est très faible (inférieur à 3•). Nous pensons que ce désaccord provient du fait que 1' on a négligé les diffus ions intra-bandes. Dans notre premier cal cul, nous avons supposé que

Àsd et Àds >> 1 ce qui permettait de calculer Hc 2 en

utili-sant l'approximation •c:Jirty limit• pour obtenir les valeurs propres sij

Dans le deuxième calcul de H

02, l'approximation "limite sale" n'est plus vérifiée si l'on ne considère que les dif-fusions interbandes.

Pour l'instant, i l est tmpossible de savoir exactement où et comment vont s'introduire les diffusions intrabandes, et dans cette situation, nous sommes obligés d'oublier les calculs et de raisonner sur la physique.

En regardant 1 'équation 58), nous constatons que la par:tie gauche de l'égalité contient les grandeurs caractéristiques des bandes s et d. En introduisant les paramètres de diffusions .X

9s et >.dd (diffusions intrabandes), nous désirons conserver les propriétés de chaque bande. Ceci peut se faire en posant

Àds M Àsd 3 Àss h s

60)

hd

Ainsi, mis à part les facteurs '-ds/ Àsd et À8d/ À cls' nous voyons que les champs réduits h

8 et hd sont les mêmes que ceux définis dans la théorie de WHH pour une bande.

Le terme de couplage F(>.

0, h) provenant des termes non diago-naux dans l'équation du gap, doit rester symétrique par rap-port à la bande s et d. Pour satisfaire cette condition, nous posons

61)

Ainsi, l'équation 58) où les champs réduits sont définis par 60) et 61) permet d'obtenir la courbe universelle d' A.G.

dana la limite de deux bandes identiques. De plus, l'équation que l'on dérive est tout-à-fait similaire à celle qui a été obtenue par Entel et Peter53> dans leurs calculs de Hel pour une surface de Fermi anisotrope.

Il n'est, dès lora, pas étonnant que les calculs numer1ques réalisés avec l'équation 58) en utilisant les champs réduits donnés par 59) conduisent aux mêmes dépendances en tempéra-tures pour Hel que celles obtenues par Entel. Les résultats de nos calculs sont indiqués sur les fig. 4.2 et 4.3. Pour pouvoir comparer la forme de la courbe pour différents rap-ports des vitesses de Fermi ( 6 ), nous avons normé les champs réduits de façon à ce que dh(t)/dt • -1 pour

t • Tc/Tcd• Les courbes tracées avec 6 x 1 (nous avons posé À sd

=

Àds • 1) donnent pratiquement la dépendance universelle de A.G.

Nous constatons sur ces deux graphiques que Hc2(T) présente toujours une courbure négative moins forte que la fonction universelle d' A.G. et pour certaines valeurs de 6 .• nous pouvons également observer une courbure positive sur un intervalle de température assez large. Physiquement les résultats que nous obtenons sont plus réalistes que le simple modèle consistant à prédire des comportements de Rc2(T) de ce type en supposant qu'en dessous d'une certai-ne température, le champ critique de la bande s excède celui de la bande d. Il est généralement admis que Nd > N₆:

Tcd > Tes; pd ^> p₈ et VFs > VFd et ainsi, i l est difficile de comprendre que H₉ soit supérieur à Hd.

En utilisant les développements asymptotiques de la fonction digamma, nous avons évalué le champ réduit h(o), donné par 58), en fonction de tes et 6 • Nous avons obtenu que h(o) est une fonction croissante de tes et décroissante de 6 , ce qui semble physiquement parfaitement correct.

4.8. CONCLUSION

Ce calcul de champ critique pour un modèle à deux bandes réalisé avec la technique développée par Helfand nous donne les résultats suivants :

...

1 N N ,1

0

ô =(}!fi)2 VFd Q) 6 = 10

I::T/lc4

Fi9.4.2 Champ rêduit h en fonction de

0

ô=

(.J..fi. )

²

. VFo

Q) 5 = 1 b} 6 = .2 c) 6 = .1 d} 6" .os

1 = T 1 Ta~

Fis.4.3 Champ réduit h en fonction de

l) Dans 1¹ hypoth?!se de fortes diffus ions interban-des, le résultat que nous obtenons est le même que celui prédit par WHH dans la limite sale.

Cela signifie que l'effet des diffusions est de moyenner les caractéristiques intrinsèques de ehacunes des bandes et ainsi, les prévisions d'un calcul à une bande restent valables.

2) Dans l'hypothèse de faibles diffusions interban-des, notre calcul n'est pas suffisamment rigou-reux pour donner un résultat définitif. Néan-moins, les déviations des prédictions de WHR que nous calculons, sont qualitativement en bon accord avec les résultats obtenus par Entel et Peter.

CHAPITRE V

L'augmentation spectaculaire de Hc

2 lors des substitutions sur le motif Mo₆se₉ dans le composé binaire pose la ques-tion de savoir si ce comportement peut se généraliser à toutes les phases de Chevre!. Parmi toua les composés, noua avons choisi d'investiguer PbMo

6s

adoptée pour déterminer Hc

2• ou certaines couches minces).

5.2. SUBSTITUTIONS DANS PbMo6s₉

Dans le document Quelques aspects des champs critiques dans les phases de Chevrel (Page 66-79)