Fonctions et suites num´eriques r´eelles
2.2 Suites num´ eriques r´ eelles
Apr`es quelques g´en´eralit´es sur les suites, on ´etudie la notion de suite convergente. Comme exemple de suites convergentes, on ´etudie les suites monotones, adjacentes. On pr´esente ensuite les suites tendant vers l’infini, cas particulier des suites divergentes non born´ees. Enfin, on ´etudiera les suites r´ecurrentes lin´eaires et on pr´esentera des m´ethodes succinte pour les r´esoudre.
D´efinition. Une suite r´eelle, ou tout simplement suite, est une fonction N→ R qui `a n∈ N associe un∈ R. On note une telle suite par (un)n∈N ou tout simplement (un).
Le terme un est dit terme g´en´eral.
Intuitivement, une suite est une collection finie ou infinie de nombres r´eels, donn´es dans un certain Ordre. Elle peut ˆetre d´efinie explicitement par une formule ou implicitement par r´ecurrence. D’autre part, on peut la repr´esenter graphiquement :
n un O u0 u1 u2 1 Cf f (x) = x 2 x + 1+ 1 2
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Exemple 2.2.1 Consid´erons la suite (un) graphe d’une suite un = f(n)dont le terme g´en´eral est d´efini par un =
f (n) o`u la fonction f est d´efinie par f (x) = x2
x + 1 + 1 :
①
On trace la courbe de f sur [0, +∞[;②
On place u0 sur l’axe des ordonn´ees;③
On place u1 = f (1) image de 1 par f ;④
On place u2 = f (2) image de 2 par f ;⑤
On r´eit`ere la m´ethode de construction pour placer les autres termes sur l’axe des ordonn´ees.◆
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Exemple 2.2.2 un = 1 n et un = n sin 1 npour n ≥ 1. La suite de terme g´en´eral un = (−1)n est une suite dont tous les termes d’indice paire sont ´egaux `a 1 et les termes
d’indice impair sont tous ´egaux `a −1.
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Exemple 2.2.3 Elle est d´efinie par la r´ecurrence suivanteSuites arithm´etiques
un+1 = un+ r
o`u r ∈ R est la raison de la suite. Par r´ecurrence, on montre que
un= u0 + nr.
En effet, on a u1 = u0+ r, u2 = u1+ r,· · · , un = un−1+ r. En ajoutant, ces expressions
et en ´eliminant les termes ´egaux des deux membres, on obtient le terme g´en´erale un en
fonction du terme initial u0 et r. D’autre part, on d´efinie la suite {sn}n∈N des suites
partielles dont le terme g´en´eral est d´efini par sn = u0+ u1+· · · + un. Calculons en les
premiers termes :
s0 = u0
s2 = u0+ u1+ u2 = 3u0+ 2r
Quant au terme g´en´eral, il s’´ecrit
sn= u0+ u1+· · · + un= (n + 1)u0+ (1 + 2 +· · · + n)
Par r´ecurrence, on montre que
1 + 2 + · · · + n = n(n + 1) 2 . D’o`u sn = (n + 1)u0 + r n(n + 1) 2 .
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Exemple 2.2.4 Elle est d´efinie parSuites g´eom´etriques
un+1 = qun
o`u q∈ R est la raison de la suite. Mais, u1 = qu0, u2 = qu1, · · · , un = qun−1. Puisque les
termes de la suite sont non nuls, on peut mulitplier ces expressions terme `a terme et en divisant, on obtient l’expression de un en fonction de q, u0 et n :
un = qnu0.
Pour la somme sn, calculons en les premiers termes : s0 = u0, s1 = u0 + u1 = u0(1 + q)
et par r´ecurrence, on obtient
sn = u0(1 + q + q2 + · · · + qn) = u0.1 − q n+1
1 − q .
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Suites r´ecurrentes : On peut, aussi d´efinir une suite par une relation de r´ecurrence.Suites r´ecurrentes
En fait, on donne les premiers termes de la suite et on exprime le terme g´en´eral un en
fonction des termes qui le pr´ec`edent. Soient f une application de R dans R et a ∈ R, la suite un sera d´efinie par r´ecurrence sous la forme un+1 = f (un). On peut ´egalement
la d´efinir, en se donnant les deux termes initiaux u0 et u1 et la relation de r´ecurrence
un+1 = g(un, un−1) pour tout n ∈ N o`u g est, dans ce cas, une application de R × R
dans R.
Ainsi, les suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 2) sont d´efinies par
un+1 = aun+ bun−1, a, b ∈ R
avec u0 et u1 donn´es. Par analogie avec les ´equations diff´erentielles et par unicit´e de
la solution, on cherche celle-ci sous forme de suite g´eom´etrique. On se ram`ene ainsi `a r´esoudre une ´equation de second degr´e dans R ou dans C. Une application classique est fournie par la suite de Fibonacci.
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Exemple 2.2.5 un+2= un+1+ un, avec u0 = 0 et u1 = 1. On obtient Suite de Fibonacci un= √ 5 5 " 1 +√5 2 !n − 1− √ 5 2 !n# .◆
Le nombre Φ = 1 + √ 52 est ditnombre d’or.
u0 u1 u2 u1 u2 u3 n un 0 −2• Cf Cf f (x) =√x + 2
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Exemple 2.2.6 Soit la suitegraphe d’une suite un+1= f(un)
(un) de premier terme u0 = 1, 5
et d´efinie pour tout n∈ N∗par :
un+1 =√un+ 1. On peut ´ecrire
un+1 = f (un) o`u la fonction f
est donn´ee par f (x) = √x + 2. On proc`ede de la mani`ere suivante :
①
On trace la courbe Cf repr´esentative de f sur [−2, +∞[ et la droite Df d’´equationy = x;
②
On place u0 sur l’axe des abscisses;③
On place u1 = f (u0) image de u0 par f ;⑤
On r´eit`ere la m´ethode de construction pour placer les autres termes sur l’axe des ordonn´ees.◆
D´efinition. Soit (un) une suite r´eelle. On dit que (un) est
• Croissante (resp. strictement croissante) si un+1 ≥ un (resp. un+1 > un).
• D´ecroissante (resp. strictement d´ecroissante) si un+1≤ un (resp. un+1 < un).
• Monotone si elle est croissante ou d´ecroissante.
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D´emarche pratique : Pour d´eterminer le sens de variation d’une suite (un), on Sens de variations d’une suiteproc`ede suivant les cas de la mani`ere suivante :
◆ D´eterminer le signe de un+1− un.
◆ Si les termes de la suite sont strictement poistifs, on compare la quantit´e un+1
un
et 1.
◆ Si la suite est arithm´etique, le sens de variation est d´etermin´e par le signe de la
raison r = un+1− un.
◆ Si la suite est g´eom´etrique, le sens de variation est d´etermin´e par la comparison de q = un+1/un est 1.
◆ Si la suite est d´efinie par un = f (n), le sens de variation de la suite est d´etermin´e
par celui de la fonction f sur l’intervalle [0, +∞[.
◆ Si la suite est d´efinie par un+1 = f (un), le sens de variation de la suite est d´etermin´e
par celui de la fonction f sur l’intervalle [0, +∞[ tout en utilisant une r´ecurrence.
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Exemple 2.2.7 Comme la fonction f d´efinie par f (x) = x2+ x + 1 est croissante sur[0; +∞[, la suite (un) de terme g´en´eral un= n2 + n + 1 est croissante.
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Exemple 2.2.8 Consid´erons la suite de terme g´en´eral un =1
n. C’est une suite de termes positifs d´efinie sur N∗. Comme un+1
un
= n
d´ecroissante sur N∗. On peut, d’autre part, trouver la mˆeme r´esultat en calculant la diff´erence un+1− un = −1
n(n + 1) < 0, donc un+1 < un. Mais un= f (n) avec f (x) = 1 x qui est une fonction strictement d´ecroissante sur [1, +∞[ donc la suite (un) admet le mˆeme
sens de variations sur N∗.
◆
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Exemple 2.2.9 Consid´erons la suite de terme g´en´eral un =n2
n + 1. C’est une suite de termes positifs d´efinie sur N. Comme un+1− un =
n2 + 3n + 1
(n + 1)(n + 2) > 0, donc un+1 > un. La suite (un) est strictement croissante.
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Exemple 2.2.10 Une suite arithm´etique est strictement croissante (resp.d´ecroissante) si sa raison r > 0 (resp. r < 0).◆
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Exemple 2.2.11 La suite de terme g´en´eral vn =2 3
n
, est une suite g´eom´etrique de raison q = 2
3. Elle est strictement d´ecroissante sur N, car vn+1
vn
= 2
3 = q < 1.
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D´efinition. Soit (un) une suite r´eelle. On dit que (un) est
• Major´ee s’il existe un r´eel M tel que pour tout n∈ N on a un ≤ M.
• Minor´ee s’il existe un r´eel m tel que pour tout n∈ N on a un≥ m.
• Born´ee s’il existe deux r´eels m et M tels que pour tout n ∈ N on a m ≤ un ≤ M
c’est-`a-dire si la suite et minor´ee et major´ee.
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Exemple 2.2.12 La suite un=1
n + 1 est une suite born´ee. Puisque, pour tout n∈ N on a 0≤ un< 1. De plus elles est strictement d´ecroissante, car (n + 1) + 1 > n + 1 et en
passant `a l’inverse on a un+1 < un.
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Exemple 2.2.13 La suite un = sin n est une suite major´ee par le r´eel 1.◆
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Exemple 2.2.14 La suite vn = anv0 est une suite croissante non major´ee si a > 1.Par ailleurs, on v´erifie que :