Théorème et définition
Deux suites réelles
(
un)
n≥0et(
vn)
n≥0sont ditesadjacentessi(
un)
n≥0est croissante et(
vn)
n≥0est décroissante et sinlim→∞
(
un−
vn) =
0.Dans ce cas on a :
(i) un≤vn, pour tout entier n.
(ii)
(
un)
n≥0et(
vn)
n≥0convergent vers la même limite.Preuve. Posonswn
=
vn−
un. On awn+1
−
wn= (
vn+1−
vn) − (
un+1−
un)
≤0,
donc(
wn)
n≥0&. Commewn→0, alors 0=
infn≥0wnet par suite wn≥0, pour toutn. D’où (i).
Par ailleurs on a, pour toutn∈N,u0≤un≤vn≤v0. Donc
(
un)
n≥0est croissante et majorée, et(
vn)
n≥0est décroissante et minorée. Donc ces deux suites sont convergentes, et leurs limites coïncident, carnlim→∞wn
=
limn→∞vn
−
limn→∞un
=
0.Brahim Boussouis Suites réelles
Théorème
A tout réel x on associe, pour tout n∈N, les rationnels xn
=
10−nE(
10nx)
et yn=
xn+
10−nappelésvaleurs approchées dex à10−nprès, respectivement par défaut et par excès. Alors les suites
(
xn)
et(
yn)
sont deux suites adjacentes, et on a :(∀
n∈N,xn≤x<
yn)
etnlim→∞xn
=
limn→∞yn
=
x.
Preuve. Par définition de la partie entière, on a :E
(
10nx)
≤ 10nx<
E(
10nx) +
1 (2) E(
10n+1x)
≤ 10n+1x<
E(
10n+1x) +
1 (3) En multipliant la relation2par 10−n, on obtientxn≤x<
yn. En la multipliant par 10, on obtient :10E
(
10nx)
≤10n+1x<
10E(
10nx) +
10. En tenant compte de la relation3, on obtient 10E(
10nx)
≤E(
10n+1x) +
1 et par suite xn≤xn+1.De même,E
(
10n+1x) +
1≤10E(
10nx) +
10, doncyn+1≤yn. Comme yn−
xn=
10−n →n→∞0, les suites
(
xn)
et(
yn)
sont adjacentes. D’autre part,xn≤x<
yn, donc limn→∞xn
=
limn→∞yn
=
x.Brahim Boussouis Suites réelles
On déduit du résultat précédent une propriété importante deR: Théorème (Propriété des segments emboîtés)
Soient
([
an,
bn])
n≥0une suite décroissante de segments deRtelle que limn→∞
(
bn−
an) =
0. Alors l’intersection I=
Tn≥0
[
an,
bn]
est réduite à un point.Preuve. On sait, d’après le corollaire1.2et sa démonstration que les suites
(
an)
et(
bn)
sont convergentes et queI= [
a,
b]
, oùa=
limn→∞an
etb
=
limn→∞bn. Comme lim
n→∞
(
bn−
an) =
0, on en déduit quea=
bet queI=
{a}.Définition (Suites de Cauchy)
On dit qu’une suite réelle
(
un)
n≥0est de Cauchy (ou vérifie le critère de Cauchy) si∀ε
>
0,∃
N∈N,
∀m,
n≥N,
|un−
um|<
ε(∗)
. PropositionToute suite de Cauchy est bornée.
Preuve. En effet, si
(
un)
n≥0vérifie la condition(∗)
, alors pour tout n≥N,|un−
uN|<
εdonc|un|<
ε+
|uN|. On en déduit que, pour tout entiern,|un|≤M oùM=
max(
|u0|,
|u1|,
· · ·,
|uN−1|,
ε+
|uN|)
.Brahim Boussouis Suites réelles
Théorème (critère de Cauchy)
Une suite réelle
(
un)
n≥0est convergente si et seulement si, elle est de Cauchy. On exprime ce résultat en disant queRestcomplet.Preuve. Montrons que la condition est nécessaire. Soit
(
un)
n≥0une suite convergente de limitel, et soitε>
0. Il existeN∈Ntel que|un
−
l|<
ε/2, pour toutn≥N. On en déduit que pourm,
n≥N, on a :|un
−
um|=
|(
un−
l) − (
um−
l)
|≤|un−
l|+
|um−
l|<
ε/2+
ε/2=
ε. Donc(
un)
n≥0est de Cauchy.Montrons que la condition est suffisante. Soit
(
un)
n≥0une suite de Cauchy.On sait qu’une telle suite est bornée (cf. proposition1.7). Donc les réels suivants sont bien définis :
xn
=
infXn;
yn=
supXnoùXn=
{up/
p≥n}.De l’inclusionXn+1⊂Xn, on déduit que
(
xn)
n≥0%et que(
yn)
n≥0&. Soitε>
0 et soitNl’entier qui lui est associé par(∗)
. Soitn≥N. Par définition dexn, il existep≥n≥N, tel quexn≤up<
xn+
ε. De même, il existeq≥n≥Ntel queyn−
ε<
uq≤yn. Donc∀n≥N
,
0≤yn−
xn≤(
yn−
uq) + (
uq−
up) + (
up−
xn)
≤3ε.Doncyn
−
xn→0 et les suites(
xn)
n≥0et(
yn)
n≥0sont adjacentes : soitlleur limite commune. Comme on a, pour tout entiern,xn≤un≤yn, il en résulte d’après la propriété1.4, que
(
un)
n≥0est convergente versl.Brahim Boussouis Suites réelles
Remarque
1 Le théorème précédent est très important, puisqu’il fournit une condition nécessaire et suffisantepour qu’une suite numérique converge, sans faire intervenir la limite.
2 Qn’est pas complet. En effet, puisqueQest dense dansR, on peut trouver, pour tout n≥1, un nombre rationnel rncompris entre√ est une suite de rationnels qui converge vers√
2. En tant que suite convergente dansR,
(
rn)
n≥0est une suite de Cauchy dans R, donc c’est aussi une suite de Cauchy dansQ. Mais(
rn)
n≥0 n’est pas convergente dansQ.Définition (Suites équivalentes)
On dit que
(
yn)
n≥0est équivalente à(
xn)
n≥0, et on note yn∼xn, s’il existe une suite de scalaires(λ
n)
n≥0de limite1et telle que pour n assez grand, on ait yn=
λnxn. Si xn6=0, pour n assez grand, il revient au même de dire queλn=
yn/
xn→1.Par exemple, on a : sin1n ∼1n;tg1n ∼1
n;log
(
1+
1 n)
∼1n; logn∼log
(
n+
1)
; cosncos 1n∼cosn.
Les "équivalents" sont utiles pour le calcul des limites et pour l’étude du signe d’une suite pour les grandes valeurs de la variable :
Brahim Boussouis Suites réelles
Proposition
La relation∼est une relation d’équivalence ( réflexive, symétrique et transitive ).
Si la suite
(
xn)
n≥0admet une limite (finie ou non ), toute suite qui lui est équivalente admet la même limite.Réciproquement si deux suites ont la même limite, et si cette limite est finie non nulle, alors ces deux suites sont équivalentes.
Si deux suites
(
xn)
n≥0et(
yn)
n≥0sont équivalentes, alors elles ont le même signe, pour n assez grand.Preuve. Immédiate d’après la définition et les opérations sur les limites.
Théorème
On ne modifie ni la convergence ni la limite d’un produit ou d’un quotient de suites, en remplaçant chacune des suites qui y figurent, par une suite équivalente.
Remarque
Ce théorème ne s’applique pas aux sommes ou aux différences des suites :
n∼n
+
1,
mais n− (
n+
1)
6∼0.
Brahim Boussouis Suites réelles
SoientD⊂R,a∈Detf
:
D→R. On se propose d’étudier les suites(
xn)
n≥0définies par la donnée du premier termex0et par une relation de récurrence simple :xn+1=
f(
xn),
∀n∈N. On suppose quef
(
D)
⊂Dpour que(
xn)
n≥0soit bien définie. On observe que xn+1−
xn=
f(
xn) −
f(
xn−1)
et on en déduit laProposition
Si f%, alors la suite
(
xn)
n≥0est monotone (croissante si f(
x0) −
x0≥0, et décroissante si f(
x0) −
x0≤0). Si f &, alors xn+1−
xnest alternativement positif ou négatif (on dit que la suite est oscillante). Soient g=
f◦f,
yn=
x2n,
zn=
x2n+1. On a g%et pour tout entier n : yn+1=
g(
yn),
zn+1=
g(
zn)
. Donc les suites(
yn)
n≥0et(
zn)
n≥0sont monotones et varient en sens inverse l’une de l’autre.Si
(
xn)
n≥0admet une limitel∈Det sif est continue enl, alorsf(
l) =
l (on démontrera ce résultat ultérieurement).Donc si léquationf
(
x) =
x n’a pas de solutions dansD, alors(
xn)
n≥0 est divergente. Si par contre cette équation admet plusieurs racines dansD, le problème revient à examiner si(
xn)
n≥0admet l’une de ces racines comme limite. En pratique, on commence par chercher les points fixesdef (c-a-d les solutions de l’équationf(
x) =
x). Cette résolution facilite la recherche de majorants et de minorants pour la suite(
xn)
n≥0. Le graphe def peut être utilisé comme source de renseignement sur le comportement de(
xn)
n≥0.Brahim Boussouis Suites réelles
A titre d’exemple, étudions la suite
(
xn)
n≥0définie par la donnée desObservons d’abord quexnest défini pour tout entiern, et quexn
>
0.Une limite éventuelle de la suite doit vérifier l