Une succession d’états d’équilibre

ϕ + θ(ℓ) 2  − h (4.35)

Une remarque importante reste à faire : à partir de l’équation (4.2) on peut déduire que L_ec =

L2

eh/L_gc. On obtient alors que :

ζ = ^Leh L_ec ⁼

L_gc

L_eh ^{= ℓgc. (4.36)}

Le terme ℓ_gc traduit donc l’importance de la force capillaire dans la déformation vis-à-vis de la pression hydrostatique. On remplace ℓgc par ζ dans la suite.

4.6 Comparaison entre prévisions théoriques et expériences

Le système d’équations (4.31,4.32,4.33,4.34,4.35) gouverne l’équilibre du ménisque élasto-capillaire. Dans ce problème, il reste trois paramètres sans dimensions : ℓ, la longueur adimen-sionnée de la lamelle, qui quantifie l’importance de la force hydrostatique par rapport à la rigidité à la flexion ; ζ compare le rôle de la tension de surface à celui des efforts de pression ; h, la hau-teur sans dimension du ménisque élasto-capillaire, est le paramètre-clé du problème, qui permet de faire évoluer le système de l’état plat (h = 0) jusqu’à l’état critique (h = hcr).

On montre d’abord la comparaison entre la forme théorique du ménisque et les photos expéri-mentales. Ensuite, on se concentre sur l’évolution du système, à partir de h = 0, afin d’expliquer la rupture du ménisque qui a été montrée expérimentalement dans la section 4.4. Dans tous les cas de figure, la résolution des équations a été faite numériquement avec Mathematica.

4.6.1 La forme du ménisque élasto-capillaire

Les images des figures 4.5 et 4.6 montraient des formes d’équilibre du ménisque élasto-capillaire. On cherche à retrouver ces formes avec le modèle théorique. Le premier cas (lamelle en Mylar fin de la figure4.5) est repéré par les paramètres sans dimensions ℓ = 1.83 et ζ = 0.24. La figure4.9compare les images expérimentales aux déformées théoriques. On remarque un très bon accord entre les deux déformées.

La figure 4.10 effectue la même comparaison dans le cas d’une lamelle en PVS (figure 4.6). Dans ce cas les paramètres sans dimensions sont ℓ = 2.44 et ζ = 0.48. Ici, l’accord avec les expériences est moins bon, surtout pour les formes comportant de grandes rotations. On peut parler d’un accord plus qualitatif que quantitatif.

4.6.2 Une succession d’états d’équilibre

Quand h = 0, il existe une solution triviale du système d’équations (4.31-4.35) : y = θ = 0. Cette solution correspond à une lamelle complètement plate, et à une interface liquide-air plate aussi. Dans ce cas, l’angle ψ₀ est nul, ce qui implique ϕ = π. A partir de cet état initial, on veut

4.6. Comparaison entre prévisions théoriques et expériences 71

Figure 4.9: Comparaison entre les formes d’équilibre expérimentales (montrées dans les images de la figure4.5) et les résultats théoriques. La lamelle a une longueur sans dimension ℓ = 1.83. La hauteur sans dimension du ménisque est, de la gauche vers la droite et de haut au bas, h = 0.44, 0.63, 0.77 et 1.09.

Figure 4.10: Comparaison entre les formes d’équilibre expérimentales (montrées dans les images de la figure4.6) et les résultats théoriques. La lamelle a une longueur sans dimension ℓ = 2.44. La hauteur sans dimension du ménisque est, de la gauche vers la droite et de haut au bas, h =1.65, 2.06, 2.48 et 2.56.

connaitre l’évolution du ménisque élasto-capillaire en fonction de h. On emploie un algorithme de continuation, qui permet de suivre le chemin des solutions d’équilibre. On choisit de travailler dans le plan (h, ϕ). 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Π 2 Π

ϕ

h

Figure 4.11: A gauche, chaque courbe montre l’évolution de la solution d’équilibre dans le plan (h, ϕ) en fonction de la valeur de ℓ. La courbe noire (•) représente le cas limite ℓ = 0. Les autres courbes représentent, dans l’ordre, ℓ = 1 (•), 1.5 (•), 1.8 (•), 2 (•), 2.2 (•), 2.4 (•), 2.6 (•), 2.8 (•). La courbe pointillée représente le lieu des points limite. A droite, la forme du ménisque élasto-capillaire aux points limite C1, C2 et C3est montrée.

La courbe qui représente le chemin des solutions d’équilibre dépend de ℓ et ζ. Dans un premier temps, on fixe la valeur ζ = 0.24 (valeur pour une lamelle en Mylar fin) et on se concentre sur le rôle joué par ℓ lors de l’évolution. La figure4.11montre les courbes de continuation (une courbe pour chaque valeur de ℓ). Toutes les courbes partent du point (h = 0, ϕ = π), l’état initial.

La courbe noire représente le cas limite ℓ ≃ 0 : les efforts de pression ne produisent aucune déformation sur la lamelle. L’évolution du système, dans ce cas, correspond à l’évolution d’un ménisque purement liquide, accroché à l’extrémité de la lamelle. A partir de h = 0, ce ménisque augmente sa hauteur jusqu’à la valeur critique h_cr = 2ℓ_gc = 0.48 (point C₁). La forme du système en C1 est montrée à droite dans la figure. Au-delà de hcr = 0.48, il n’existe plus de solution mathématique. Expérimentalement, si on impose h > 0.48, le ménisque n’a pas d’autre possibilité que de se détacher de la lamelle.

Les autres courbes de la figure4.11correspondent à d’autres valeurs de ℓ comprises entre 0.5 et 2.8. Pour tous ces cas, la lamelle se déforme quand h > 0. Selon la valeur de ℓ, on constate que l’angle de contact ϕ croît ou décroît avec h, comme il a déjà été montré expérimentalement. On remarque que toutes ces courbes présentent un point limite (ou fold point) (h_f, ϕ_f), c’est-à-dire un point où la courbe atteint une valeur maximale de h. Les points C₂ et C₃ sont, par exemple, les points limite des courbes ℓ = 1.8 et ℓ = 2.8, respectivement. On montre la forme du système aux points limite C₂ et C₃ à droite de la figure 4.11. Lors de l’évolution, le système atteint le point (h_f, ϕ_f) et à partir de ce moment il n’y a plus de solution mathématique possible si

h > h_f.

La position (h_f, ϕ_f) du point limite varie dans le plan selon la valeur ℓ considérée. Dans la figure 4.11 le lieu de tous les points limite est tracé avec une courbe pointillée. La courbe

h_f(ℓ) (figure 4.12) représente la hauteur du point limite en fonction de ℓ. Comme on pouvait s’attendre, on voit que h_f augmente avec ℓ. En effet, plus la lamelle est longue, plus elle se

4.6. Comparaison entre prévisions théoriques et expériences 73 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.5 1 1.5 2

ℓ

h

Figure 4.12: Mesure expérimentale (points noirs) et prévision théorique (courbe pointillée) de la hauteur de rupture du ménisque hcr en fonction de la longueur de la lamelle ℓ. La courbe pointillée est basée sur le lieu des points limite montré dans la figure 4.11.

déforme facilement sous l’action de la pression hydrostatique. Cette intuition est confirmée aussi par les déformées aux points critiques C₁, C₂ et C₃ qui sont montrées dans la figure 4.11.

On a compris que le point limite représente un point critique : expérimentalement, le fait d’imposer une valeur de h plus grande que h_f va nécessairement entrainer une rupture du système. En d’autres termes, la condition h = h_f est suffisante pour prévoir une rupture. Cette condition est-elle nécessaire ? Est-ce que la situation de rupture expérimentale déjà montrée correspond à un système au point limite, ou est-ce qu’elle a lieu avant ? Pour répondre aux questions, nous avons enregistré l’évolution du système avec une caméra, et repéré la hauteur critique à laquelle la rupture a lieu. On a effectué plusieurs expériences avec différentes longueurs de lamelle : cela nous a permis de trouver une trentaine de points expérimentaux (hcr, ℓ), qu’on

montre dans la figure 4.12.

L’accord entre la courbe h_f(ℓ) et les points expérimentaux est assez bon. Cependant, avec un regard un peu critique, on perçoit une tendance expérimentale qui dévie de la prévision théorique quand ℓ diminue. L’accord est très bon tant que ℓ > 1.5, mais il devient de moins en moins correct quand ℓ décroit. En particulier, si ℓ < 1.5, on mesure une rupture pour h_cr< h_f, ce qui montre qu’il n’est pas nécessaire d’atteindre le point limite pour avoir une rupture. Il faut regarder dans le détail le processus de rupture pour comprendre les raisons de cette déviation.