4.3.1 Les mots sturmiens . . . . 80
4.3.1a Propriétés de base des mots Sturmiens . . . . 80
4.3.2 Mots convergents vers les mots sturmiens . . . . 81
4.3.3 Les mots de rotations . . . . 81
4.4 Décomposition de configurations et substitutions entremélées . . . 82
4.4.1 Les configurations simplifiées . . . . 82
4.4.2 Factorisation des configurations . . . . 84
4.4.3 Décomposition des mots en mots de rotations . . . . 85
4.4.4 Spécification des mots sturmiens impliqués dans le cas de π{4. . . . 85
4.5 Inférence de substitutions planaires via graphes de Rauzy . . . 87
4.5.1 Définitions de base concernant les graphes de Rauzy . . . . 87
4.5.1a Les graphes de Rauzy unidimensionnels . . . . 87
4.5.1b Les graphes de Rauzy bidimensionels . . . . 88
4.5.2 Extraction de substitutions dans Cπ{4 . . . . 91
4.5.2a Stratégie générale . . . . 91
4.5.2b Constations expérimentales . . . . 92
4.5.2c Isomorphisme entre les multigraphes des fragments . . . . 94
4.5.2d Transposition de la notion de fragments sur le tore . . . . 98
4.5.3 Prologue relatif à l’étude de l’autosimilarité de Cπ{4 . . . . 98
4.5.4 Disposition des cadres pour απ{4 . . . 102
4.5.5 Comment prouver l’autosimilarité à l’aide des multigraphes ? . . . 103
4.5.6 Autosimilarité par systèmes induits . . . 104
4.5.6a Système dynamique induit en dimension non unitaire . . . 104
4.5.6b Système dynamique induit multidimensionnel : spécification 1 . . . 105
4.5.6c Système dynamique induit multidimensionnel : spécification 2 . . . 108
4.6 Conclusions du chapitre . . . 110
Dans les sections qui vont suivre, on attaque un sous-problème induit par l’étude des configu-rations : on aimerait savoir quels sont les moyens de prouver que les configuconfigu-rations que nous avons obtenues sont fréquemment autosimilaires, et autant que faire se puisse, on souhaite être capable d’exhiber les substitutions planaires associées. Plus généralement, on aimerait savoir s’il existe des méthodes qui permettent d’extraire de substitutions bidimensionnelles automatiquement à partir
de l’observation de morceaux de configurations– on cherche des "data-driven algorithms". Il s’agit
donc de partir à la recherche des signatures des processus substitutifs.
Pour les algorithmes guidés par les données, autant que possible, après avoir inféré la substi-tution, on souhaiterait disposer des éléments théoriques qui permettent de prouver la validité de la règle de substitution proposée par la méthode... Il s’agit d’un point plus délicat, et autant que
possible quand nous préciserons un procédé, on tentera de faire le liens entre ce qu’on observe et les fondements de la méthode.
Comme en témoigne la Figure 4.1, la configuration Cπ{4a une structure autosimilaire apparente
remarquable. Cette configuration est nettement plus simple que les autres du fait que cospαq
sinpαq, elle sert d’exemple principal au travers de ce micro-panorama de méthodes pour la mise en
évidence de phénomènes autosimilaires en dimension 2.
On part donc en excursion au pays des substitutions planaires. Cela nous permet de découvrir
progressivement la nature des phénomènes causant l’autosimilarité de la configuration Cπ{4, et cela
nous nous donne les clefs pour comprendre plus en détails les phénomènes d’autosimilarité observés dans des configurations.
a) b) c)
Fig. 4.1 – La première figure montre le premier quadrant de la configuration Cπ{4 avec un codage
couleur usuel. La figure du milieu représente la partition symbolique associée à π{4. La dernière
image est une version dézoomée et retouchée de la configuration, le but était de mettre en évidence sa structure autosimilaire. J’ai rempli de couleurs différentes les zones "connexes" de l’image (en ayant au préalable reconverti l’image en noir et blanc)
Note 4.0.0.3 Cπ{4 n’est pas la seule configuration à être dotée d’une structure autosimilaire.
L’autosimilarité y est cependant est la plus facilement observable. (Du fait du relativement faible
nombre de couleurs intervenant). En fait, les configurations associées à π{6et plus généralement
toutes les configurations des angles charnières, et les configurations non périodiques où le cosinus
et le sinus ne sont pas indépendants sur le tore(a) , sont associés à des angles dont les cosinus,
et les sinus admettent le développement en fractions continues est périodique, ce qui, a priori, va nous conduire à de l’autosimilarité, d’autant plus que les deux développements appartiennent à la même extension quadratique.
Partons à la quête des explications de cette autosimilarité !
Dans ce chapitre, après des rappels sur l’essentiel de ce qu’il faut savoir en ce qui concerne les substitutions, sont abordées trois études des phénomènes d’autosimilarité qui contribueront aux remarques communes qui viennent à la fin de ce chapitre.
– la première méthode est plutôt “ad hoc” et elle a été obtenue par tâtonnement en observant des séquences de premiers retours – il s’agit d’un résultat purement expérimental, aucune preuve n’est donné de ce résultat ; notre objectif était surtout de parler des difficultés qu’on rencontre dans sa mise-en-œuvre ;
(a)Formellement le cosinus et le sinus ne sont pas indépendants s’il existe x, y P
Ztels que x cospαq y sinpαq0 sur T (autrement dit, s’il existe x, y , kPZtels que x cospαq y sinpαqk)
Fig. 4.2 – Représentation de Cαpour l’angle charnière α1.14677(sur le même principe que 4.1 c)
– la seconde méthode est partie d’une constatation purement algébrique et donne des résultats précis sur la nature des phénomènes substitutifs qui supportent les configurations que nous étudions – il s’agit d’un résultat essentiellement algébrique qui sert de préliminaires au dernier cas étudié avec la méthode suivante ;
– la troisième méthode repose sur l’emploi de graphes de Rauzy bidimensionnels. Pour commen-cer, nous par exposons leur théorie, puis nous procédons à des observations expérimentales. Ces observations servent par la suite de guide pour décrire et prouver l’autosimilarité sous-jacente : deux approches sont proposées : par multigraphe des fragments et par chaînes de systèmes dynamiques induits. Les substitutions fournies par le modèle sont non triviales.
4.1 Rappels sur la théorie des substitutions
4.1.1 Théorie des substitutions
Une substitution correspond à l’application itérée d’un morphisme sur les mots. Celui-ci est défini
à l’aide d’une application d’un alphabet Q0vers les mots de Q
1que l’on étend canoniquement sur les
mots. Quand les images de chaque lettre sont de longueur 1, on parle de morphisme lettre-à-lettre.
de définir des substitutions sur QZ
0. Dans ce document, on supposera toujours Q0Q1.
Une substitution σ sera généralement spécifiée explicitement en donnant l’image associée à chacune des lettres de l’alphabet d’entrée. On se donnera donc une suite de règles de substitution de la forme :
Fig. 4.3 – Représentation de Cπ{6 (sur le même principe que 4.1 c) . Le but est de mettre en
Si les images de toutes les lettres de Q ont la même longueur k, alors la substitution est k-automatique (voir [AS03], [SAL89]).
Le vecteur de Parikh dénote le nombre d’occurrences de chacun des états d’un alphabet dans une configuration finie ou dans un mot fini, autant dire que c’est le mot dans sa version abelianisée. La matrice de PARIKH renvoie pour chacun des mots apparaissant dans la règle associée à la
lettre αi, le nombre d’occurrences d’αj dans le mot image d’αi.
Une substitution est dite non effaçante si ε n’est l’image d’aucune lettre. En général, on suppose aussi que les substitutions étudiées sont primitives. C’est-à-dire que leur matrice de PARIKH est primitive : il doit exister une puissance de la matrice telle que tous les coefficients de la matrice soient non nuls.
Un mot infini sera dit purement substitutif si et seulement s’il est le point fixe de substitutions
itérées , c’est-à-dire si et seulement s’il existe σ de A dans A, et qu’il existe une lettre aPA, tels
que w limnÑ8σnpaq où l’on suppose que cette limite existe ( i.e. il existe une lettre α qui soit
préfixe de son image, i.e. : σpαqα w ).
Un mot est dit substitutif, s’il est l’image par un morphisme h d’un mot purement substitutif (i.e. qui est point fixe d’une substitutions).
Un mot est dit S-adique s’il peut être obtenu par une composition infinie de substitutions qui appartiennent à l’ensemble fini S (S est un alphabet de substitutions).
Voici dans le cas unidimensionnel, quelques grands résultats qui aident à mieux comprendre la périodicité et la quasi-périodicité .
Théorème 4.1 (HEDLUND , [HM38]) Un mot w est périodique, si et seulement si, il existe un
k PNtel que l’ensemble des facteurs de longueur de k est un cardinal inférieur à k : #Lkpwq k.
Pour les mots substitutifs on pourra utiliser un théorème analogue :
Théorème 4.2 (PANSIOT) Si w P Aω est un mot substitutif alors la fonction de #Lnpwq est
nécessairement de l’un des ordres suivants : Op1q, Opnq, Oplog lognq, Oplognq, Opn2
q.
Des résultats analogues sont issus des travaux de Brigitte MOSSÉ et de Fabien DURAND. Ils font écho à l’idée de systèmes dynamiques induits, et ils permettent de caractériser les cas où l’on est face à des mots substitutifs.
4.2 Substitutions ad hoc
À l’époque où je me suis intéressé à ce premier type de substitutions (en D.E.A.), je n’ai pas trouvé de liens entre la dynamique observée et les systèmes décrits en 2.4. Il s’agit donc simplement d’observations “expérimentales” ; et, dans cette section, nous certifierons juste avoir observé des morceaux suffisamment grands de configurations pour être convaincus que cette méthode donne
bien la même configuration que celle que fournit π{4, et être confiants dans la validité du système
proposé.
L’idée directrice pour reconstruire les configurations associées à π{4fut d’observer les mots de
retours qui apparaissent dans les lignes. Ainsi, par tâtonnement, on finit par découvrir une
substi-tution qui engendre la configuration. Cette méthode, fastidieuse, permit sur C1
π{4 de conjecturer
une substitution unidimensionnelle. Grâce à cette substitution, on a reconstruit des morceaux de configurations suffisamment larges pour que l’on conjecture la substitution plausible.
Par l’observation des mots de retour, on peut être conduit à proposer la substitution
dégé-nérée(a) suivante, que nous décrivons sur un alphabet à quatre lettres :ta, b, ¯a, ¯bu (voir Figure
4.4.) σ0 " aÞÑabba aÞÑabba bbÞÑbab bbÞÑbab w σω0paq
Cette substitution se réécrit sur un alphabet à 6 lettres : ta, b, B, ¯a, ¯b, ¯Bu. En employant les
substitutions suivantes, on observe que w est un mot substitutif : σ1: $ & % aÞÑaBa aÞÑaBa B ÞÑbab B ÞÑbab bÞÑb bÞÑb σ1 1 $ & % aÞÑa aÞÑa BÞÑb¯b B ÞÑbb bÞÑb bÞÑb w σ1 1σ1ωpaq
L’application itérée de la substitution σ1 conduit bien à un mot substitutif. Il existe une lettre
qui est préfixe ( de même pour la notion de suffixe ) de son image, De plus, il existe une projection par un morphisme lettre-à-lettre qui transforme la configuration issue du produit direct de ce mot par lui-même en une configuration dont on a pu expérimentalement vérifier qu’elle coïncidait en
tout point avec C1
α. Le morphisme lettre-à-lettre impliqué dans la transformation est décrit en
figure 4.5.
Cette substitution est cependant insatisfaisante :
1. Elle a été trouvée par tâtonnement, “de manière ad hoc” ; et nous n’avons abouti sur un
résultat concret que pour α
π 4;
2. C’est une substitution unidimensionnelle ; la configuration qu’on souhaite générer est bidi-mensionnelle ; on aimerait en quelque sorte trouver des “pièces de puzzle” qui dirigent les substitutions.
Note 4.2.0.1 Il est en fait possible de transformer cette substitution en une substitution bidimen-sionnelle. En calculant le produit semi-direct des mots sur la substitution : on obtient des règles
de la forme : pαi bα1
iq ÞÑ pwi bw1
iq à partir αi ÞÑ wi et α1
i ÞÑ w1
i. Le produit direct de deux
lettres est un une lettre de l’alphabet Q1Q2, et le produit direct de deux mots conduit à un
motif rectangulaire dont la largeur est celle de wi et la hauteur celle de w1
i, et dont les la lettre
en m, n est simplement le couplepwipmq, w1
ipnqq. Ce type de substitution est souvent appelée une
substitution de MAES [MAE99]. Il s’agit d’une substitution dans laquelle chaque lettre se transforme en un motif rectangulaire. Pour que ce type de substitution s’applique correctement, il faut que toutes les lettres d’une même ligne (resp. colonne) se transforment en des rectangles de même hauteur (resp. largeur). On dispose ainsi d’un moyen d’appliquer la substitution qui respecte les opérateurs de concaténation 2d.
Nous ne présentons pas ici les substitutions dans leur forme bidimensionnelle ; leur présentation n’apporte aucune information utile. Le premier point à résoudre est avant tout de prouver la validité de la substitution obtenue.
Fig. 4.4 – La configuration C1
π{4 représentée par les flèches qui composent chaque symbole, et
dans laquelle on a mis en évidence par une teinte, les informations sur le nombre d’antécédents de chaque cellule par la rotation discrétisée, sur laquelle on a mis en rapport avec le mot issu de la
substitution w σ1
1σ1ωpaq
Cette première expérience pour re-construire la configuration indique le degré de tâtonnement actuellement nécessaire extraire une substitution via une simple observation de la configuration.
aØa d b Øb c ¯ aØc b ¯ bØd a a b c d
Fig. 4.5 – Tableaux décrivant les morphismes lettre-à-lettre employés. Le morphisme à gauche est juste un morphisme entre deux alphabets, le changement d’alphabet ici est juste d’une commodité. Le morphisme de droite met en bijection les couples de lettres issus du produit direct entres les deux mots substitutifs avec les symboles de la configuration.