Pour résumer, notre objectif à travers cette thèse est d’aborder conjointement la question des rotations pour les espaces discret, l’analyse des propriétés de ces rotations et leur implémentation sur automates cellulaires.
Dans cette étude, la non-préexistence de rotation ayant des propriétés intéressantes pour la modélisation sur automates cellulaires nous a contraints dans un premier temps à nous pencher davantage sur les questions relatives aux rotations discrètes. En effet, les rotations sur les espaces discrets, malgré les quelques travaux que nous avons cités, et malgré leur position centrale vis-à-vis de la théorie des rotations discrètes. Nous pouvions d’ores et dejà répondre que tout n’était pas prêt pour concevoir une physique discrète basée sur des rotatons discrètes. De ce fait, ces rotations discrètes méritaient bien encore quelques études du goût de celle que nous allons mener ici.
Au Chapitre 1, c’est un panorama où se définit le cadre formel de la thèse. Dans un premier temps, il situe notre positionnement vis-à-vis de la théorie de la géométrie discrète. C’est l’occasion de revoir les fondements de la géométrie discrète, de donner différentes définitions de rotations, de montrer que toutes les définitions ne sont pas nécessairement acceptables. Dans un second temps, il traite des systèmes dynamiques sous trois aspects particuliers :
– la généralisation multidimensionnelle de la notion de système dynamique : les objets que nous allons étudier évoluent selon deux directions ;
– les aspects “systèmes dynamiques symboliques” : la possibilité de relever un mot ou une configuration vers un objet se déplaçant dans un espace des phases où des manipulations algébriques sont possibles ;
– les aspects “systèmes dynamiques induits” : ils permettent d’expliquer de nombreux phéno-mènes d’autosimilarité et ils font le pont avec la théorie des substitutions.
Les systèmes dynamiques nous sont particulièrement utiles car ils permettent de faire le lien entre les univers discrets et continus, de plus ils possèdent une théorie bien établie sur le fond algébrique.Ces préliminaires sont l’occasion de fixer le vocabulaire, et de rappeler des concepts disséminés dans différentes constellations d’ouvrages scientifiques.
Au chapitre 2, on donne les définitions des objets essentiels et spécificiques à cette étude ; c’est la description de différents processus de rotations à travers des systèmes dynamiques symboliques. À partir des éléments du chapitre précédent, seront étudiées les rotations discrétisées et les rotations
trois-transvections. En codant leur action à travers la grille Z2, on affectera à chaque rotation
une configuration unique – objet essentiel qui supporte notre recherche par la suite. À la suite de ces définitions, on trouve une série de petites propositions utiles, qui contient entre autre des éléments d’algorithmique locales qui prouvent la pertinence des configurations dans les processus de rotations. Dans la perspective de constructions de schémas plus complexes, on explique comment décomposer les configurations. En troisième partie de ce chapitre, se trouve alors le résultat-clé qui nous intéresse : Nous y donnons une interprétation des configurations – codage local des rotations – comme résultat de l’action d’un jeu de translations sur le tore via un codage symbolique. C’est-à-dire que nous nous donnons des armes issues des mathématiques continues, pour traiter le difficile problème discret qui nous anime. On généralise alors les définitions obtenues à d’autres configurations.
Le Chapitre 3 est pour sa part consacré à plusieurs résultats centrés sur des études de la dynamique définie au chapitre précédent et associé aux rotations discrétisées. Le texte de ce chapitre débute par une caractérisation des angles liés à des configurations périodiques et quasipériodiques des configurations étudiées. On se fait ainsi une idée plus précise des objets que nous étudions. Dans un second temps, on examine les résultats établis avec Valérie BERTHÉ qui concernent la fréquence des motifs observés – c’est je crois une série de résultats de formels, qui ouvrent des pistes de recherches difficiles. En effet, il s’agirait de relever la variation des symboles vers des règles de transitions.
Au Chapitre 4, après un rappel sur la théorie des substitutions, on présente un trio de méthodes mettant en avant l’existence de substitutions pour engendrer les configurations correspondant à certains angles. À l’aide de ces différentes techniques on donnera les arguments-clés pour la demonstration du caractère autosimilaire des configurations.
Au Chapitre 5, on revient vers des aspects algorithmiques plus connexes avec la géométrie discrète : pour la rotation discrétisée, on présente une caractérisation des angles bijectifs. Il s’agit
en fait d’une extension d’un théorème d’Éric ANDRÈS et de Marie-Andrée JACOB(a) [JA95]. Pour
obtenir ce résultat, on utilise les liens avec les systèmes dynamiques étudiés au Chapitre 2. À ce stade ; on étudie un peu plus en détail la structure des configurations périodiques.
Dans le Chapitre 6, on présente un algorithme pour la rotation 3-transvection sur automates cellulaires. C’est le seul chapitre où nous parlons directement d’automates cellulaires. On dispose de cette occasion pour préciser un certain nombre de constructions et de sous-automates cellulaires qui sont utiles dans un sens plus large pour la modélisation géométrique sur automates cellulaires.
Le Chapitre 7 conclut cette thèse en précisant les questions, les débouchés potentiels et nos espoirs, notre opinion globale par rapport au sujet à la fin de cette thèse.
Puis, notons qu’en annexe, se trouve certains éléments bien connus liés aux translations sur le tore. On y aborde au passage les fractions continues. Ce qui nous intéresse ici c’est la forme des preuves et des définitions, car nous essayons ailleurs de reproduire sa charpente en dimension supérieure.
Chapitre 1
Éléments préliminaires
Plan détaillé du chapitre
1.1 Éléments de géométrie discrète . . . . 2
1.1.1 Essence philosophique : de Znà QZn
. . . . 2
1.1.1a Définition . . . . 2
1.1.1b Discrétisation d’un point : techniques usuelles . . . . 4
1.1.2 Cliché du bestiaire de la géométrie discrète . . . . 5
1.1.2a Droites et hyperplans . . . . 6
1.1.2b Cercles . . . . 7
1.1.2c Autres Figures . . . . 7
1.1.3 Un petit tour dans les rotations . . . . 7
1.1.3a Autour de la rotation discrétisée (avant et arrière) . . . . 8
1.1.3b La rotation 3-transvections . . . . 9
1.1.3c Les pseudo-rotations par cercles . . . . 10
1.1.3d Les rotations par droites discrètes . . . . 10
1.1.3e Les rotations pythagoriciennes . . . . 11
1.1.4 Isotropie, rotations et géométrie discrète . . . . 11
1.1.4a Non-existence de rotations discrètes transitives de Z2dans Z2 . . . . 11
1.1.5 Conclusions de la section . . . . 12
1.2 Rappels sur les mots et les motifs . . . 13