Substitution de fluides viscoélastiques

L'équation de Biot-Gassmann fournit une relation entre les modules drainés et les modules non drainés, appliquée aux faibles fréquences. La génération de cette équation a fait l'objet de nombreuses publications permettant de l'utiliser dans des cas particuliers: aux fréquences élevées (Biot, 1956), pour les roches anisotropes (Brown et Korringa, 1975), pour les roches multi-phasiques poreuses (Berryman et Milton, 1991). Les modules de cisaillement drainé et non drainé sont égaux dans toutes ces approches. Autrement dit, le module de cisaillement système roche - fluide est indépendant du fluide saturant, donc l'existence du fluide est supposée n’avoir aucun effet sur le module de cisaillement. On rappelle qu’il s'agit des fluides non visqueux et sans rigidité de cisaillement.

Les bruts lourds sont considérés comme des fluides viscoélastiques dont les caractéristiques dépendent à la fois de la température et de la fréquence (Batzle et al., 2006b; Hinkle, 2008; Behura et al., 2007). Ils se comportent comme un solide aux faibles températures et/ou aux fréquences extrêmement élevées et comme un liquide Newtonien aux températures élevées et/ou aux faibles fréquences. Les bruts lourds, notamment le bitume, possèdent un module de cisaillement non négligeable. Dans les conditions de température et de fréquence intermédiaires, les bruts lourds sont dispersifs et atténuants. Le caractère viscoélastique des bruts avec un module de cisaillement non nul est la raison principale qui rend la formule de Biot-Gassmann non valable dans les roches à bruts lourds (Ciz et Shapiro, 2007; Gurevich et al., 2008; Ciz et al., 2009; Makarynska et al., 2010).

Dans ce contexte, des tentatives de modélisation ont été proposées pour tenir compte du module de cisaillement non négligeable des bruts lourds (Burridge et Keller, 1981; De la Cruz et Spanos, 1989; Eastwood, 1993; Tsiklauri et Beresnev, 2003; Ciz et Shapiro, 2007; Das et Batzle, 2008; Gurevich et al., 2008, Ciz et al., 2009; Das et Batzle, 2009; Makarynska et al.,

2010). Malheureusement, on remarque que ces approches n'ont jamais été vérifiées expérimentalement (Makarynska et al., 2010). Les différentes approches sont mentionnées ci- dessous.

• Modèle de Hashin-Shtrikman

Le modèle de Hashin-Shtrikman donne des limites inférieures et supérieures des modules effectifs d'un système composite comprenant différentes phases isotropes. Ces limites sont estimées à partir de la fraction volumique de chaque constituant.

• Système des couches superposées

Les roches à bruts lourds sont considérées comme un système où la phase solide (les grains rocheux) et la phase visqueuse (les bruts lourds) constituent des couches périodiquement superposées (Gurevich, 2002; Gurevich et Ciz, 2006; Gurevich et al., 2008).

• Approche CPA (coherent potential approximation),

Un mélange solide-fluide est modélisé comme un solide avec des inclusions sphéroïdales de fluide (lorsque la concentration du fluide est faible), ou comme une suspension de particules solides dans le fluide (lorsque la concentration en solide est faible) (Kuster et Toksoz, 1974; Gurevich et al., 2008). Cette propriété est cohérente avec le concept de porosité critique et permet de modéliser les roches à bruts lourds considérés comme des fluides de remplissage, ou faisant partie de la matrice rocheuse (Makarynska et al., 2010).

• Approche combinée de SCA (Self Consistent Approximation) et DEM (Differential

Effective Medium)

Das et Batzle (2009; 2010) ont employé une approche combinée de SCA et de DEM, qui est similaire à ce que Sheng (1990; 1991) a utilisé pour les roches sédimentaires et à ce que Hornby et al. (1994) ont utilisé pour les argiles. Cette approche combinée examine en effet un milieu bi-connecté dans lequel la phase solide et la phase liquide forment un réseau interconnecté, qui pourrait représenter les carbonates bitumineux d’Uvalde d’après les auteurs. Cette approche permets d’expliquer la dispersion des vitesses du carbonate bitumineux, cependant en appliquant aux sables bitumineux Canadiens, les résultats ne sont pas convaincants (Figure II-36).

Figure II-36: Comparaison entre les résultats de l'approche SCA-DEM et les résultats expérimentaux des vitesses d’ondes dans le sable bitumineux Canadien (Das et Batzle, 2009).

• Modèle de Burridge-Keller

Burridge et Keller (1981) ont généralisé la théorie de Biot pour un solide élastique poreux contenant un fluide compressible visqueux. Leur dérivation est basée sur les équations de l'élasticité linéaire dans les solides et les équations linéaires de Navier-Stokes dans le fluide. Lorsque la viscosité du fluide est très faible, les équations dérivées deviennent celles de Biot.

• Modèle de De la Cruz-Spanos

De la Cruz et Spanos (1989) intègre les mécanismes de la dissipation visqueuse du fluide dans ses formules (Hickey et al., 1991). De plus, à peu près tous les paramètres dans les formules sont explicitement définis à partir d’essais en laboratoire. Contrairement à la théorie de Biot, la formule de De la Cruz et Spanos ne nécessite pas de module macroscopique de cisaillement. En comparant les résultats avec les mesures expérimentales, Eastwood (1993) a montré que cette théorie pourrait être utilisée pour prévoir la variation de la vitesse de compression en fonction de la température avec un accord inférieur à 5 % dans la plage de température de 22°C à 125°C. Ce modèle prédit en revanche une augmentation marginale la de vitesse des ondes S avec la température, ce qui est contraire à ce qui est observé expérimentalement.

• Modèle de Leurer-Dvorkin

Leurer et Dvorkin (2000) ont étudié l'influence d'un fluide très visqueux recouvrant les grains sphériques dans un emballage aléatoire dense. Dans ce système, le fluide peut agir en tant que ciment de contact. Les contacts entre les grains sont ponctuels. Le modèle est à priori appliqué dans le cas où la contrainte effective est nulle. Par la suite, Leurer et Dvorkin (2006) ont développé ce modèle pour qu’il puisse tenir compte de l'effet de la contrainte effective ainsi que du changement de géométrie de la zone de contact sous l'effet de la contrainte.

• Modèle de Ciz- Shapiro

Ce modèle est une extension de la formule de Biot-Gassmann pour le cas où le matériau de remplissage possède les propriétés élastiques d'un solide (Ciz et Shapiro, 2007), voire des propriétés viscoélastiques (Ciz et al., 2009). Appliqué au sable à brut lourd, ce modèle permet de prendre en compte le module de cisaillement non négligeable du brut lourd. Dans le cas où les pores sont remplis par des liquides sans rigidité de cisaillement et où la matrice rocheuse est constituée d'un seul minéral isotrope homogène, les formules de Ciz et Shapiro deviennent analogues à celles de Biot-Gassmann.

Dans les paragraphes suivants, nous allons détailler les formules mathématiques des trois modèles qui semblent les plus appropriés pour traiter certains aspects du comportement des sables bitumineux: Hashin-Shtrikman, Leurer et Dvorkin et Ciz et Shapiro.