Structures multimod`eles

Le m´ecanisme d’interpolation mis en jeu lors de la prise en compte des contributions respectives des sous-mod`eles s’effectue via la somme pond´er´ee des sorties des sous-mod`eles [67]. Chaque sous-mod`ele poss`ede par cons´equent un espace d’´etat qui lui est propre et dans lequel il peut ´evoluer ind´ependamment en fonction de son ´etat initial et du signal de commande.

La repr´esentation d’´etat locale (Ai, Bi, Ci, Di) du i`eme sous-mod`ele s’´ecrit :

 _˙

Xi(t) = AiXi(t) + BiU(t)

Yi(t) = CiXi(t) + DiU(t)

(3.1) Le vecteur de sortie global du syst`eme sous sa forme multimod`eles est la somme pond´er´ee des sous-mod`eles (figure 3.1) :

Y (t) = n X i=1 µi(t)Yi(t) (3.2) ˙ X1(t) = A1X1(t) + B1U(t) Y1(t) = C1X1(t) + D1U(t) ˙ X2(t) = A2X2(t) + B2U(t) Y2(t) = C2X2(t) + D2U(t) ˙ Xn(t) = AnXn(t) + BnU(t) Yn(t) = CnXn(t) + DnU(t) U(t) Y1(t) Y2(t) Yn(t) µ1(t) µ2(t) µn(t) Π Π Π Y (t) Σ

Figure _{3.1 – Multimod`ele `a ´etats d´ecoupl´es}

Les fonctions de pond´eration entres les sous-mod`eles sont des fonctions non-lin´eaires, normalis´ees entre 0 et 1.



0 ≤ µi(t) ≤ 1

Pn

i=1µi(t) = 1 (3.3)

Elles peuvent ˆetre mesurables (d´ependantes de l’entr´ee U(t) ou des sorties Yi(t) du

syst`eme) ou non mesurables (l’´etat Xi(t) du syst`eme par exemple).

Cette structure offre des avantages int´eressants en terme de flexibilit´e par rapport aux changements occasionn´es par les non-lin´earit´es sur le syst`eme. La dimension des sous-mod`eles peut ˆetre ajust´ee en fonction de la complexit´e du syst`eme dans les zones de fonctionnement, ce qui rend bien adapt´ee cette formulation pour des syst`emes ayant des non-lin´earit´es importantes. En revanche, les sorties des sous-mod`eles d´ecoulent de

3.3. Mod`eles de syst`emes par une approche multimod`eles

la mani`ere dont est construit le multimod`eles pour d´ecrire le comportement des non- lin´earit´es du syst`eme r´eel. Ce sont g´en´eralement des signaux artificiels, d´epourvus de sens physique. On leur pr´ef´erera pour le cadre applicatif les multimod`eles `a ´etats coupl´es. 3.3.1.2 Multimod`eles `a ´etats coupl´es

La structure multimod`eles `a ´etats coupl´es ou de Takagi-Sugeno a d’abord ´et´e introduite dans le contexte de la logique floue [69]. Les sous-mod`eles (Ai, Bi, Ci, Di) poss`edent le

mˆeme ´etat global X(t) et la mˆeme sortie Y (t) :  _˙

X(t) = AX(t) + BU(t)

Y (t) = CX(t) + DU(t) (3.4)

Les ´etats locaux et les sorties peuvent ˆetre interpol´es par les fonctions de pond´erations µi (figure 3.2), avec A = ΣµiAi, B = ΣµiBi, C = ΣµiCi et D = ΣµiDi.. A1X(t) + B1U(t) C1X(t) + D1U(t) A2X(t) + B2U(t) C2X(t) + D2U(t) AnX(t) + BnU(t) CnX(t) + DnU(t) U(t) µ1(t) µ2(t) µn(t) Π Π Π ˙ X(t) Σ R X(t) µ1(t) µ2(t) µn(t) Π Π Π Y (t) Σ

Figure _{3.2 – Multimod`eles `a ´etats coupl´es}

De cette structure g´en´erale, plusieurs possibilit´es de formes multimod`eles peuvent ˆetres d´efinies. On peut r´ef´erencer notamment : les formes lin´eaires par morceaux [68] o`u les fonctions de pond´eration sont de types bool´eennes, les formes LPV [70] o`u ce sont les param`etres variants qui jouent le rˆole des fonctions de pond´eration, et ´egalement les formes `a incertitudes polytopiques [71] o`u les matrices de la repr´esentation d’´etat ne sont pas parfaitement connues mais la connaissance de leurs bornes permet de les exprimer lin´eairement par une combinaison barycentrique.

Afin d’obtenir un multimod`ele de Takagi-Sugeno, trois approches sont possibles. 1. La premi`ere repose sur les techniques d’identification. La structure du mod`ele ainsi

que les fonctions de pond´eration sont souvent choisies a priori. En utilisant des jeux de donn´ees d’entr´ees-sorties r´ecolt´ees `a partir des mesures effectu´ees sur le syst`eme r´eel, des techniques d’identification sont ensuite mises en place [72]. La pr´ecision du multimod`eles d´epend fortement de la qualit´e des donn´ees disponibles et des choix du nombre de sous-mod`eles, des fonctions de pond´eration, du partitionnement dans l’espace de fonctionnement.

2. La seconde approche repose sur la lin´earisation du mod`ele non lin´eaire autour de plu- sieurs points de fonctionnement. Des sous-mod`eles lin´eaires d´ecrivent alors chaque zone de fonctionnement. Les fonctions de pond´eration sont d´etermin´ees en utili- sant des techniques d’optimisation minimisant l’erreur quadratique de sortie [73]. La perte d’information due notamment `a la lin´earisation constitue le principal in- conv´enient de cette approche.

3. La troisi`eme approche est bas´ee directement sur la connaissance analytique du mo- d`ele non lin´eaire. Contrairement aux deux approches pr´ec´edentes qui donnent une approximation du mod`ele non lin´eaire par l’interm´ediaire d’une identification plus ou moins cons´equente, cette troisi`eme m´ethode, initialement introduite par [74] et g´en´eralis´ee ensuite par [65], fournit un mod`ele de Takagi-Sugeno repr´esentant de mani`ere exacte le mod`ele non lin´eaire.

En disposant du mod`ele non-lin´eaire de l’articulation m´ecatronique, identifi´ee lors du chapitre 2, cette approche est privil´egi´ee. Elle offre de nombreux avantages pour notre application :

– En consid´erant que les sous-mod`eles sont caract´eris´es par les valeurs extr´emales des non-lin´earit´es, il est possible de d´efinir un domaine convexe `a l’int´erieur duquel le mod`ele non-lin´eaire global se situe toujours.

– La conservation du sens physique des param`etres de la repr´esentation d’´etat mod´e- lis´ee permet directement de caract´eriser les plages de variation des non-lin´earit´es. En particulier, il est ais´e ici de d´efinir les valeurs extr´emales des non-lin´earit´es : but´ees m´ecaniques pour les positions extrˆemes et gammes de variation de vitesse pr´ealablement d´efinies par les limitations physiques ou par la commande future. – Les sous-mod`eles sont par d´efinition LTI, ce qui permet d’envisager une application

proche de la th´eorie existante sur la synth`ese d’observateurs d’´etats lin´eaires. Cela permet notamment d’agir sur la dynamique d’observation qui doit ˆetre maitris´ee en vue de la synth`ese d’une commande concevable `a partir des grandeurs ext´eroceptives ainsi estim´ees.

– Les pond´erations entres les sous-mod`eles incluent les non-lin´earit´es qui ne sont pas toujours mesurables. Les travaux de [66] dans cette configuration traitent ce cas particulier et son application dans le cadre robotique pourra ˆetre d´evelopp´ee. – Cette structure d’observation pourra ˆetre exploit´ee de mani`ere duale pour la syn-

th`ese de commande lors du chapitre 4.

La reformulation du mod`ele est d’abord consid´er´ee avant de pouvoir d´evelopper la probl´ematique de synth`ese d’observateur d’´etats. Une m´ethode de passage du mod`ele non-lin´eaire (2.56) vers une repr´esentation de type multimod`eles est propos´e dans ce qui suit.