Structure générale des algorithmes proposés

Notons que, dans le but d’accélérer la convergence des algorithmes proposés, dans les chapitres suivants, nous avons décidé de mettre à jour l’ensemble de matrices cibles ou de tenseurs cibles systématiquement après l’estimation de chacune des matrices élémentaires, et cela quelle que soit la stratégie choisie. Dans l’Algorithme 1, nous présentons sous la forme d’un pseudo-code la structure générale des algorithmes que nous avons développés au cours de cette thèse.

Algorithme 1 Structure générale des algorithmes proposés

1: input : Ensemble de cibles (matrices carrées ou tenseurs d’ordre trois cubiques)

2: Initialiser la matrice diagonalisante

3: Mettre à jour des matrices cibles

4: repeat le balayage suivant

5: for 1 ≤ i < j ≤ N_s do

6: Estimer les paramètres u^ij et `^ij selon la stratégie choisie (2.87) ou (2.88)

7: Mettre à jour les cibles

8: Mettre à jour la matrice diagonalisante

9: end for

10: until convergence

2.5. Méthodes proposées pour les algorithmes développés 37

Conclusion

Au cours de ce chapitre, nous avons défini le cadre des problèmes de diagonalisation conjointe, d’ICA et de séparation de sources, ainsi que les liens entre ces différents domaines. Puis, nous avons présenté les méthodes mises en œuvre, au cours de cette thèse, pour le développement des algorithmes de diagonalisation conjointe non-unitaire proposés pour des ensembles de matrices (chapitre 3) et de tenseurs d’ordre trois (chapitre 4).

Chapitre 3

Algorithmes de diagonalisation conjointe

non-unitaire de matrices

Dans ce chapitre, nous développons des méthodes pour l’estimation algébrique de pa-ramètres dans le cadre de la diagonalisation conjointe non-unitaire de matrices. On ne s’in-téressera qu’aux ensembles de matrices complexes symétriques (2.11) et aux ensembles de matrices hermitiennes (2.15). En effet, dans le cadre de la séparation de sources (notamment pour les signaux de télécommunications numériques), les modèles complexe symétrique (2.12) et hermitien (2.16) sont particulièrement utiles et utilisés pour tout type de signaux.

3.1 Introduction

Rappelons succinctement, les données du problème détaillées au paragraphe 2.1.2. On

considère un ensemble de K (K ≥ 2) matrices M_k respectant le modèle générique suivant

pour tout k ∈ K

M_k= AD_kA^† (3.1)

où A ∈ A_No×Ns (2.3) avec N_s ≤ N_o. Dans le cas complexe symétrique, on aura (·)^† = (·)T et D_k ∈ CNs×Ns et dans le cas hermitien, on aura (·)^† = (·)H et D_k ∈ RNs×Ns. On cherche une matrice diagonalisante B ∈ B_Ns×No (2.8) telle que les matrices transformées

M⁰_k= BM_kB^† (3.2)

soient les plus diagonales possibles. Au paragraphe 2.5, nous avons présenté les méthodes mises en œuvre pour le développement des algorithmes de cette thèse. Pour chacun des deux ensembles de matrices considérées, nous proposons un algorithme de type Jacobi basé sur une paramétrisation LU de la matrice de diagonalisation. Cependant, la décomposition (2.72)

obtenue à l’aide de la procédure de Jacobi ainsi que la factorisation LU (2.84) se justifient pour des matrices carrées. Or, on considère, ici, une matrice diagonalisante de dimensions N_s× N_o. En supposant que nous connaissons les dimensions du problème, une solution est d’initialement décomposer la matrice B comme

B = B_rB_o (3.3)

où B_o ∈ CNs×No est une matrice de rang plein en ligne et B_r ∈ CNs×Ns est une matrice inversible. La matrice B_o correspond à une initialisation de la matrice diagonalisante B et B_r est appelée matrice diagonalisante réduite. Une fois l’initialisation B ← B_o faite, les matrices M_k (3.1) de dimensions N_o× N_o sont mises à jour par la transformation suivante

R_k = B_oM_kB^†_o (3.4)

où R_k ∈ CNs×Ns.

Remarques :

• En séparation aveugle de sources, on connaît le nombre d’observations N_o, mais le nombre de sources N_s peut être inconnu. Toutefois, il existe des méthodes d’estima-tion de N_s. L’une d’elles, relativement simple, consiste à prendre deux matrices de l’ensemble des M_k (3.1) et calculer leur GEVD. Idéalement, en l’absence de bruit, le nombre de sources correspond au nombre de valeurs propres non-nulles. En présence de bruit, les plus petites valeurs propres correspondent à la contribution du bruit. Si les M_kconsidérées sont des matrices de covariance, les modules de ces valeurs propres sont de l’ordre de la puissance du bruit. Il est possible d’établir un seuil au-dessus duquel le module des valeurs propres correspond à la contribution des différentes sources. Ainsi on détermine Ns.

• En séparation de sources, la transformation (3.4) permettant une réduction de di-mensions est appelée projection sur l’espace signal.

Finalement, le problème de diagonalisation conjointe est le suivant. A partir de l’ensemble des nouvelles matrices cibles R_k, nous allons estimer la matrice diagonalisante réduite B_r à l’aide d’une procédure itérative de type Jacobi. Nous décomposons B_r en produit de matrices élémentaires B_r = Ns−1 Y i=1 Ns Y j=i+1 B^ij_r. (3.5)

3.1. Introduction 41 Chacune des matrices élémentaires est ensuite estimée en optimisant le critère inverse

J (B^ij_r) = K X

k=1

k ZDiag{B^ij_rR_kB^{ij †}_r } k² . (3.6)

Deux approches sont considérées :

• Une approche que l’on qualifiera de classique, où l’on minimise simplement le critère précédent appliqué aux matrices transformées

R⁰_k = B^ij_rR_kB^{ij †}_r (3.7)

sans hypothèse particulière.

• Une approche adaptée, décrite au paragraphe 2.5.2, qui consiste à minimiser le même critère (3.6) mais en supposant, cette fois, que l’on est déjà proche d’une solution diagonalisante.

Afin d’assurer la contrainte det(B^ij_r) = 1 et la pseudo-inversibilité de B, nous avons décidé d’utiliser une décomposition LU sur les matrices B^ij_r . La partie utile de B^ij_r s’écrit donc

e B^ij_r = eL^ijUe^ij = ^{1 0} `<sup>ij</sup> 1 ! 1 u<sup>ij</sup> 0 1 ! = <sup>1 u</sup> ij `^ij 1 + `^iju^ij ! . (3.8)

Deux stratégies d’estimation des paramètres des matrices L^ij et U^ij sont également envisa-gées :

• La stratégie découplée, qui consiste à estimer Bij

r = U^ij à L^ij fixée, pour tous les couples (i, j) avec 1 ≤ i < j ≤ N_s, puis à faire de même pour l’estimation des L^ij. Ainsi l’estimation de chacun des paramètres `^ij et u^ij est faite de façon indépendante. • La stratégie couplée, où pour chaque couple (i, j) tel que 1 ≤ i < j ≤ N_s, une

matrice Bij

r = LijUij est estimée. Ainsi, on cherche la valeur optimale du couple de paramètres (`ij, uij).

Finalement, quel que soit l’ensemble de matrices considéré (complexe symétrique ou hermi-tien), il y a quatre méthodes d’estimation possibles, correspondant aux combinaisons des deux approches envisagées liées au critère et des deux stratégies d’estimation des paramètres.

1. Une méthode basée sur l’approche classique et la stratégie découplée a été proposée par Afsari dans [1] dans le cas réel, puis a été étendue pour des ensembles de matrices hermitiennes par Wang et al. dans [127]. Cette dernière est résumée dans le paragraphe 3.2.1.2. Nous avons généralisé l’algorithme LUJ1D [1] pour des ensembles de matrices complexes symétriques dans le paragraphe 3.2.1.1.

2. Dans le paragraphe 3.2.2, nous proposons l’algorithme ALUJA (pour Alternate LU Jacobi-like Algorithm) basé sur l’optimisation du critère inverse selon l’approche adap-tée et reposant sur la stratégie découplée. Pour cet algorithme, la minimisation du critère se fait par la recherche de racines de sa dérivée.

3. Dans le paragraphe 3.3.1, nous proposons un algorithme basé sur la stratégie d’es-timation couplée, nommé G-CLUJA (pour Gradient descent method for Coupled LU Jacobi-like Algorithm) et qui consiste à optimiser le critère inverse selon l’approche classique. L’estimation des paramètres se fait par une méthode du gradient avec le calcul d’un pas optimal.

4. Une méthode d’estimation concernant l’approche adaptée, combinée à une stratégie d’estimation couplée des paramètres est proposée dans le paragraphe 3.3.2 et l’al-gorithme en résultant est noté A-CLUJA (pour Adapted approach for Coupled LU Jacobi-like Algorithm). Pour cet algorithme, l’estimation des paramètres se fait par une méthode de recherche de vecteur propre.

Le tableau 3.1 permet d’associer à chaque approche et à chaque stratégie son algorithme correspondant, ainsi que le paragraphe ou la référence dans lequel le cœur de l’algorithme est développé. Le symbole § signifie paragraphe, (R) et (C) précisent que l’algorithme est développé dans le cas réel ou dans le cas complexe respectivement.

P P P P P P P P_P Approche Stratégie Découplée Couplée

Classique Modèle symétrique (R) : LUJ1D [1] G-CLUJA :

Modèle symétrique (C) : §3.2.1.1 Modèle symétrique (C) : §3.3.1.1

Modèle hermiten (C) : LUJCD [127] Modèle hermitien (C) : §3.3.1.2

décrit §3.2.1.2

Adaptée ALUJA : A-CLUJA :

Modèle symétrique (C) : §3.2.2.1 Modèle symétrique (C) : §3.3.2.1

Modèle hermitien (C) : §3.2.2.2 Modèle hermitien (C) : §3.3.2.2

Table 3.1 – Récapitulatifs des algorithmes matriciels de diagonalisation conjointe non-unitaire proposés selon l’approche liée au critère d’optimisation et la stratégie d’estimation des paramètres choisies

Dans les paragraphes suivants de ce chapitre, nous décrivons les méthodes d’estimation des matrices élémentaires réduites B^ij_r pour chacun des algorithmes développés. Pour une meilleure lisibilité, nous n’écrirons plus l’indice r des matrices Bij

r. Pour un couple (i, j), i < j donné, définissons les ensembles suivants qui nous seront utiles par la suite :