Structure d’un r´eseau bool´een

Dans un r´eseau d’automates bool´eens, les automates sont g´en´eralements num´erot´es de 1 `a

n. L’ensemble des automates est donc l’ensemblefini X ={1, . . . , n}. Chacun d’entre eux peut

prendre la valeur 0 (on dira que l’automate estinactif ou´eteint) ou la valeur 1 (l’automate est

alorsactif ou allum´e). L’ensemble S des ´etats est donc le mˆeme pour tous les ´el´ements i∈X

du r´eseau : S = {0,1}. Soit i un ´el´ement du r´eseau, nous associons `a l’automate i∈ X une

variable bool´eenne x_i qui repr´esente son ´etat courant. Sitd´esigne un temps discret (i.e.t∈N),

on noteraxt

i ouxi(t) l’´etat de l’´el´ement i au tempst.

La structure d’un r´eseau bool´een est donn´ee par le graphe d’interaction GI = (X,A). A est

l’ensemble des arˆetes ou connexions du r´eseau :A ⊆X ×X. Un ´el´ement deA sera not´e (i, j)

ou encore (i→ j), o`u i et j sont deux ´el´ements de X. Si (i→ j) ∈ A, on dira que l’´el´ement

iinfluence l’´el´ement j. Il est souvent d’usage de pr´ef´erer une notation matricielle pour d´efinir

les connexions du r´eseau :

D´efinition 3.10 (Matrice d’incidence) Soit un graphe d’interaction GI = (X, A) et soit n =

card(X) ∈ N^∗. On d´efinit la matrice d’incidence de GI comme ´etant la matrice bool´eenne B

de dimension n×ntelle que :

∀i, j ∈ {1, . . . , n}, bij=

1 si j influence i, i.e. si (j→i)∈A

0 sinon

Il nous faut d´efinir maintenant la notion de voisinage. Pour chaque automatei∈X, on note

Eil’ensemble desentr´eesdei, c’est-`a-dire l’ensemble des automates du r´eseau qui l’influencent :

La cardinalit´e de l’ensemble Ei, que nous noterons ki est appel´ee connectivit´e de l’´el´ement i.

Elle se calcule par la formule :

ki =

n

X

j=1

bij

Nous reviendrons dans le chapitre suivant sur cette grandeur qui s’av`erera importante dans

notre ´etude. Le vecteur des connectivit´es k = (ki)i=1...n se retrouve ais´ement en additionnant

les colonnes de B (addition dansN). On noteraK la connectivit´e maximale du r´eseau :

K = max{ki|i∈X}

Se donner un voisinage d’un ´el´ement i ∈ X du r´eseau consiste `a se donner un ordre sur Ei.

Le voisinage de l’´el´ement i, not´e N(i), est donc une bijection de {1, . . . , ki} dans Ei. Nous

choisissons ici l’ordre “naturel” des entiers :

N(i)(1) = minEi

N(i)(2) = min(Ei\ {N(i)(1)})

N(i)(3) = min(E_i\ {N(i)(1),N(i)(2)})

..

.

N(i)(k_i) = maxE_i

(3.8)

Nous supposerons dans la suite que l’ordre des entr´ees utilise toujours cette convention.

La derni`ere ´etape de la construction du r´eseau consiste `a se donner une fonction de transition

globale. Pour cela, nous passons par des fonctions de transitions locales. Etant donn´e un ´el´ement

i∈X du r´eseau, on appelle fonction de transition locale de l’´el´ement itoute fonction scalaire

bool´eennefi d´ependant de ki variables :

fi :{0,1}ki −→ {0,1}

La mise `a jourde l’´el´ement ipeut donc s’exprimer par l’´equation :

x^t_i⁺¹=fi

x^t_N(i)(1), . . . , x^t_N(i)(ki)

pour tout t∈N.

Pour simplifier cette expression, on pose i1 = N(i)(1), . . ., iki = N(i)(ki). On consid`ere

ensuite _fe_{i le prolongement de fi sur} {0,1}n : _fe_{i(x1, . . . , xn) = fi(xi1, . . . , xi}

ki). S’il n’y a pas

d’ambigu¨ıt´e, on notera ´egalement fi la fonction _fe_{i. Nous pouvons exprimer alors la fonction}

de transition globaledu r´eseau :

F : {0,1}n −→ {0,1}n

(x1, . . . , xn) 7−→







f₁(x₁, . . . , xn)

..

.

fn(x₁, . . . , xn)







Exemple 3.4

SoitR un r´eseau de dimension4. Supposons que les entr´ees de l’automate 1sont les automates

2 et 4 (i.e.E₁={2,4} et k₁ = 2), et que la fonction d’activation locale f₁ est :

f₁: {0,1}2 −→ {0,1}

On note_fe_{1 le prolongement def1 sur}{0,1}⁴ :

f₁ : {0,1}⁴ −→ {0,1}

(x₁, x₂, x₃, x₄) 7−→ x₂∧x₄

On s’autorise alors l’abus de notation suivant :_fe_{1(x1, x2, x3, x4) =f1(x1, x2, x3, x4) =f1(x2, x4)}

Voici `a pr´esent une d´efinition d’un r´eseau d’automates bool´eens. Cette d´efinition se base sur

la d´efinition 3.7 ainsi que sur les remarques pr´ec´edentes.

D´efinition 3.11 (R´eseau d’automate bool´een) Un r´eseau d’automates bool´eens de dimension

n est un triplet R= (X, B, F) o`u X ={1, . . . , n}, B est une matrice bool´eenne de dimension

n×net F une application de {0,1}n dans lui-mˆeme.

Remarque 3.6 Faisons quelques remarques terminologiques relatives `a cette d´efinition :

– La donn´ee du graphe d’interaction GI est ici remplac´ee par la donn´ee de la matrice

d’incidenceB. Il s’agit simplement d’une question d’usage, on peut facilement v´erifier que

la donn´ee de ces deux objets est math´ematiquement ´equivalente. Nous utiliserons donc

par la suite indiff´eremment les notions de graphe d’interaction ou de matrice d’incidence.

– Les ensembles d’´etats (Si)i∈X sont ici tous ´egaux `a

S ={0,1}

La fonction de voisinage N est la fonction d´efinie par le syst`eme (3.8).

– Pour chaque automate i ∈ X, l’ensemble Ei = {j∈X|bij = 1} se nomme ensemble

d’entr´ees de i. Il est ´egal `a l’ensemble des pr´ed´ecesseurs dei.

– La quantit´e ki =

n

X

j=1

bij est appel´ee connectivit´e apparente du nœudi. Nous reviendrons

sur la notion fondamentale de connectivit´e dans l’exemple ci-dessous ainsi que dans le

chapitre suivant.

– La fonction vectorielleF :{0,1}n→ {0,1}nest la fonction de transition globale du r´eseau

R. Ses composantesf_i(iallant de1`an) sont les fonctions de transitions locales du r´eseau.

Nous rappelons ici que chaque fi est en fait d´efinie sur{0,1}ki mais on notera ´egalement

fi le prolongement de cette fonction `a {0,1}n (cf. exemple 3.4).

Exemple 3.5

Consid´erons le r´eseau de dimension4 d´efini par le graphe repr´esent´e par la figure suivante :

2

1

3

4

f₁(x₄) = ¬x₄

f₂(x₁, x₄) = x₁

f₃(x₂, x₄) = x₂∨x₄

f₄(x₃) = ¬x₃

Fig. 3.2: Graphe d’interaction et fonctions de transitions locales associ´ees `a

un r´eseau de dimension4.

La donn´ee de ce graphe et de la fonction F d´efinit enti`erement le r´eseau. La matrice

d’inci-dence peut ˆetre ais´ement retrouv´ee en examinant le graphe de la figure 3.2 :

B(F) =









0 0 0 1

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 1 0









En examinant de plus pr`es la fonction f₂(x₁, x₄), nous voyons qu’en fait son expression ne

d´epend pas de la variable x₄. La fl`eche reliant le g`ene 4 au g`ene 2 peut donc ˆetre enlev´ee du

graphe, ´etant donn´e qu’elle n’a aucune influence r´eelle sur l’´evolution du g`ene2. La connectivit´e

apparente du g`ene 2est ´egale `a 2, mais sa connectivit´e r´eelle semble en fait ˆetre ´egale `a 1.

Cet exemple nous montre que la d´efinition 3.11 ne d´efinit pas un r´eseau de fa¸con unique. En

effet, une fois la matrice d’incidence (ou de fa¸con ´equivalente le graphe d’interaction) choisie, le

choix des fonctions bool´eennesfipeut faire diminuer la connectivit´e d’un ou plusieurs ´el´ements

du r´eseau. Une d´efinition pr´ecise de la notion de connectivit´e r´eelle est donn´ee dans le chapitre

suivant.

L’objet r´eseau d’automates bool´eens entre donc dans la d´efinition 3.7 de r´eseaux

d’auto-mates sur un graphe. Dans ces d´efinitions, le temps n’intervient pas : ce sont des d´efinitions

statiques. L’objet de la partie qui suit est de d´efinir la dynamique, ou, comme nous allons

le voir, les dynamiques possibles de tels r´eseaux. Nous avons d´ej`a entraper¸cu, avec les

auto-mates cellulaires, que ces dynamiques s’expriment sous la forme d’it´erations sur des ensembles

d´enombrables, dont nous avons rappel´e les propri´et´es fondamentales au d´ebut de ce chapitre.

Dans le document Etude et modélisation mathématique de réseaux de régulation génétique et métabolique (Page 77-80)