Liens entre graphe de transition et graphe d’interaction

2

3 −^2π

16

= _O

N→∞(2^N)

Ceci entraˆıne que dans le casK =N (c’est-`a-dire en n’imposant aucune restriction `a priori sur

la connectivit´e), on trouve une grande proportion de r´eseaux pr´esentant des “grands” cycles.

Ce r´esultat est fondamental car il permet de relier une notion d’ordre dans le comportement

des r´eseaux `a la notion de connectivit´e. Si l’on consid`ere l’application `a la biologie, la notion

d’attracteur des r´eseaux est souvent li´ee au ph´enom`ene de diff´erentiation cellulaire (voir par

exemple [43]). Ce que l’on peut d´eduire du r´esultat pr´ec´edent est que la connectivit´e moyenne

(c’est-`a-dire le nombre moyen de g`enes influen¸cant chaque g`ene du r´eseau) dans un g´enome

doit ˆetre relativement faible pour assurer un nombre moyen peu ´elev´e d’attracteurs et surtout

l’absence de grands cycles.

D’autres r´esultats concernant la classe RBA(N, K) (on pourra par exemple consulter [7]

ainsi que sa bibliographie) sont disponibles. Ces r´esultats, qu’ils soient th´eoriques ou issus

de simulations semblent confirmer qu’une connectivit´e faible tend `a infl´echir au r´eseau un

comportement plus ordonn´e. Ceci est d’ailleurs confort´e par les exp´eriences r´ecentes sur les

r´eseaux de r´egulation g´en´etique : on observe dans la nature une proportion relativement faible

de g`enes `a forte connectivit´e (voir par exemple [74]).

3.3.3 Liens entre graphe de transition et graphe d’interaction

Le troisi`eme et dernier type d’analyse de la dynamique des r´eseaux bool´eens que nous citons

ici concerne un champ d’´etude plus r´ecent, qui consiste `a rechercher, pour un r´eseau donn´e,

des liens entre son graphe d’interaction GI et son graphe de transition GT. D`es les ann´ees

80, R. Thomas [76] propose des conjectures permettant d’expliciter certains de ces liens. Ces

conjectures se basent sur les observations suivantes :

– Si le r´eseau (dans son comportement asynchrone) v´erifie la propri´et´e demutistationnarit´e,

c’est-`a-dire si son graphe de transition comporte au moins deux points d’´equilibre stables,

alors son graphe d’interaction comporte une boucle de r´etroaction positive (i.e. il existe

un circuit ferm´eC dansGI tel que chaque ´el´ement deC influence positivement l’´el´ement

qui le suit).

– A l’inverse, l’existence d’un cycle stable dans GT semble impliquer dans GI l’existence

d’une boucle de r´etroaction n´egative.

Ces conjectures ont ´et´e d´emontr´ees pour plusieurs classes de r´eseaux, non discrets. Nous citons

ici diff´erentes d´emonstrations, en laissant le soin au lecteur de constater que les diff´erences

essentielles se situent dans les hypoth`eses faites sur les classes de r´eseaux consid´er´ees : [13,58,71].

La d´emonstration la plus g´en´erale est `a notre sens celle propos´ee par C. Soul´e [73], qui montre

que si un syst`eme dynamique continu :

dx

dt ^=F(x)

(o`uF est d´efinie et diff´erentiable sur un ouvert Ω) admet au moins deux points d’´equilibre non

d´eg´en´er´es, alors il existe a∈Ω tel que le graphe d’interaction associ´e `a la matrice jacobienne

J_F(a) de F en a(voir d´efinitions dans [73]) admet un circuit positif.

L’int´erˆet de chercher des liens entre les graphesGIetGT est ´evident. Le nombre de sommets

dans GI ´etant de n, le graphe d’interaction est beaucoup plus simple `a ´etudier que le graphe

de transition (qui comporte un nombre exponentiel de sommets). Il existe cependant un second

int´erˆet, tout aussi essentiel. En effet, lors de l’´etablissement de mod`eles discrets d’un r´eseau de

r´egulation g´en´etique, il faut une bonne connaissance du syst`eme biologique que nous voulons

reproduire. Or, certaines parties de ce syst`eme peuvent ˆetre mal connues, voire tout simplement

ignor´ees. Une analyse math´ematique et informatique des diff´erents mod`eles possibles peut donc

conduire `a certaines pr´edictions qui demanderont alors d’ˆetre v´erifi´ees par l’exp´erience.

Nous avons d´efini dans ce chapitre la notion de r´eseau d’automates bool´eens, en nous

ba-sant sur la notion plus g´en´erale de r´eseau d’automates sur un graphe. Comme nous l’avons

vu, les dynamiques de ces syst`emes sont donn´ees par l’it´eration d’applications discr`etes sur

un ensemble d´enombrable. Le champ d’´etude de tels syst`emes est vaste et vari´e. Nous avons

notamment d´ecrit trois domaines de recherche visant `a comprendre comment s’organise la

dy-namique de ces r´eseaux. Nous allons voir dans le chapitre qui suit une application concr`ete en

nous int´eressant au probl`eme de l’inf´erence.

Inf´erence d’un r´eseau bool´een

Dans le chapitre pr´ec´edent, nous avons d´efini la notion de r´eseau d’automates bool´eens

(d´efinition 3.11). Cette d´efinition est statique ; afin d’y faire intervenir le temps, nous associons

`a un r´eseau une strat´egie Ψ de mise `a jour des automates, ou mode op´eratoire. Une fois cette

strat´egie choisie, nous pouvons associer `a tout r´eseau R une application F : {0,1}n→ {0,1}n

et un graphe de transition GT(cf. d´efinition 3.3), c’est-`a-dire un graphe dont l’ensemble des

sommets est l’ensemble des configurations du r´eseau :C={0,1}n(nest la dimension du r´eseau),

et o`u les arˆetes correspondent au passage d’une configuration donn´ee `a sa configuration suivante

(en d’autres termes : ´etant donn´ees deux configurationsc, c⁰ ∈ C, il existe une arˆete allant dec`a

c⁰si et seulement sic⁰ =F(c)). En utilisant la terminologie des syst`emes dynamiques, l’ensemble

des chemins de ce graphe de transition GT constitue leportrait de phase du r´eseau R.

Nous nous posons `a pr´esent le probl`eme inverse : peut-on retrouver `a partir d’une application

F et de son graphe de tranition le ou les r´eseaux qui, ´etant donn´ee une strat´egie particuli`ere,

admettent comme portrait de phase le grapheGT ? Nous allons voir dans ce chapitre qu’il est

possible de r´epondre `a cette question dans le cas d’une strat´egie de mise `a jour parall`ele,

c’est-`a-dire o`u tous les automates ´evoluent simultan´ement `a chaque top d’horloge (voir th´eor`eme

4.1). Ce probl`eme porte le nom d’inf´erence, ou d’identificationde r´eseau puisqu’il s’agit de

retrouver, `a partir des transitions entre configurations, quelle est la topologie du r´eseau

(c’est-`a-dire comment sont connect´es les diff´erents automates entre eux et quelles sont les fonctions

d’activation des automates).

Dans l’application de la th´eorie des r´eseaux bool´eens `a la biologie et l’´etude de r´eseaux de

r´egulation g´en´etique, le probl`eme de l’inf´erence est li´e `a la technologie d´ej`a ´evoqu´ee des biopuces

`a ADN. En effet, cette technique nous permet aujourd’hui d’obtenir, `a l’´echelle d’un organisme

entier, le niveau d’expression des g`enes `a un instant donn´e. En r´ep´etant cette exp´erience `a

plu-sieurs instants successifs, nous obtenons ainsi unpatron d’expression du g´enome de l’organisme

sous certaines conditions fix´ees `a l’avance. L’id´ee sous-jacente de l’inf´erence consiste donc `a

retrouver `a partir de ces patrons les r´eseaux g´en´etiques connus, et surtout de pr´edire certaines

interactions encore inconnues.

Nous reprenons dans ce chapitre un algorithme pr´esent´e dans la litt´erature sous le nom de

REVEAL (REVerse Engineering ALgorithm) (voir notamment [20, 46], voir aussi [2, 3]), dont

nous proposons une preuve. Nous consid´erons ´egalement l’algorithme d’identification partielle

permettant de retrouver l’ensemble des r´eseaux `a partir d’un sous-graphe de GT. Nous nous

int´eressons enfin au probl`eme de consistance minimale pour lequel nous proposons

notam-ment un r´esultat liant la taille des donn´ees et la probabilit´e d’inf´erer correctenotam-ment le r´eseau

correspondant (dans le cas d’un support minimal fix´e).

4.1 Pr´esentation du probl`eme