Structure de groupe

Un groupe homog`ene G est la donn´ee de Rn ´equip´e d’une structure de groupe de Lie et d’une famille de dilatations qui sont des automorphismes de groupe. Nous avons alors deux applications diff´erentiables

· : Rⁿ× Rⁿ → Rⁿ et ·⁻¹: Rⁿ → Rⁿ x, y 7−→ x · y x 7−→ x⁻¹

qui font de (Rn, ·, ·−1) un groupe. Nous supposerons toujours que l’´el´ement neutre du groupe s’identifie avec l’origine de Rn.

Pour les dilatations, nous les d´efinissons en fixant des entiers {ai}1≤i≤n tels que 1 = a1 = ... = am ≤ ... ≤ an et en posant pour α > 0 :

δ_α : Rn −→ Rn (2.1)

x 7−→ δα[x] = (α^a1x1, ..., α^anxn). Nous avons en particulier les deux points suivants :

(a) δα[x · y] = δα[x] · δα[y] (par l’hypoth`ese d’automorphisme) (b) δα[δβ[x]] = δαβ[x].

Par la suite, et par un souci de clart´e et de concision, on notera souvent αx au lieu de δα[x] et α d´esignera toujours un r´eel strictement positif.

Une premi`ere cons´equence de la d´efinition des dilatations s’observe dans la forme que prend la loi de groupe. Il est en effet possible de voir que celle-ci sera polynˆomiale :

(∀x, y ∈ G) x · y = x + y + P (x, y) (2.2) pour P : Rn× Rn → Rn un certain polynˆome tel que P (0, 0) = P (x, 0) = P (0, y) = 0. De plus, en ´ecrivant P = (P1, ..., Pn), chaque Pk est homog`ene de degr´e ak. Nous prions le lecteur de consulter [75] p. 618 pour une d´emonstration.

2.1. Pr´esentation 43

Le lecteur peut se convaincre facilement que l’espace euclidien Rn avec sa structure de groupe et muni des dilatations usuelles (i.e. ai = 1 pour i = 1, ..., n) est un groupe homog`ene. Voici un autre exemple que nous d´evelopperons au fur et `a mesure de notre expos´e et qui servira de r´ef´erence pour illustrer les techniques que nous souhaitons ´etudier : Le groupe de Heisenberg

On note x = (x1, x2, x3) un ´el´ement de R3. On consid`ere la loi de groupe avec l’ex-pression :

x · y = (x1, x2, x3) · (y1, y2, y3) = (x1+ y1, x2+ y2, x3+ y3+¹

2^(x1y2− y1x2)) (2.3) L’´el´ement inverse est donn´e par (x1, x2, x3)−1 = (−x1, −x2, −x3), l’´el´ement neutre est (0, 0, 0) et il est facile de v´erifier que ce groupe n’est pas commutatif : tout simplement x1y2− y1x2 est l’oppos´e de x2y1− y2x1.

Nous d´efinissons dans ce groupe la dilatation suivante :

δα : R³ −→ R³ (2.4)

x = (x1, x2, x3) 7−→ δα[x] = (αx1, αx2, α²x3)

Ici nous avons a1 = a2 = 1 et a3 = 2 et nous v´erifions sans peine les propri´et´es (a) et (b) de la page pr´ec´edente pour cette dilatation.

On notera dor´enavant H le triplet form´e de R3, de la loi de groupe (2.3) et de la dilatation (2.4).

Revenons aux groupes homog`enes.

La dimension homog`ene par rapport `a la dilatation (2.1) sera donn´ee par la somme des exposants de la dilatation :

N = ^X

1≤i≤n

ai. (2.5)

Remarquons qu’elle est toujours plus grande que la dimension topologique n : on a bien N ≥ n puisque les exposants ai v´erifient ai ≥ 1 pour tout i = 1, ..., n.

Par exemple, dans le cas du groupe de Heisenberg, on obtient N = 4 et n = 3 tandis que dans le cas euclidien ces deux notions co¨ıncident.

Voici une d´efinition importante lorsqu’on dispose d’une structure de dilatation : D´efinition 2.1.1 Nous dirons qu’une fonction sur G \ {0} est homog`ene de degr´e λ ∈ R par rapport `a la dilatation δα si elle v´erifie f (δα[x]) = αλf (x) pour tout α > 0.

De mˆeme, nous dirons qu’un op´erateur diff´erentiel D est homog`ene de degr´e λ si D(f (δα[x])) = αλ(Df )(δα[x]) pour tout f appartenant au domaine de l’op´erateur.

44 Chapitre 2. Les groupes de Lie stratifi´es En particulier, si f est homog`ene de degr´e λ et si D est un op´erateur diff´erentiel de degr´e µ, alors Df sera homog`ene de degr´e λ − µ.

Ces groupes ne sont pas forc´ement ab´eliens -nous l’avons bien vu avec le groupe de Heisenberg. Nous nous pla¸cons alors dans un cadre non-commutatif et il faudra prendre en compte l’invariance `a gauche (ou `a droite) des objets ´etudi´es.

Nous invitons de lecteur `a consulter [52], [60], [69], [31] et [75] pour plus de d´etails sur la structure de groupe.

Norme et distance

Ces deux objets sont tout `a fait essentiels pour pouvoir poursuivre notre ´etude. Il est possible de munir tout groupe homog`ene G d’une norme, que l’on notera | · |, avec les propri´et´es suivantes :

(a) Pour x ∈ G on a |x| ≥ 0, avec |x| = 0 si et seulement si x = 0, (b) Pour x ∈ G et α > 0, on a |αx| = α|x|.

(c) (∀x ∈ G) |x| = |x−1|,

(d) (∀x, y ∈ G) |x · y| ≤ |x| + |y|.

Voici un exemple de norme pour les groupes homog`enes : |x| = max_1≤j≤n{|xj|^1/aj}.

Notons que cette expression ne satisfait pas la propri´et´e (d) mais v´erifie |x·y| ≤ c(|x|+|y|) pour une certaine constante c : c’est donc une quasi-norme. Indiquons toutefois que cette propri´et´e suffit pour notre ´etude et pour bien d’autres applications (cf. [75]).

Dans le cas du groupe de Heisenberg on consid`ere la fonction suivante

(∀x ∈ H) |x| =^h x²₁+ x²₂
²+ 16x²₃^i1/4 (2.6) qui satisfait les conditions (a)-(c) ci-dessus de fa¸con ´el´ementaire. Il est par contre moins ´evident de v´erifier que l’on a l’in´egalit´e triangulaire. Voir [23], [43], [75] pour une justifi-cation de ce r´esultat.

A partir de cette norme d´efinie sur G nous pouvons d´efinir deux distances avec les expressions :

d1(x, y) = |y⁻¹· x| et (2.7)

2.1. Pr´esentation 45

qui poss`edent les propri´et´es usuelles qui d´ecoulent de celles de la norme (dans ce qui suit d repr´esente indistinctement d1 et d2) :

1. d(x, x) = 0 et d(x, y) > 0 pour x 6= y, 2. d(x, y) = d(y, x),

3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), pour tout x, y, z ∈ H, 4. d(δα[x], δα[y]) = αd(x, y), pour tout α > 0.

Observons que ces deux distances sont bien homog`enes mais la premi`ere distance est invariante `a gauche, tandis que la deuxi`eme l’est `a droite.

En effet, soit z un ´el´ement du groupe G, on a bien

d1(z · x, z · y) = |y⁻¹· z⁻¹· z · x| = |y⁻¹· x| = d1(x, y) ∀x, y ∈ G et en proc´edant de la mˆeme mani`ere on obtient l’invariance `a droite pour d2 :

d2(x · z, y · z) = d2(x, y).

En revanche, d1 n’est pas invariante `a droite et d2 n’est pas invariante `a gauche.

Ce fait est soulign´e par le fait que ces distances ne sont pas ´equivalentes.

Pour le voir d’une fa¸con plus claire, nous nous pla¸cons sur le groupe de Heisenberg afin de donner une expression explicite de ces deux distances d1 et d2 obtenues `a partir de la norme (2.6) : d1(x, y) = |y⁻¹· x| =  (x1− y1)²+ (x2− y2)^2
2+ 16(x3− y3+¹ 2^(x1y2− x2y1))² 1/4 d₂(x, y) = |x · y⁻¹| =  (x₁− y1)²+ (x₂− y2)^2
2+ 16(x₃− y3+¹ 2^(x2y1− x1y₂))² 1/4

Soient alors xk et yk deux points du groupe H d´etermin´es par xk = (k2, 1/k, k) et yk= (k2, −1/k, 0), pour k ∈ N. Un calcul direct nous montre que l’on a pour la premi`ere distance :

d1(xk, yk) = 2/k −→

k→∞0, tandis que pour la deuxi`eme distance on obtient :

d2(xk, yk) ≃ 2^√2k −→

46 Chapitre 2. Les groupes de Lie stratifi´es Du point de vue de d1, xk et yk sont donc tr`es proches, mais du point de vue de d2 ils s’´ecartent l’un de l’autre de plus en plus.

Nous obtenons alors deux espaces de types homog`enes distincts dans le sens de Coif-man et Weiss [21] en fonction du choix de la distance.

On fixera d´esormais notre attention sur la distance invariante `a gauche et nous consid´ererons tous les objets de fa¸con `a conserver cette propri´et´e. On posera donc d = d1.

Une fois que nous avons fix´e cette distance, nous consid´erons les boules caract´eris´ees par la formule

B(x, r) = {y ∈ G/d(x, y) < r}.

Remarquons qu’alors nous avons B(x, r) = x · B(0, r), et par homog´en´eit´e, que B(0, r) = δrB(0, 1) pour r > 0.