7.2 Groupes de Lie nilpotents
7.2.1 D´efinitions et propri´et´es
7.2 Groupes de Lie nilpotents
On se propose d’am´eliorer le th´eor`eme 7.1.3 pour une classe de groupes que se situent `a “mi-chemin” entre les groupes stratifi´es que nous avons d´ej`a vu et les groupes `a croissance polynˆomiale dont l’´etude a ´et´e faite dans la section pr´ec´edente.
7.2.1 D´efinitions et propri´et´es
Soit g une alg`ebre de Lie `a dimension finie. On pose g1 = g et gi = [g, gi−1] pour i ≥ 2. La suite (gi)i>0 est une suite d´ecroissante de sous-alg`ebres de Lie de g (cf. [81]).
Une alg`ebre de Lie est nilpotente de rang r si l’on a gr+1 = {0}. Un groupe de Lie sera nilpotent de rang r si son alg`ebre v´erifie cette propri´et´e. Nous savons que les groupes de Lie stratifi´es sont un exemple particulier de groupes nilpotents. La g´en´eralisation dans cette section provient du fait que tout groupe de Lie nilpotent n’est pas forc´ement muni d’une structure de dilatation (cf. [31]).
Nous supposerons dans cette section que G est un groupe de Lie nilpotent de rang r et simplement connexe. Il est alors possible de voir que l’application exponentielle est un diff´eomorphisme global de g dans G et la mesure de Haar sur le groupe est l’image de la mesure de Lebesgue sur g sous ce diff´eomorphisme (cf. [81]).
De plus, si X = {X1, ..., Xk} est un syst`eme de H¨ormander pour un groupe nilpotent, nous lui associerons la distance de Carnot-Carath´eodory dc donn´ee par (7.2) ainsi que le sous-Laplacien (7.7).
Le noyau de la chaleur ht d´etermin´e par la famille X v´erifie quelques estimations int´eressantes qui ne sont pas vraies pour tout groupe `a croissance polynˆomiale. En effet, le r´esultat qui suit est `a rapprocher du th´eor`eme 7.1.1, mais la grande diff´erence est que l’on dispose d’estimations valables pour tout t > 0.
Th´eor`eme 7.2.1 Soit G un groupe de Lie nilpotent, soit X un syst`eme de H¨ormander et ht le noyau de la chaleur associ´e. Alors, pour tout m ∈ N et pour tout multi-indice I, il existe une constante C > 0 telle que, pour ε > 0 :
XIht(x) ≤ C t−|I|/2[V (√
7.2. Groupes de Lie nilpotents 153
pour tout x ∈ G et pour tout temps t > 0.
Le lecteur peut trouver une d´emonstration de ce r´esultat dans le livre [81] (Th´eor`eme IV.4.2 ).
Voici maintenant deux cons´equences de ces estimations du noyau de la chaleur : Corollaire 7.2.1 Soient t > 0, 1 ≤ p ≤ ∞, α ∈ N et I un multi-indice. Il existe alors C > 0 telle que : (1 + | · |)αXIht(·) p ≤ C t−|I|/2(1 +√ t)α[V (√ t)]−1/p′, (7.30)
Si l’on consid`ere la th´eorie spectrale, il vient :
Corollaire 7.2.2 Soit Mt le noyau de l’op´erateur m(t∆) = R0∞m(tλ)dEλ o`u la fonction m v´erifie la condition (7.15) pour un certain n.
Sous les hypoth`eses du corollaire pr´ec´edent (en particulier pour tout temps t > 0), il existe une constante C > 0 et un entier n tels que :
(1 + | · |)αXIMt(·)
p ≤ C t−|I|/2(1 +√
t)α[V (√
t)]−1/p′kmk(n). (7.31)
7.2.2 In´egalit´es Pr´ecis´ees
Les techniques utilis´ees pr´ec´edemment au chapitre 2 pour obtenir une caract´erisation ´equivalente en terme des fonctions de Littlewood-Paley dyadiques peuvent s’appliquer sans probl`emes aux groupes nilpotents.
Avec le r´esultat du corollaire 7.2.1 et en nous appuyant sur le th´eor`eme 7.1.2, nous pouvons construire les blocs dyadiques de la mˆeme fa¸con que dans la section 2.3.1 du chapitre 2.
Remarque 7.3 Pour l’utilisation de la formule (7.31) dans la construction des fonctions de Littlewood-Paley, il faudra prendre en compte les estimations qu’on l’on dispose de la quantit´e [V (√
t)]−1/p′
.
Il y a en effet une ´echelle de coupure en fonction de la valeur du param`etre t. Si celui-ci est grand alors [V (√
t)]−1/p′
∼ t−D/2p′
, si celui-ci est petit on a [V (√ t)]−1/p′
∼ t−d/2p′. Nous avons donc les normes ´equivalentes suivantes en fonction de ces blocs dyadiques
154 Chapitre 7. G´en´eralisations possibles pour les espaces de Lebesgue, Sobolev et de Besov
kfkp ≃ X j∈Z |∆jf |2 !1/2 p kfkW˙s,p ≃ X j∈Z 22sj|∆jf |2 !1/2 p kfkB˙s,q p ≃ X j∈Z 2qsjk∆jf kqp !1/q
On en d´eduit imm´ediatement les in´egalit´es :
Th´eor`eme 7.2.2 Soit 1 < p < q < ∞. On fixe les r´eels suivants s = θs1− (1 − θ)β avec θ = p/q. Soit f ∈ ˙Ws1,p et f ∈ ˙B−β,∞
∞ , alors on a
kfkW˙s,q ≤ CkfkθW˙s1,pkfk1−θB˙−β,∞
∞ . (7.32)
Remarque 7.4 Observons finalement que l’on ne sait pas construire par cette m´ethode une d´ecomposition de Littlewood-Paley homog`ene sur les groupes de Lie `a croissance polynˆomiale.
Ceci est dˆu au fait suivant : si t > 1, nous sommes en dehors du domaine de validit´e des estimations (7.17) donn´ees par le th´eor`eme 7.1.2.
Les petites ´echelles ne posant pas de probl`emes, les auteurs de [36] donnent alors une d´ecomposition de Littlewood-Paley inhomog`ene ainsi que des normes ´equivalentes pour les espaces de Besov.
155
Annexe A
Le groupe de Heisenberg bis
Nous exposons ici deux exemples d’utilisation de l’expression explicite du noyau de la chaleur : le premier exemple consiste `a v´erifier “`a la main” que ce noyau appartient `a la classe de Schwartz tandis que le deuxi`eme donne concr`etement les noyaux des op´erateurs utilis´es dans la d´ecomposition de Littlewood-Paley p. 64 du chapitre 2.
Rappelons rapidement le contexte.
Soit H le groupe de Heisenberg munit de la loi de groupe
x · y = (x1, x2, x3) · (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2+ y2, x3+ y3+ 1
2(x1y2− y1x2)), et de la dilatation δα[x] = (αx1, αx2, α2x3) pour α > 0. Les champs de vecteurs sont donn´es par : X1 = ∂ ∂x1 − 12x2 ∂ ∂x3 , X2 = ∂ ∂x2 + 1 2x1 ∂ ∂x3 , T = ∂ ∂x3 . On conserve la notation J = −(X2 1 + X2 2) pour le sous-Laplacien.
Le noyau de la chaleur est donn´e explicitement par la formule suivante : ht(x1, x2, x3) = 1 (4π)2 Z +∞ −∞ λ sinh(λt)cos(λx3)e −λ 4(x2 1+x2 2) coth(λt)dλ. (A.1)
Une premi`ere formule attire notre attention, on remarque qu’en faisant le changement de variable λs = u dans la d´efinition pr´ec´edente, nous avons :
ht(x1, x2, x3) = 1 t2h1 x1 √ t, x2 √ t, x3 t (A.2) Autrement dit, ht(x) = t−N/2h1(δt−1/2[x]) o`u N = 4 est la dimension homog`ene du groupe de Heisenberg.
Cette formule nous sera tr`es utile par la suite et une premi`ere application intervient dans la preuve de la proposition classique suivant :
156 Annexe Proposition A.1 Le noyau de la chaleur ht(x) est une fonction qui appartient `a la classe de Schwartz sur H pour tout t > 0.
Grˆace en effet `a (A.2), il suffit de d´emontrer cette proposition pour t = 1 pour ensuite obtenir le r´esultat g´en´eral.
On remarque d’abord que sinh(λ)λ cos(λx3) et λ coth(λ) comme fonctions de λ sont paires. Nous pouvons alors ´etendre l’int´egrale (A.1) ci-dessus de la fa¸con suivante :
h1(x1, x2, x3) = 1 2(4π)2 Z +∞ −∞ λ sinh(λ)cos(λx3)e −λ 4(x2 1+x2 2) coth(λ)dλ En transformant le cosinus on a : h1(x1, x2, x3) = 1 4(4π)2 Z +∞ −∞ λ sinh(λ)e −λ4(x2 1+x2 2) coth(λ)eiλx3dλ + 1 4(4π)2 Z +∞ −∞ λ sinh(λ)e −λ 4(x2 1+x2 2) coth(λ)e−iλx3dλ puis, en posant f (x1, x2, λ) = λ sinh(λ) exp[−λ 4(x2 1+ x2 2) coth(λ)], on obtient : h1(x1, x2, x3) = c Z +∞ −∞ f (x1, x2, λ)eiλx3dλ + c Z +∞ −∞
f (x1, x2, λ)e−iλx3dλ. (A.3)
Nous remarquons que les deux int´egrales intervenant dans l’expression (A.3) sont les transformations de Fourier partielles de la mˆeme fonction f (x1, x2, λ).
Il suffit alors de v´erifier que cette fonction appartient `a la classe de Schwartz, ainsi, puisque cette transformation est un isomorphisme on obtient que h1(x1, x2, x3) ∈ S(H).
Pour cela nous allons d´emontrer que f (x1, x2, λ) est `a d´ecroissance rapide ainsi que toutes ses d´eriv´ees.
Etant donn´e que σ coth(σ) ≥ 1 pour tout σ ∈ R, on peut faire la majoration suivante : f (x1, x2, λ) ≤ λ sinh(λ)e −1 4(x2 1+x2 2)
Il suffit maintenant de voir que, pour tout entier K : (x21+ x2|2+ λ2)K λ sinh(λ)e −14(x1+x2 2) −→∞ 0 puisqu’on a (x2 1+ x2 2+ λ2)K ≤ (1 + λ2)K(1 + x2 1 + x2 2)K nous obtenons : (x2 1+ x2 2+ λ2)K λ sinh(λ)e −14(x2 1+x2 2) ≤ (1 + λ2)K λ sinh(λ) | {z } 1 (1 + x2 1+ x2 2)Ke−14(x2 1+x2 2) | {z } 2
Annexe 157
La croissance polynˆomiale du premier terme ci-dessus est control´ee par la fonction sinh−1(λ) ; dans le deuxi`eme terme c’est la gaussienne qui permet la d´ecroissance `a l’infini.
De mˆeme, lors des d´erivations, on garde toujours cette d´ecroissance forte, ce qui nous assure l’appartenance de f `a la classe de Schwartz et donc celle du noyau de la chaleur ht.
Maintenant, nous allons utiliser l’expression du noyau de la chaleur pour ´etudier la d´ecomposition de Littlewood-Paley sur le groupe de Heisenberg.
Plus particuli`erement, il est possible grˆace `a (A.1) de faire le lien entre la th´eorie spec-trale employ´ee au chapitre 2 et les op´erateurs de convolution avec des fonctions explicites : Proposition A.2 Soit ψ une fonction d´efinie sur R+, `a support compact, de classe C∞
et s’annulant `a tous les ordres pr`es de l’origine. Alors l’op´erateur d´efini par ψ(J ) admet un noyau de convolution K dans la classe de Schwartz dont tous les moments sont nuls. En effet, on a par d´efinition du calcul symbolique :
ψ(J ) = Z +∞ 0 ψ(λ)dEλ. (A.4) On ´ecrit alors ψ(λ) = 1 2π R+∞
−∞ ψ(ω)eˆ iωλdω et l’on a :
ψ(J ) = Z +∞ −∞ Z +∞ 0 ˆ ψ(ω)eiωλdEλdω 2π. Il vient alors : ψ(J ) = Z +∞ −∞ ˆ ψ(ω)eiωJdω 2π
ce qui nous conduirait `a une int´egrale divergente. Nous allons forcer la convergence en introduisant un facteur de convergence. Pour cela on remplace (A.4) par :
ψ(J ) = e−J Z +∞
0
eλψ(λ)dEλ.
On pose alors θ(λ) = eλψ(λ) ∈ C0∞ et l’on a ψ(J ) = e−J Z +∞ −∞ Z +∞ 0 ˆ θ(ω)eiωλdEλdω 2π = Z +∞ −∞ e(iωJ −J )θ(ω)ˆ dω 2π.
Nous sommes maintenant en mesure de calculer le noyau de l’op´erateur ψ(λ) et d’en d´eduire, par exemple, la propri´et´e de moments nuls.
158 Annexe K(x) = 1 2π Z +∞ −∞ ˆ θ(ω)hs(x)dω o`u s = 1 − iω et hs(x) = 1 (4π)2 Z +∞ −∞ λ sinh(λs)cos(λx3)e −λ 4(x2 1+x2 2) coth(λs)dλ.
Pour voir cette propri´et´e de moments nuls, nous observons qu’il s’agit de la transform´ee de Fourier de la fonction paire
λ 7−→ Z +∞ −∞ λ sinh(λs)cos(λx3)e −λ4(x2 1+x2 2) coth(λs)θ(ω)dω.ˆ
Calculons la transform´ee de Fourier en (x1, x2). On obtient : Z +∞ −∞ 1 cosh(λs)e −4λ coth(λs)|ξ|2 θ(ω)dωˆ avec s = 1 − iω.
Il faut v´erifier que toutes les d´eriv´ees par rapport `a ξ et λ sont nulles en ξ = λ = 0. La v´erification ne pose pas de difficult´e car ces d´erivations font apparaˆıtre des polynˆomes en s = 1 − iω qui sont annul´es apr`es int´egration en ω.
Nous obtenons ainsi le r´esultat recherch´e.
159
Annexe B
Espace de Besov ˙B
1n,∞
(R
n
) et BM O
Nous revenons avec la proposition qui suit `a la remarque 6.2 p. 136 et `a l’inclusion existante entre ces espaces, non plus sur l’anneau Z2, mais dans le cas euclidien.
Proposition B.1 Soit n ≥ 1 et soit f ∈ ˙B1n,∞(Rn), alors f ∈ BMO(Rn).
Remarquons que l’on a bien la mˆeme loi d’´echelle : la transformation f → f(λx), λ > 0 est isom´etrique pour ces deux espaces.
Supposons tout d’abord, pour la preuve de cette proposition, que l’on a f =X
j∈Z
gj
avec kgjk1 ≤ C 2−jn et k∇gjk∞ ≤ C 2j, j ∈ Z.
On consid`ere maintenant un cube Q de cˆot´e dQ v´erifiant 2−m≤ dQ < 2−m+1. On peut alors ´ecrire f = u + v o`u u = m X −∞ gj et v = ∞ X m+1 gj.
Nous avons les estimations kvk1 ≤ C 2−mn et k∇uk∞≤ C 2m.
Finalement Z
Q|u(x) − uQ|dx ≤ |Q|dQk∇uk∞≤ C|Q|. (B.1) D’autre part, on a RQ|v(x)|dx ≤ kvk1≤ C|Q| et alors f appartient `a BMO.
Pour passer au cas g´en´eral, il suffit d’appliquer les in´egalit´es de Bernstein donn´ees par la proposition 2.3.5 p. 64 `a la d´ecomposition de Littlewood-Paley de f .
Observons que cette d´emonstration est tr`es similaire `a celle donn´ee dans le cas p-adique. Mais, puisqu’on ne dispose plus de l’´egalit´e (6.24), il est n´ecessaire une ´etape suppl´ementaire fournie par l’estimation (B.1).
161
Annexe C
In´egalit´es de Sobolev pr´ecis´ees et
fonctions maximales
Il existe une autre m´ethode pour d´emontrer les in´egalit´es de Sobolev pr´ecis´ees lorsque l’indice p est strictement plus grand que 1. Nous allons voir que cette approche ne repose pas sur la manipulation des blocs dyadiques. Le r´esultat est le suivant :
Th´eor`eme C.1 Pour tout 1 < p < q < ∞ et pour toute fonction f telle que f ∈ ˙ Ws1,p(Rn) et telle que f ∈ ˙B−β,∞ ∞ (Rn) on a : kfkW˙s,q ≤ CkfkθW˙s1,pkfk1−θB˙−β,∞ ∞ (C.1) o`u θ = pq, s = θs1− (1 − θ)β avec β > 0 et −β < s < s1. On r´e´ecrit (C.1) de la fa¸con suivante :
k(−∆)s−s12 f kq ≤ Ckfkθpkfk1−θB˙−β−s1,∞
∞ (C.2)
Pour la d´emonstration de cette in´egalit´e nous nous pla¸cons dans le cadre de Rn et nous allons suivre Pierre Gilles Lemari´e-Rieusset en utilisant la d´efinition de la puissance frac-tionnaire du Laplacien donn´ee dans (2.35) :
(−∆)−α2 f (x) = 1 Γ(α2)
Z +∞ 0
tα2−1Htf (x)dt (C.3)
o`u nous avons not´e α = s1− s > 0.
Nous d´ecomposons l’expression (C.3) en introduisant un param`etre T qui sera fix´e par la suite : (−∆)−α2 f (x) = 1 Γ(α2) Z T 0 tα2−1Htf (x)dt + 1 Γ(α2) Z +∞ T tα2−1Htf (x)dt (C.4)
162 Annexe (a) |Htf (x)| ≤ CMBf (x) (lemme 3.4.1)
(b) |Htf (x)| ≤ Ct−β−s2 kfkB˙−β−s,∞
∞ (d´efinition thermique des espaces de Besov) Nous appliquons ces estimations `a la partie de droite de (C.4) pour obtenir
|(−∆)−α2 f (x)| ≤ Γ(Cα1 2)T α 2MBf (x) + C2 Γ(α2)T α−β−s 2 kfkB˙−β−s,∞ ∞ . (C.5) On fixe `a pr´esent T = kfkB˙−β−s,∞ ∞ MBf (x) β+s12 , il vient alors : |(−∆)−α2 f (x)| ≤ Γ(Cα1 2)MBf (x)1−β+s1α kfk α β+s1 ˙ B∞−β−s,∞+ C2 Γ(α 2)MBf (x)1−β+s1α kfk α β+s1 ˙ B∞−β−s,∞. En remarquant que α
β+s1 = 1 − θ, nous pouvons ´ecrire : |(−∆)−α2 f (x)| ≤ C1Γ(+ Cα 2
2) MBf (x)θkfk1−θB˙−β−s,∞
∞ . (C.6)
A partir de cette estimation ponctuelle nous obtenons (rappelons que θ = p/q) : k(−∆)−α2 f kq ≤ C1Γ(+ Cα 2
2) kMBf kθpkfk1−θB˙−β−s,∞
∞ . (C.7)
Pour conclure, on utilise le fait que la fonction maximale MB est born´ee de Lp dans Lp
pour p > 1. Nous obtenons ainsi l’in´egalit´e (C.2).
Remarque : Cette d´emonstration fonctionne encore si l’on consid`ere des poids de Muckenhoupt et se g´en´eralise sans probl`eme aux groupes de Lie stratifi´es.
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