Les stratifiés de type quasi-trivial

Les conditions (8.37) spécifient mathématiquement un stratifié quasi-homogène; il vaut la peine de souligner que s'occuper de la recherche de stratifiés découplés rentre dans la recherche des stratifiés quasi-homogènes, comme il est évident en regardant les (8.37); c'est pour cela que dans la suite on continuera à ne parler que de stratifiés quasi-homogènes, et on fera référence aux découplés, comme cas particulier, le moment venu. Toutefois, il vaut mieux souligner d'ores et déjà une circonstance assez connue: un stratifié à plis identiques avec séquence d'empilement symétrique, à savoir avec

(8.38) ] , [ p p k k k G_    G

est sans doute découplé, cela se constate immédiatement en regardant les (8.22) et le (8.32): cette condition de découplage, suffisante et non pas nécessaire, découle de la distribution impaire des coefficients bk par rapport au plan moyen de la plaque. C'est bien, contrairement à ce qu'on pense souvent, une condition suffisante, mais pas du tout nécessaire pour le découplage: Caprino et Crivelli-Visconti, 1982, semblent être les premiers à avoir montré l'existence de stratifiés particuliers, non symétriques et non couplés.

Au sujet des stratifiés quasi-homogènes, le but de notre étude était la recherche de règles simples et suffisamment générales pour déterminer des stratifiés quasi-homogènes: dans ce but une hypothèse s'impose, celle de stratifiés à plis identiques. Sans prendre en compte cette condition, toute solution possible reste un cas particulier, non généralisable. Nous avons donc considéré la recherche de stratifiés de type quasi-homogène et composés de plis identiques. Soulignons que dans ce cas de figure, les conditions (8.37) ne concernent que la partie anisotrope de B et de C, étant la partie isotrope automatiquement nulle, comme les (8.22) et (8.23) le montrent. Les résultats de notre travail, rapidement montrés dans la suite du chapitre, sont détaillés dans les articles de 1998 à 2001, en particulier sur ceux parus sur

Composite Science and Technology et sur International Journal of Solids and Structures, qui

sont présentés en annexe.

Pour un matériau de base quelconque, ayant au plus, comme symétrie, l'orthotropie déterminée par la condition (7.111), les conditions de quasi-homogénéité (8.37) se traduisent en quatre équations distinctes:

(8.39) . 0 , 0 , 0 , 0 2 4 2 4

¦

¦

¦

¦

La solution de ces équations, dont les deux premières à elles seules définissent la recherche de stratifiés simplement découplés, n'est pas disponible en forme analytique, et en général une approche numérique est nécessaire. Cette constatation n'allait pas dans le sens de nos buts, et

en plus laissait non résolue une autre question, à savoir combien de solutions existent-elles pour un nombre donné de couches. Nous reviendrons dans les chapitres suivants sur la solution numérique de ce problème et d'autres encore, mais pas ici, car il est question de montrer l'existence d'une classe particulière de stratifiés qui sont solutions des équations (8.39). En fait, quoi que de solution difficile, le système (8.39) a une structure particulière et simple: il est constitué de 4 équations, dépendant de deux jeux de coefficients, bk et ck, ainsi que des angles 2Gk et 4Gk. Mais sont les propriétés des coefficients bk et ck qui permettent de trouver des solutions facilement: en fait, la somme de ces coefficients est nulle, (8.332) et (8.333). En considérant cela et les (8.39) une condition suffisante pour avoir un stratifié quasi-homogène est que la séquence d'empilement soit formée par des groupes de couches, toutes avec la même orientation, ayant une somme nulle des coefficients bk et ck. Nous avons appelé groupe saturé un groupe de couches pour lequel la somme des bk et ck est nulle, à signifier qu'aucun autre pli ne peut être ajouté au groupe pour respecter la condition de quasi-homogénéité. Les solutions qui respectent cette condition suffisante de quasi-homogénéité nous les avons appelées quasi-triviales, à signifier le fait qu'une démarche de solution vraie et propre des (8.39) n'est pas nécessaire pour les avoir, car pour les trouver il suffit de rechercher des combinaisons opportunes des coefficients bk et ck, un peu comme pour la solution triviale d'une équation. En outre, quand on recherche ce genre de solutions, le nombre de conditions n'est plus 4, mais 2, et cela parce que dans les (8.39) il y bien 4 équations, mais seulement 2 groupes de coefficients.

Il faut souligner certaines propriétés importantes des solutions quasi-triviales: d'abord, il s'agit de solutions exactes, étant donné que leur recherche s'appuie sur des combinaisons de nombres entiers. Encore plus important, elles ne dépendent pas des orientations, qui ne sont pas fixées à priori: en effet, une solution quasi-triviale n'indique qu'une séquence où certains plis doivent avoir la même orientation, qui est libre et qui peut donc être fixée sur la base d'autres critères sans pour autant perdre la homogénéité. Pour chaque séquence quasi-triviale et pour une couche de base donnée, est donc infini le nombre de stratifiés avec propriétés élastiques différentes, mais tous homogènes. Ensuite, chaque solution quasi-triviale avec g groups saturés provient toujours d'une autre solution avec g––1 groupes saturés: cela se produit lorsqu'à l'intérieur d'un groupe saturé il y a un autre sous-groupe dont la somme des bk et ck est également nulle. Une conséquence de ça est que si un stratifié n'a pas de solutions triviales avec g groupes différents, il n'aura pas non plus de solutions quasi-triviales avec un nombre de couches supérieur à g: ceci est un critère d'arrêt dans un algorithme de recherche des solutions quasi-triviales, mais en même temps il ne permet pas de prédire à l'avance ni le nombre maximum de groupes saturés ni la quantité de solutions quasi-triviales pour un stratifié à nombre de couches donné. Toutefois, nous avons pu montrer que le nombre maximum possible de groupes saturés, et donc d'orientations différentes, est inférieur à p.

Les propriétés ci-dessus ont été utilisées pour élaborer un algorithme de recherche des solutions quasi-triviales, nommé QT, qui est au fond un algorithme de recherche par énumération, voir à ce sujet, entre autres, Gürdal et alii, 1999. Avec ça, nous avons constitué une base de données des solutions quasi-triviales, dont on donne un compte rendu dans les Tab. 8.1 et 8.2.

Il vaut la peine de souligner que si on se borne à considérer seulement la somme des coefficients bk, voire les deux premières des (8.39), on trouvera des solutions quasi-triviales au découplage, alors que si on considère seulement la somme des coefficients ck, voire les deux dernières des (8.39), alors on obtiendra des stratifiés de type quasi-trivial avec C nul, donc avec les mêmes propriétés en membrane et flexion, mais couplés. Dans les deux cas, il faut s'attendre à un nombre plus grand de solutions par rapport au cas quasi-homogène, car on

a un nombre inférieur de conditions. En outre, on remarque immédiatement que les solutions découplées symétriques sont un cas particulier de solutions quasi-triviales; également, les solutions de Caprino et Crivelli-Visconti sont de type quasi-trivial.

Tab. 8.1. Nombre de solutions indépendantes de stratifiés découplés de

type quasi-trivial (g.s.= groupes saturés).

Tab. 8.2. Nombre de solutions indépendantes de stratifiés quasi-homogènes de

type quasi-trivial (g.s.= groupes saturés).

Les Tab. 8.1 et 8.2 montrent le nombre de solutions indépendantes: il s'agit des solutions qui sont à la fois mathématiquement et mécaniquement distinctes: on trouve les solutions qui sont mécaniquement distinctes simplement par numérotation croissante des groupes saturés, alors que nous avons défini comme mathématiquement distincte une solution quasi-triviale de laquelle ne dérive aucune autre solution quasi-triviale avec un nombre plus grand de groupes saturés. L'algorithme QT cherche d'abord toutes les solutions et ensuite il les dépouille pour

N. plis 2 g. s. 3 g. s. 4 g. s. 5 g. s. 6 g. s. 7 g. s. 8 g. s. 9 g. s. Total 4 1 - - - - - - - 1 5 - 1 - - - - - - 1 6 - 1 - - - - - - 1 7 - 1 1 - - - - - 2 8 1 - 1 - - - - - 2 9 - 1 2 1 - - - - 4 10 - 4 - 1 - - - - 5 11 - - 6 4 1 - - - 11 12 1 4 9 - 1 - - - 15 13 - - 14 20 6 1 - - 41 14 - 22 17 17 - 1 - - 57 15 - - 5 111 48 9 1 - 174 16 - 29 168 48 29 - 1 - 275 17 - - 1 458 471 90 12 1 1033 18 - 57 746 686 104 45 - 1 1639 N. plis 2 g. s. 3 g. s. 4 g. s. 5 g. s. 6 g. s. Total 7 1 (1) - - - - 1 (1) 8 1 - - - - 1 9 - - - - - - 10 - - - - - - 11 3 (2) - - - - 3 (2) 12 1 - - - - 1 13 2 2 - - - 4 14 - 2 (1) - - - 2 (1) 15 2 2 - - - 4 16 5 3 (1) - - - 8 (1) 17 15 8 - - - 23 18 - 5 - - - 5 19 30 22 - - - 52 20 30 9 1 - - 40 21 31 13 (2) - - - 44 (2) 22 17 (2) 98 (1) 13 2 - 130 (3) 23 95 (1) 499 - - - 594 (1) 24 140 26 1 - - 167 25 163 2132 57 - - 2352 26 54 1059 (2) 354 (3) 26 (2) 2 1495 (7) 27 86 (1) 918 256 21 1 1282 (1) 28 203 4789 (1) 871 (2) 33 6 5902 (3) 29 61 37747 7546 87 - 45441 30 53 5552 512 (3) 29 - 6146 (3) - 105 -

ne conserver que les solutions indépendantes. Cette phase peut s'avérer très longue pour des stratifiés à un nombre de couches grand, car il faut souvent travailler avec la mémoire de masse de l'ordinateur, étant parfois énorme le nombre de solutions; à titre d'exemple, le 29 couches quasi-homogène a 45441 solutions indépendantes qui font partie d'un ensemble total de 81274 solutions. Des exemples de solutions quasi-triviales sont données sur les articles en annexe.

En ne comptant que les solutions indépendantes, le nombre de stratifiés à empilement symétrique est extrêmement faible: on a une seule solution symétrique pour le cas découplé, et c'est évidemment celle où l'orientation change à chaque couche, alors que pour le quasi-homogène le nombre de solutions symétriques est donné en Tab. 8.2, pour chaque cas, entre parenthèses. C'est intéressant de remarquer que le nombre de solutions symétriques est tellement faible qu'on peut les considérer comme des exceptions plutôt que comme la règle, contrairement à ce qu'on pense souvent; les résultats montrent en effet que se borner à ne considérer que les empilements symétriques peut être une sérieuse limitation pour les applications.

La base de données des solutions quasi-triviales est assez vaste pour couvrir pratiquement toutes les exigences des applications techniques; toutefois, nous nous sommes posés la question si les solutions de ce type étaient la totalité des solutions possibles; nous avons pu montrer, d'abord par voie synthétique, que cela n'est pas le cas, et que d'autres solutions peuvent exister, voir l'article en annexe paru sur International Journal of Solids and

Structures. Ensuite, dans un travail paru en 2001 de Vincenti et alii, nous avons trouvé des

solutions exactes non quasi-triviales pour des stratifiés composés de plis en tissu équilibré, voir le § 8.8.

Dans la présentation ci-haut seulement la partie élastique a été considérée; un simple regard aux équations (8.22), (8.24), (8.26) et (8.28) nous montre qu'un général le nombre de solutions quasi-homogènes de type thermoélastique est supérieur à celui de type élastique, car dans ce dernier cas on a un nombre double de conditions à respecter (le problème thermoélastique, étant géré par des tenseurs du second ordre, manque des conditions dépendant de 4Gk). Toutefois, cela n'est pas vrai pour les solutions quasi-triviales, car même dans le cas thermoélastiques on travaille sur les mêmes deux groupes de coefficients à la fois,

bk et ck. Les ensembles des solutions quasi-triviales de type élastique et thermoélastiques coïncident, et cela aussi bien pour les stratifiés découplés que pour les quasi-homogènes.

Il faut souligner maintenant un des intérêts, parmi d'autres, des solutions quasi-homogènes de type quasi-trivial: lorsqu'il s'agit de faire de l'optimisation des propriétés élastiques de flexion, utiliser l'ensemble des solutions quasi-triviales, possible car les orientations ne sont pas fixées a priori, permet de travailler sur les propriétés de membrane plutôt que sur celles de flexion, voir sur le tenseur A, qui a une structure algébrique plus simple de D, car il ne dépend pas des coefficients dk. Nous avons pu exploiter cette stratégie à plusieurs reprises, comme relaté dans la suite de ce texte.