Cette section a pour objectif d’expliquer l’approche que nous avons adopt´ee pour prou-ver la formule d’Eyring-Kramers. Notre strat´egie est la suivante. La premi`ere ´etape consiste `a trouver une expression des taux de transition compatible avec l’utilisation d’un algorithme de Monte-Carlo cin´etique pour mod´eliser l’´ev`enement de sortie d’un
´
etat m´etastable. La seconde ´etape est d’´etudier le comportement asymptotique pr´ecis de ces expressions dans la limite d’une petite temp´erature.
La section est organis´ee comme suit. En Section A.3.1, nous proposons d’abord une ex-pression pour les taux de transition, puis nous expliquons pourquoi ils sont compatibles avec l’utilisation d’une m´ethode de Monte-Carlo cin´etique et enfin nous expliquons notre strat´egie pour ´etudier le comportement asymptotique des taux de transition propos´es.
Enfin, en Section A.3.2, nous rappelons les approches qui ont ´et´e propos´ees jusqu’`a aujourd’hui dans la litt´erature math´ematique pour obtenir la loi d’Eyring-Kramers.
A.3.1 Expression des taux de transition entre les ´etats
En Section A.3.1.1, nous donnons l’expression des taux de transition et nous expliquons pourquoi ces expressions sont compatibles avec une m´ethode Monte-Carlo cin´etique. En Section A.3.1.2, nous expliquons notre strat´egie de preuve pour obtenir un ´equivalent pr´ecis `a basse temp´erature des taux de transition.
A.3.1.1 Expression des taux de transition
Soit (Xt)t≥0 le processus (1). Consid´erons la collection de domaines {Ω1, ....,ΩN} in-troduite en (A.14) qui forme une partition de l’espace des phases Rd en domaines m´etastables o`u chaque domaine Ωj correspond `a un ´etat j du syst`eme (cf. (A.15)).
Pour chaque i∈ {1, ..., N}, τΩi d´esigne le premier temps de sortie du domaine Ωi (cf.
D´efinition A.19).
Consid´erons d´esormais un entier i ∈ {1, ..., N}. Pour j ∈ {1, ..., N}, j 6= i, nous d´efinissons le taux de transition de l’´etativers l’´etat j par
ki,jL := 1 Eνh,Ωi
τΩiPνh,Ωi XτΩ
i ∈∂Ωi∩∂Ωj
, (A.22)
o`u νh,Ωid´esigne la distribution quasi stationnaire associ´ee au processus (Xt)t≥0 et au domaine Ωi (cf. D´efinition A.1). L’exposant L dans la notation kLi,j indique que
nous consid´erons un syst`eme dont l’´evolution est mod´elis´ee par l’´equation de Langevin suramortie (1). Remarquons que lorsque l’´etat in’est pas voisin de l’´etat j nous avons
∂Ωi∩∂Ωj =∅et ainsi on a bienkLi,j = 0.
Remarque A.10. Si l’on veut retrouver la formule d’Eyring-Kramers (A.17)-(A.18), il faut multiplier l’expression (A.22)par un facteur 12. Ceci est dˆu au fait suivant: une fois que le processus (1)est sur∂Ωi∩∂Ωj, il a, dans la limiteh→0, une chance sur deux de revenir dans Ωi et une chance sur deux d’aller dans Ωj. En effet, en dimension un, ce r´esultat se montre en utilisant un calcul similaire `a celui permettant de prouver (A.6).
En dimension sup´erieure, on peut se ramener au cas de la dimension un en utilisant un syst`eme de coordonn´ees adapt´e autour de zj. Des m´ethodes similaires `a celles utilis´ees pour prouver [4, Lemma B.1] permettent aussi de montrer ce r´esultat.
Nous allons maintenant expliquer pourquoi l’expression des taux de transition (A.22) est compatible avec un algorithme de Monte-Carlo cin´etique pour mod´eliser l’´ev´enement de sortie de l’´etat i. Pour cela, supposons que le domaine Ωi est un ouvert born´e C∞ et que le potentiel f : Rd → R du syst`eme est C∞; ceci nous permettra d’utiliser les propositions A.1 et A.3 pour la justification qui suit. Dans ce cas, et comme nous l’avons vu en fin de Section A.2.1.4, puisque le domaine Ωi est m´etastable, le processus (Xt)t≥0
est rapidement (en comparaison du temps moyen de sortie E τΩi
) distribu´e suivant la distribution quasi stationnaire νh,Ωi (cf. D´efinition A.1 et Proposition A.1). Il est donc raisonnable d’´etudier l’´ev´enement de sortie de Ωi en supposant que le processus est initialement distribu´e suivant la distribution quasi stationnaireνh,Ωi. De plus, lorsque X0 ∼ νh,Ωi, d’apr`es la Proposition A.3, il existe λi telle que τΩi ∼ E(λi) et donc d’apr`es (A.22), nous avons:
N
X
j=1,j6=i
ki,jL = 1 Eνh,Ωi
τΩi
Pνh,Ωi
XτΩi ∈∂Ωi
= 1 Eνh,Ωi[τΩi
=λi. (A.23) Le choix d’avoir distribu´e initialement le processus (Xt)t≥0suivantνh,Ωidans la d´efinition des taux de transition (A.22) est donc compatible avec la premi`ere ´etape de la r´ecurrence d’un algorithme de Monte-Carlo cin´etique qui permet d’´echantillonner le temps pass´e dans chaque ´etat, cf. Section A.2.1.2. De plus, lorsque X0 ∼νh,Ωi, d’apr`es la Proposi-tion A.3, le temps de sortie et le point de sortie sont ind´ependants. Enfin, d’apr`es (A.22) et (A.23), nous avons pour tout `∈ {1, ..., N},`6=i:
Pνh,Ωi
XτΩi ∈∂Ωi∩∂Ω`
= ki,`
PN
j=1, j6=iki,j
,
et donc la probabilit´e de passer de l’´etat i`a l’´etat `est PN ki,`
j=1, j6=iki,j. Ainsi, l’expression des taux de transition (A.22) est compatible avec la deuxi`eme ´etape de la r´ecurrence d’un algorithme de Monte-Carlo cin´etique qui permet d’´echantillonner le prochain ´etat visit´e, cf. Section A.2.1.2.
A.3.1.2 Strat´egie pour ´etudier la limite `a basse temp´erature des taux de transition
Dans la suite, nous abandonnons l’indicei∈ {1, ..., N}et notons Ω = Ωi ∈ {Ω1, ...,ΩN}
un domaine m´etastable du processus (1) (cf. (A.14)). Afin d’expliquer notre strat´egie pour ´etudier dans la limite d’une petite temp´erature les taux de transition (A.22) entre les ´etats du syst`eme, nous allons montrer que les taux de transition (A.22) peuvent s’exprimer `a l’aide des ´el´ements spectraux de l’op´erateur infinit´esimal de la diffusion (1) avec conditions homog`enes de Dirichlet sur ∂Ω. Rappelons d’abord quelques r´esultats standards sur le g´en´erateur infinit´esimal de la diffusion (1).
Dans toute cette section, le domaine Ω est un ouvert born´e C∞ et le potentiel f :Rd→Rest C∞.
Un probl`eme aux valeurs propres reli´e `a la distribution quasi stationnaire sur Ω.
Consid´erons l’op´erateur L(0)f,h d´efini par:
φ∈Cc∞(Rd,R)7→L(0)f,hφ= h
2∆φ− ∇f · ∇φ, (A.24) o`uCc∞(Rd,R) d´esigne l’espace vectoriel des fonctions infiniment d´erivables deRddansR et `a support compact. L’exposant (0) dans la notationL(0)f,hfait r´ef´erence au fait que l’on travaille avec un op´erateur agissant sur des fonctions (c’est-`a-dire des 0-formes). Pour justifier les conditions aux limites associ´ees `a l’op´erateurL(0)f,hsur∂Ω, il faut comprendre quelles sont les conditions aux limites satisfaites par la loi du processus (1) conditionn´e `a rester dans Ω. Pour cela, consid´erons le semi groupe (sous-markovien) du processus (1) absorb´e au bord de Ω: il est d´efini pour tout φ∈C∞(Rd,R), x∈Ω et t≥0 par:
Ptφ
(x) =Ex
φ(Xt) 1{t≤τΩ} . Un calcul d’Ito, montre que (au moins formellement):
∂tPtφ=L(0)f,hPtφ.
Un candidat naturel pour ˆetre le g´en´erateur infinit´esimal du semi groupe de diffusion (Pt)t≥0 est donc l’op´erateur L(0)f,h. Il faut d´esormais identifier les conditions aux limites sur∂Ω du g´en´erateur infinit´esimal du semi groupe de diffusion (Pt)t≥0. Par un r´esultat classique sur les semi groupes fortement continus, pour tout t > 0, Ptφ appartient au domaine de son g´en´erateur infinit´esimal. Or, pour tout t >0 etx∈∂Ω, nous avons:
Ptφ
(x) = 0.
Les conditions aux limites `a associer `a L(0)f,h sont donc des conditions de Dirichlet sur
∂Ω. Afin d’introduire un cadre fonctionnel adapt´e `a l’op´erateurL(0)f,havec des conditions de Dirichlet sur ∂Ω, remarquons que pour tout φ∈Cc∞(Ω) etψ∈Cc∞(Ω),
Z
Ω
φ L(0)f,hψ
e−2hf =−h 2
Z
Ω
∇φ· ∇ψ e−h2f.
Introduisons alors les espaces de Hibert suivants:
L2w(Ω) = n
u: Ω→R, Z
Ω
u2(x)e−h2f(x)dx <∞o et
Hw1(Ω) :=
u: Ω→R, u∈L2w(Ω) et pour touti= 1, ..., d:∂iu∈L2w(Ω) . (A.25) Nous avons le r´esultat suivant qui permet de d´efinir l’op´erateurL(0)f,havec des conditions de Dirichlet sur ∂Ω.
Proposition A.4. L’extension de Friedrichs associ´ee `a la forme quadratique φ∈Cc∞(Ω)7→ h
2 Z
Ω
|∇φ|2e−2hf,
surL2w(Ω), est not´ee−LD,(0)f,h (Ω). C’est un op´erateur non born´e, auto-adjoint et stricte-ment positif sur L2w(Ω)dont le domaine est
D
LD,(0)f,h (Ω)
=Hw,01 (Ω)∩Hw2(Ω) o`u Hw,01 (Ω) ={u∈Hw1(Ω), u= 0 sur ∂Ω}.
Preuve. La forme quadratique
φ∈Cc∞(Ω)7→ h 2
Z
Ω
|∇φ|2e−2hf
est sym´etrique, positive et fermable et sa fermeture est la forme quadratique Q: w∈Hw,01 (Ω)7→ h
2 Z
Ω
|∇w|2e−h2f.
Soit −LD,(0)f,h (Ω) l’op´erateur auto-adjoint associ´e `aQ. Il est d´efini sur le domaine D
−LD,(0)f,h (Ω)
=
u∈Hw,01 (Ω),∃b∈L2w(Ω),∀v∈Hw,01 (Ω), Q(u, v) =hb, viL2 w , par
−LD,(0)f,h (Ω)u=b.
Soit u∈D
−LD,(0)f,h (Ω)
. Au sens des distributions, nous avons donc
−h 2div
e−2hf∇u
=b
pour une fonction b∈ L2w(Ω). D’apr`es un r´esultat standard de r´egularit´e elliptique, la fonctionuappartient `aHw2(Ω). Ainsi, nous avonsD
−LD,(0)f,h (Ω)
⊂Hw,01 (Ω)∩Hw2(Ω).
Une int´egration par parties montre que Hw,01 (Ω)∩Hw2(Ω) ⊂ D
−LD,(0)f,h (Ω)
. Ce qui conclut la preuve de la proposition.
Le domaine Ω ´etant born´e et C∞, l’espace Hw1(Ω) s’injecte de mani`ere compacte dans L2w(Ω) et ainsi l’op´erateur −LD,(0)f,h (Ω) est `a r´esolvante compacte: son spectre est donc discret. Dans la suite nous notonsλh >0 sa plus petite valeur propre. Nous avons alors le r´esultat suivant (c’est un r´esultat standard sur la premi`ere valeur propre d’un op´erateur elliptique, cf. par exemple [28, Th´eor`eme 2]):
Proposition A.5. La plus petite valeur propre λh de −LD,(0)f,h (Ω) est simple et son vecteur propre associ´e, not´e uh, a un signe sur Ω. De plus, uh ∈C∞(Ω).
Preuve. Par un r´esultat standard de r´egularit´e elliptique, tous les vecteurs propres de
−LD,(0)f,h (Ω) sont dans C∞(Ω). L’op´erateur −LD,(0)f,h (Ω) est auto-adjoint et donc par le principe du min-max:
λh = min
v∈Hw,01 (Ω)
h 2
Z
Ω
|∇v|2e−h2f Z
Ω
v2e−h2f
, (A.26)
et toute fonction u est un vecteur propre associ´e `a λh si et seulement si u est un minimiseur de (A.26). Soit u un vecteur propre associ´e `a λh. Puisque nous avons
∇|u|
2=
∇u
2,
nous en d´eduisons que la fonction |u| est aussi un minimiseur de (A.26) et donc est un vecteur propre associ´e `a λh. En utilisant l’in´egalit´e de Harnack, nous obtenons que
|u| > 0 sur Ω. Supposons par l’absurde que λh est une valeur propre d´eg´en´er´ee de
−LD,(0)f,h (Ω). Soient alors v1 et v2 deux vecteurs propres libres associ´es `a λh. Les deux fonctions v1 et v2 ´etant continues, il existe x0 ∈ Ω tel que v1(x0) 6= v2(x0). Ainsi la fonction
w=v2(x0)v1−v1(x0)v2
est non identiquement nulle sur Ω: c’est donc un vecteur propre associ´e `a λh. On en d´eduit de ce qui pr´ec`ede que|w|>0 sur Ω, ce qui est absurde car w(x0) = 0. Ainsiλh
est non d´eg´en´er´ee.
Dans la suite et sans perte de g´en´eralit´e, nous supposons que uh >0 sur Ω et
Z
Ω
u2h(x) e−2hf(x)dx= 1. (A.27) Le lien entre la distribution quasi stationnaireνh(cf. D´efinition A.1) etuh est donn´e par la proposition suivante (cf. par exemple [50]):
Proposition A.6. L’unique distribution quasi stationnaire associ´ee au processus (1) et au domaine Ω est:
νh(dx) = uh(x)e−h2f(x) Z
Ω
uh(y)e−h2f(y)dy dx,
o`u uh est le vecteur propre associ´e `a la plus petite valeur propre de −LD,(0)f,h (Ω) (cf.
Proposition A.5) qui satisfait (A.27).
Nous pouvons ensuite ´enoncer un r´esultat sur l’´ev´enement de sortie plus pr´ecis que la Proposition A.3:
Proposition A.7. Consid´erons la dynamique (1) et la distribution quasi stationnaire νh associ´ee au domaine Ω. Si X0 est distribu´e selon νh, les variables al´eatoires τΩ et XτΩ sont ind´ependantes. De plus, τΩ est exponentiellement distribu´ee de param`etreλh
et la loi deXτΩ a une densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue sur∂Ω donn´ee par:
z∈∂Ω7→ − h 2λh
∂nuh(z)e−2hf(z) Z
Ω
uh(y)e−2hf(y)dy
, (A.28)
o`u uh est le vecteur propre associ´e `a la plus petite valeur propre de −LD,(0)f,h (Ω) (cf.
Proposition A.5).
La notation ∂n = n· ∇ d´esigne la d´eriv´ee normale et n le vecteur normal sortant de Ω.
Strat´egie g´en´erale pour ´etudier la limite `a basse temp´erature des taux de transition (A.22).
Rappelons que Ω = Ωi ∈ {Ω1, ...,ΩN} d´esigne un domaine m´etastable du processus (1) (cf. (A.14)) correspondant `a un ´etatidu syst`eme (cf. (A.15)). Dans la suite, pour tout j∈ {1, ...N},j6=i, nous notons simplement
kjL=kLi,j
le taux de transition de l’´etat ivers l’´etat j d´efini en (A.22). Nous pouvons d´esormais donner une autre expression des taux de transition d´efinis en (A.22) `a l’aide du pre-mier vecteur uh associ´e `a la plus petite valeur propre λh de −LD,(0)f,h (Ω). D’apr`es la Proposition A.7, le taux de transition kjL, pour j ∈ {1, ..., N} telle que Ωj 6= Ω, a pour expression:
kLj =−h 2
Z
∂Ω∩∂Ωj
∂nuh(z)e−2hf(z)σ(dz) Z
Ω
uh(y)e−h2f(y)dy
(A.29)
o`u σ d´esigne la mesure de Lebesgue sur ∂Ω. De plus, toujours d’apr`es la Proposi-tion A.7, lorsque le processus (1) est initialement distribu´e suivant la distribution quasi stationnaireνh, le temps moyen pass´e dans le domaine Ω est:
Eνh
τΩ
= 1 λh
(A.30) et la loi de sortie du domaine Ω est donn´ee par :
Pνh
XτΩ ∈Σ
=− h 2λh
Z
Σ
∂nuh(z)e−h2f(z)σ(dz) Z
Ω
uh(y)e−h2f(y)dy
, (A.31)
o`u Σ⊂∂Ω est un ensemble mesurable.
Remarque A.11. Bien que λh n’apparaisse pas dans l’expression des taux de transi-tion (A.29), son comportement asymptotique peut suffir `a obtenir la formule d’Eyring-Kramers pour certains taux de transition. En effet, supposons que le domaine Ωj soit tel que
h→0limPνh
XτΩ ∈∂Ω∩∂Ωj
= 1.
Il vient alors d’apr`es (A.22) et d’apr`es (A.30):
h→0limλhkjL= 1.
Toutefois, l’´etude du comportement asymptotique de λh quand h → 0 ne suffit pas a priori `a obtenir le comportement asymptotique de tous les taux de transition comme le montre aussi l’expression (A.29).
Au vu des expressions (A.29), (A.30) et (A.31), notre strat´egie est d’´etudier le com-portement pr´ecis dans la limite d’une petite temp´erature (h→0) de:
1. la premi`ere valeur propreλh de l’op´erateur −LD,(0)f,h (Ω), 2. de la d´eriv´ee normale du vecteur propre uh associ´e `aλh, 3. et de la quantit´e R
Ωuh(y)e−h2f(y)dy.
Notre analyse nous permet d’expliciter les taux d’erreur lors du passage `a la limite h →0. Enfin, nous avons ´etendu nos r´esultats sur la distribution de sortie (i.e. sur la loi de XτΩ) `a des conditions d´eterministes dans le domaine Ω.
A.3.2 Litt´erature math´ematique sur la loi d’Eyring-Kramers
Cette section a pour but de rappeler les contributions math´ematiques obtenues jusqu’ici concernant la loi d’Eyring-Kramers. Le lecteur peut se r´ef´erer `a l’article [3] pour une revue sur le sujet ainsi que pour une explication des diff´erentes techniques utilis´ees. Il y a deux approches qui se d´etachent dans la litt´erature: les approches globales et les approches locales.
A.3.2.1 Les approches globales
Les approches globales reposent sur l’´etude `a basse temp´erature (h → 0) des valeurs propres du g´en´erateur infinit´esimal L(0)f,h de la diffusion (1) sur tout l’espace Rd. Il est possible de montrer, que si le potentiel f a m minima locaux not´es {x1, ...., xm}, alors l’op´erateur (A.24) a exactement m valeurs propres exponentiellement petites dans la limite h → 0 que l’on note{λ1, λ2, ..., λm} avec λ1 = 0< λ2 ≤.... ≤λm. De plus, les m−1 valeurs propres{λ2, ..., λm}satisfont une loi d’Eyring-Kramers. En effet, on peut montrer que si l’on suppose que pour chaquek∈ {2, ..., m}il existe un unique point zk tel que
f(zk) = inf
γ∈P(xk,Bk) sup
t∈[0,1]
f(γ(t))
o`uBk est une r´eunion de petites boules centr´ees en chacun des minima locaux def plus bas en ´energie que xk et P(xk, Bk) est l’ensemble des courbesγ ∈C0([0,1],Rd) telles
que γ(0) =xk etγ(1)∈Bk. , alors dans la limiteh→0 λk = |λ(zk)|
2π
pdet Hessf(xk)
|p
det Hessf(zk)|e−h2(f(zk)−f(xk))(1 +o(h)), (A.32) o`u λ(zk) est la valeur propre n´egative de la matrice hessienne de f en zk. Pour faire le lien avec la Section A.1.2.1 et plus pr´ecis´ement avec la formule (A.4), le point zk est le point selle de plus basse ´energie qui connectexk`a tous les autres minima locaux def qui sont plus bas en ´energie quexk. Dans les articles [6,7,27], chacune des valeurs propresλk (pour k ∈ {2, ..., m}) a ´et´e reli´ee au temps moyen mis par le processus (1) pour aller d’un minimum localxk `a un autre minimum plus bas en ´energie et une approche bas´ee sur la th´eorie du potentiel a permis d’obtenir la formule (A.32). Dans [36], l’utilisation de techniques d’analyse semi-classique a aussi permis d’obtenir (A.32).
Citons par ailleurs le travail r´ecent [58] qui g´en´eralise les r´esultats obtenus dans [36].
Le lecteur peut aussi se r´ef´erer aux travaux plus anciens [59], [44], [17], [18], [16]. Les r´esultats qui d´ecoulent d’une approche globale permettent d’avoir acc`es aux comporte-ments asymptotiques `a basse temp´erature des temps moyens successifs pour aller d’un minimum local vers le minimum global. Ils ne permettent pas d’obtenir la formule d’Eyring-Kramers pour tous les taux de transition.
Ces approches globales sont utilis´ees pour construire une dynamique markovienne en projetant `a l’aide d’une m´ethode de Galerkine le g´en´erateur infinit´esimal de la diffu-sion (1) sur l’espace propre associ´e aux m petites valeurs propres {λ1, ..., λm}. Cette projection permet d’avoir une tr`es bonne approximation du g´en´erateur infinit´esimal `a basse temp´erature. Ceci a ´et´e largement ´etudi´e par Sch¨utte et ses collaborateurs [66]
en partant du travail [65]
A.3.2.2 Les approches locales
Dans cette th`ese nous adoptons une approche locale: nous ´etudions l’´ev´enement de sor-tie d’un domaine Ω⊂Rd (le point sortie et le temps de sortie) `a basse temp´erature.
La th´eorie des grandes d´eviations.
L’approche la plus connue pour ´etudier l’´ev´enement de sortie `a basse temp´erature est sans doute la th´eorie des grandes d´eviations d´evelopp´ee par Freidlin et Wentzell dans les ann´ees 1970 et dont le livre [30] r´esume les principaux travaux. Cette th´eorie re-pose principalement sur l’´etude de petits bouts de processus d´efinis `a l’aide d’une suite croissante de temps d’arrˆet. La notion de fonction de taux y est fondamentale: elle donne le coˆut d’une d´eviation du processus par rapport `a une trajectoire d´eterministe (la premi`ere utilisation de la fonction de taux est due `a Schilder [62] pour un mouvement Brownien).
Voici quelques r´esultats typiques dus `a Freidlin et Wentzell (cf. [30, Th´eor`eme 2.1, Th´eor`eme 4.1, Th´eor`eme 5.1]). Soit Ω un domaine ouvert born´e C∞. Rappelons que τΩ d´esigne le premier temps de sortie de Ω, cf. (A.19). Supposons que ∂nf > 0 sur
∂Ω et que f a un unique point critique x0 dans Ω qui est non d´eg´en´er´e et tel que f(x0) = minΩf. Alors pour toutx∈Ω:
h→0limhlnEx τΩ
= 2(inf
∂Ωf−f(x0)).
De plus, pour tout x∈Ω tel quef(x)<inf∂Ωf et pour tout δ >0, il existe δ0 ∈(0, δ]
tel que pour touty∈∂Ω:
h→0limhlnPx
|XτΩ−y|< δ0
= 2(f(y)−inf
∂Ωf).
Enfin, si l’infimum de f sur ∂Ω est atteint en un seul point y0 ∈ ∂Ω, alors pour tout δ >0:
h→0limPx
|XτΩ−y0|< δ
= 1.
En d’autres termes, quand la temp´erature tend vers 0, le processus sort de Ω autour y0. Un autre r´esultat dˆu `a Day [19] affirme que sous les hypoth`eses ´enonc´ees ci-dessus, lorsqueh→0, le temps de sortieτΩ converge en loi vers une variable exponentiellement distribu´ee de param`etre λh et pour toutx∈Ω
h→0limλhEx
τΩ
= 1,
o`u λh est la plus petite valeur propre de −LD,(0)f,h (Ω) (cf. Proposition A.5). Les r´esultats issus des grandes d´eviations s’appliquent dans des situations bien plus g´en´erales que celles que que l’on utilise dans cette th`ese (par exemple `a des fonctions f ayant plusieurs points critiques dans Ω ou `a des processus non r´eversibles [5]...). Toutefois, trois probl`emes se posent si l’on veut prouver la formule d’Eyring-Kramers `a l’aide des r´esultats issus de la th´eorie des grandes d´eviations: le premier est qu’il est souvent bien difficile de calculer explicitement l’´energie d’activation, le second est que les r´esultats ne permettent pas de determiner le pr´efacteur Ai,j dans (A.17) et le troisi`eme est que les r´esultats obtenus ne donnent pas d’estim´ees d’erreur.
Approche par des ´equations aux d´eriv´ees partielles.
Un des r´esultats les plus connus concernant le comportement `a basse temp´erature de la loi du point de sortie XτΩ, obtenu dans [60] `a l’aide de calculs formels, est le suivant:
soitF ∈C∞(∂Ω,R) et x∈Ω, alors quand h→0:
Ex
F XτΩ
= R
∂ΩF(z)∂nf(z)e−h2f(z)dz R
∂Ω∂nf e−h2fdσ
+o(h), (A.33)
Ainsi, quand la temp´erature est petite, le processus sort presque sˆurement autour des minima globaux de f|∂Ω: la loi de XτΩ se concentre sur arg min∂Ωf. De plus, un
´
equivalent asymptotique de l’esp´erance deτΩquandh→0 a aussi ´et´e formul´e dans [60].
Ces limites ont ´et´e obtenues en ´etudiant les ´equations aux d´eriv´ees partielles satisfaites par les fonctions x ∈ Ω 7→ Ex
F XτΩ
et x ∈ Ω 7→ Ex
τΩ
et en y injectant des d´eveloppements formels. Le lecteur peut aussi se r´ef´erer aux articles [60,63,64] et [53,54]
pour des ´etudes similaires `a [60]. La formule (A.33) a ´et´e prouv´ee rigoureusement par Kamin dans [47]. Cette formule a ´et´e ensuite ´etendue aux dynamiques non r´eversibles par Kamin dans [46] et par Perthame dans [61]. Les r´esultats obtenus dans [46, 47, 61]
ne permettent toutefois pas d’obtenir un ´equivalent pr´ecis de la probabilit´e de sortir par un point qui n’est pas un minimum global def sur le bord de Ω.
Enfin, nous mentionnons [22, 23, 37, 44, 51, 56, 57] pour une ´etude du comportement asymptotique deλh etuh (cf. Proposition A.5) dans la limite d’une petite temp´erature.
Le lecteur peut aussi se r´ef´erer `a l’article [20] pour une revue de la litt´erature sur le comportement `a basse temp´erature de l’´ev´enement de sortie d’un domaine.
Remarque A.12. Certains auteurs ont prouv´e la convergence vers un processus markovien de sauts en utilisant un changement d’´echelle en temps. On renvoie par exemple `a [49] pour une diffusion unidimensionnelle dans un double puits et `a [31, 57]
pour un probl`eme similaire en dimension sup´erieure. Dans [68], il est montr´e qu’un changement d’´echelle temporelle permet d’obtenir une convergence de la diffusion vers un processus markovien `a sauts entre les minima globaux du potentiel f en supposant que ces derniers sont s´epar´es par des points selles `a la mˆeme hauteur.
Dans cette th`ese et comme nous l’avons expliqu´e en Section A.3.1.2, nous adoptons une approche locale pour ´etudier l’´ev´enement de sortie `a basse temp´erature afin de montrer que l’on peut mod´eliser l’´ev´enement de sortie par un mod`ele markovien de sauts param´etr´e par les formules d’Eyring-Kramers.