Remarque A.18. En pratique, pour construire les quasi-modes pour−L(1)f,h, on travaille en fait plutˆot avec l’op´erateur de Witten sur les1-formes
∆(1)f,h=−h2∆ +|∇f|2−h∆f + 2hHessf,
ce qui nous permet de nous appuyer sur des r´esultats obtenus dans la litt´erature. Pour j ∈ {1, ..., n}, nous construisons dans le Chapitre B le quasi-mode vh,j(1) en utilisant le vecteur propre u(1)h,j associ´e `a la valeur propre 0 d’un Laplacien de Witten ∆(1)f,h avec conditions au bord mixtes de Dirichlet et de Neumann sur un domaine Ω˙j ⊂Ω tel que
{z1, ..., zn} ∪ {x0}
∩Ω˙j ={zj}. Nous d´efinissons ensuite vh,j(1) par vh,j(1)=e1hfu(1)h,j.
Cette d´efinition s’explique par le fait que les op´erateurs ∆(1)f,h et−L(1)f,h (cf. (C.34)) sont li´es par la relation
∆(1)f,h=−2h e−h1fL(1)f,he1hf.
De mani`ere intuitive, on s’attend `a ce que la loi de XτΩ se concentre sur les points o`uf atteint son minimum sur ∂Ω. Ce r´esultat a ´et´e obtenu de mani`ere formelle dans [60]
dans le cas de fronti`ere caract´eristique (i.e. ∂nf(x) = 0 pour toutx∈∂Ω) et de fronti`ere non caract´eristique (i.e. ∂nf(x)>0 pour tout x∈∂Ω).
Remarque A.19. Remarquons que le Corollaire B.10 donne des informations encore plus pr´ecises que la concentration de la loi de XτΩ. Il permet de donner un r´esultat asymptotique pr´ecis de la la loi deXτΩ autour des points selles g´en´eralis´es de f qui ne sont pas des minimas globaux de f au bord (cf. Remarque A.15). Ceci dit, dans cette section, nous travaillons dans un cadre g´eom´etrique beaucoup plus g´en´eral que dans la Section A.4.
A.5.2 Position du probl`eme
Les formules obtenues dans [60] ont ´et´e prouv´ees rigoureusement dans [46, 47, 61] dans le cas o`u ∂nf > 0 sur ∂Ω et f a un seul point critique dans Ω (qui est alors son unique minimum global dans Ω). Les techniques utilis´ees en analyse semi-classique nous permettent de g´en´eraliser consid´erablement ce cadre g´eom´etrique. Par exemple, les r´esultats du Chapitre C permettent de consid´erer une situation avec plusieurs points critiques dans Ω et de s’affranchir de l’hypoth`ese∂nf >0 sur∂Ω (ceci dit, nous n’avons pas consid´er´e le cas o`u f a des points selles sur ∂Ω). En supposant toujours que f et f|∂Ω sont des fonctions de Morse, et |∇f| 6= 0 sur ∂Ω, les questions que nous nous sommes pos´ees sont les suivantes:
• Quelles sont les conditions g´eom´etriques pour que, lorsqueX0∼νh, la loi deXτΩ se concentre `a basse temp´erature sur les points o`uf atteint son minimum sur∂Ω (ou sur un sous ensemble de ces points)?
• Sous quelles conditions ces r´esultats se g´en´eralisent `a une condition initiale d´eterministe dans Ω ?
Les r´esultats du Chapitre C ont pour objectif de r´epondre `a ces questions.
Terminons cette section par la remarque suivante d´ej`a utilis´ee dans la Section A.4.1.
Lorsque f etf|∂Ω sont des fonctions de Morse, et|∇f| 6= 0 sur ∂Ω, c’est l’ensemble {z est un minimum local de f|∂Ω} ∩ {z∈∂Ω, ∂nf(z)>0} (A.61) qui joue le rˆole des points selles de f au bord. Lorsque l’on prolonge la fonction f par−∞en dehors de Ω, les points (zi)i=1,...,n sont en effet g´eom´etriquement des points selles. L’ensemble (A.61) est appel´e points selles g´en´eralis´es d’indice 1 de −LD,(0)f,h au bord, d’apr`es [37, Section 5.2].
A.5.3 Des exemples en dimension un
Dans cette section, nous allons apporter des d´ebuts de r´eponses aux questions pos´ees en Section A.5.2 avec des exemples en dimension un. Rappelons un petit r´esultat qui nous permettra de faire des calculs dans cette cette section. Soit z1 < z2 et f ∈ C∞([z1, z2],R). En utilisant la formule de Dynkin, l’unique solution v du probl`eme elliptique
h
2v00−v0f0= 0 etv(z1) = 0, v(z2) = 1,
x•1
{f = min∂Ωf}
x•2 z•1
z•2 c•
C
Figure A.6: Exemple d’une fonction, o`u partant de la distribution quasi stationnaire ou du minimum global x1 de f dans Ω, la loi deXτΩ ne se concentre pas sur des points o`u f atteint son minimum sur ∂Ω
satisfait
∀x∈[z1, z2], v(x) =Px Xτ(z
1,z2) =z2 . Ainsi, pour toutx∈[z1, z2]:
Px[Xτ(z
1,z2) =z2] = Z x
z1
e2hf Z z2
z1
eh2f ,
et donc, pour tout x∈[z1, z2]:
Px[Xτ(z
1,z2) =z1] = Z z2
x
eh2f Z z2
z1
eh2f
. (A.62)
A.5.3.1 Exemple 1
L’objectif ici est de construire un exemple en dimension un pour lequel partant du minimum global de f dans Ω ou de la distribution quasi stationnaireνh, la loi de XτΩ ne se concentre pas sur des points o`u f atteint son minimum sur ∂Ω. Pour cela on consid`ere l’exemple de la Figure A.6 pour lequel nous avons le r´esultat suivant.
Proposition A.10. Soient z1 < z2 et f ∈ C∞([z1, z2],R) une fonction de Morse.
Supposons que f(z1)< f(z2), {x∈[z1, z2], f0(x) = 0}={x2, c, x1} avec z1 < x2 < c <
x1 < z2 et f(x1) < f(x2)< f(z1)< f(z2)< f(d)< f(c) (cf. Figure A.6). Alors, pour tout x∈(c, z2], il existe c >0 telle que dans la limiteh→0:
Px[Xτ(z
1,z2) =z1] =O(e−ch) et donc Px[Xτ(z
1,z2) =z2] = 1 +O(e−hc). (A.63) De plus il existe c >0 telle que dans la limite h→0:
Pνh[Xτ(z
1,z2) =z1] =O(e−hc) et donc Pνh[Xτ(z
1,z2)=z2] = 1 +O(e−hc), (A.64) o`u νh est la distribution quasi stationnaire associ´e au processus (A.60) sur (z1, z2).
Preuve. Prouvons d’abord (A.63). En utilisant (A.62) et une m´ethode de Laplace, pour tout x∈(c, z2], il existec >0 telle que dans la limite h→0:
Px[Xτ(z
1,z2)=z1] =O(e−hc).
Ainsi, pour toutx∈(c, z2], il existec >0 telle que dans la limiteh→0:
Px[Xτ(z
1,z2)=z2] = 1 +O(e−hc).
Prouvons ensuite (A.64). Pour cela, nous allons d’abord montrer qu’il existe une fonc-tion χ∈Cc∞((c, z2),[0,1]) telle que χ= 1 dans un voisinage dex1 et
uh= χ kχkL2
w
1 +O(e−hc)
+r, (A.65)
o`u r∈L2w(z1, z2) satisfaitkrkL2
w =O(e−hc) et c >0 est ind´ependante deh. Soit
˜
u:= χ kχkL2
w
.
Soit β > 0 et πe(0)h le projecteur associ´e aux valeurs propres de −LD,(0)f,h inf´erieures `a e−h2(f(z2)−f(x1))eβh. D’apr`es [37, Th´eor`eme 1], il existe β > 0 telle que pour h assez petit,
Raneπh(0)= 1.
Ainsi,
Ranπeh(0) = Vect (uh).
En utilisant une m´ethode de Laplace, pour tout δ > 0, en choisissant χ telle que supsuppχ0f ≤f(z2)−δ, nous obtenons
(1−eπ(0)h )˜u
2
L2w ≤e2h(f(z2)−f(x1))e−βh
−LD,(0)f,h χ kχkL2
w
, χ kχkL2
w
L2w
= h e2h(f(z2)−f(x1))e−βh 2
Z z2
z1
|∇χ|2e−h2f Z z2
z1
χ2e−2hf
≤Ce−β−δh .
Ainsi, en prenantδ < β, il existe c >0 telle que dans la limiteh→0,
(1−eπh(0))˜u
L2w =O(e−ch).
D`es lors, pourh assez petit
uh= eπh(0)u˜ kπe(0)h uk˜ L2
w
,
ce qui prouve (A.65). En utilisant (A.65), nous avons `a l’aide d’une m´ethode de Laplace, quand h→0:
Z z2
z1
uhe−h2f =f00(x1)−14(πh)14e−1hf(x1)(1 +O(h)).
De plus, si on noteg(x) =Px[Xτ(z
1,z2) =z1] pourx∈[z1, z2], d’apr`es la Proposition A.6 et comme χ ∈ Cc∞((c, d),[0,1]) et kgkL∞ ≤ 1, nous avons dans la limite h → 0 (en utilisant (A.65) dans la troisi`eme ´egalit´e):
Pνh[Xτ(z
1,z2) =z1] = Z z2
z1
g(x)uhe−2hf Z z2
z1
uhe−2hf
= 1
Z z2
z1
uhe−2hf Z c
z1
uhge−2hf + Z z2
c
uhge−h2f
= 1
Z z2
z1
uhe−h2f
"
Z c z1
rge−2hf + Z z2
c
χge−2hf kχkL2
w
+ Z z2
c
rge−2hf
#
= 1
Z z2
z1
uhe−h2f
Z z2
c
χ(x) Z z2
x
eh2(f(y)−f(x))
dydx kχkL2
w
Z z2
z1
e2hf
+O(e−h1(f(x1)+c))
= 1
Z z2
z1
uhe−h2f
O(e2h(f(z2)−f(x1))) kχkL2
w
Z z2
z1
eh2f
+O(e−h1(f(x1)+c))
=O(e−hc),
o`u nous avons utilis´e (A.62) dans la quatri`eme in´egalit´e. Ce qui conclut la preuve de (A.64).
Ainsi, dans le r´egime petite temp´erature et lorsqueX0 =x ∈(c, z2) ou X0 ∼νh le processus (A.60) sort de Ω = (z1, z2) par le pointz2. Pourtant, le point selle g´en´eralis´ez2 (cf. (A.61)) n’est pas le minimum de f sur le bord de Ω. Ceci peut s’expliquer de la mani`ere suivante. La m´etastabilit´e la plus importante dans Ω est caus´ee par la barri`ere de potentiel f(z2)−f(x1) et ce `a cause de la pr´esence du point selle c ∈ Ω d’´energie f(c) > f(z2). La loi de XτΩ lorsqueX0 = x ∈ (c, z2) ne peut alors se concentrer que surz2 puisque qu’il est moins coˆuteux pour le processus de sortir par z2 que de franchir la barri`ere de potentiel f(c)−f(x1) pour sortir par z1. De plus, on peut montrer que distribution quasi stationnaire νh se concentre autour du point x1 ce qui explique que loi de XτΩ lorsque X0 ∼ νh se concentre sur z2. Concernant les deux questions soulev´ees en Section A.5.2, ceci indique qu’`a basse temp´erature, il existe des cas o`u le processus (A.34), partant d’un minimum global de f dans Ω ou de la distribution quasi stationnaire, sort par un point de la fronti`ere qui n’est pas un minimum global def|∂Ω. Cet exemple sugg`ere aussi la chose suivante. Si l’on veut montrer que la loi de XτΩ se concentre en des points o`u f atteint son minimum sur le bord, il convient d’exclure les cas o`u la m´etastabilit´e la plus forte dans Ω n’est pas exclusivement caus´ee par des barri`eres d’´energies impliquant des points o`u f atteint son minimum sur le bord. Une solution pour empˆecher que la loi deXτΩ se concentre en des points o`u f n’atteint pas son minimum sur le bord, est de supposer que la fermeture de la composante connexe C de {f < min∂Ωf} qui contient le minimum global x1 de f intersecte le bord de Ω.
Cette hypoth`ese a ´et´e le point de d´epart de nos travaux au Chapitre C.
x•1
{f = min∂Ωf}
x•2 z•1
z•2 d
c •
•
C
Figure A.7: Exemple d’une fonction, o`u partant de la distribution quasi stationnaire ou du minimum global x1 de f dans Ω, la loi de XτΩ se concentre sur z2 qui est un point o`uf atteint son minimum sur∂Ω mais qui n’est pas un point selle g´en´eralis´e pour
−LD,(0)f,h .
A.5.3.2 Exemple 2
L’objectif ici est de construire un exemple en dimension un pour lequel partant du mini-mum global def dans Ω ou de la distribution quasi stationnaireνh(cf. Proposition A.6), la loi deXτΩ se concentre en un point o`uf atteint son minimum sur∂Ω mais qui n’est pas un point selle g´en´eralis´e pour −LD,(0)f,h (rappelons qu’un point selle g´en´eralis´e pour
−LD,(0)f,h est un point du bord qui g´eom´etriquement est un point selle def lorsque elle est prolong´ee par−∞ en dehors de Ω, cf. (A.61)). Pour cela on consid`ere l’exemple de la figure C.12 pour lequel nous avons le r´esultat suivant.
Proposition A.11. Soient z1 < z2 et f ∈ C∞([z1, z2],R) une fonction de Morse.
Supposons que f(z1) = f(z2), {x ∈ [z1, z2], f0(x) = 0} ={x2, c, x1, d} avec z1 < x2 <
c < x1 < d < z2 et f(x1)< f(x2)< f(z1)< f(d)< f(c) (cf. Figure C.12). Alors, pour tout x∈(c, z2], il existe c >0 telle que dans la limiteh→0:
Px[Xτ(z
1,z2) =z1] =O(e−ch) et donc Px[Xτ(z
1,z2) =z2] = 1 +O(e−hc).
De plus il existe c >0 telle que dans la limite h→0:
Pνh[Xτ(z
1,z2) =z1] =O(e−hc) et donc Pνh[Xτ(z
1,z2)=z2] = 1 +O(e−hc), (A.66) o`u νh est la distribution quasi stationnaire associ´e au processus (A.60) sur (z1, z2) (cf.
Proposition A.6).
La Proposition A.11 se prouve exactement comme la Proposition A.10.
Dans cet exemple repr´esent´e en Figure C.12, la m´etastabilit´e associ´ee `a la barri`ere f(d)−f(x1) est plus forte que la m´etastabilit´e associ´ee au bord de Ω. L`a encore, cette situation est exclue si on suppose que la fermeture de la composante connexe de {f <min∂Ωf} qui contient le minimum globalx1 def intersecte le bord de Ω.
Remarque A.20. Les deux exemples de cette section indiquent que la m´etastabilit´e (cf.
D´efinition A.1) d´epend de la condition initiale x ∈Ω. En effet, on a montr´e avec ces
deux exemples, que l’´ev´enement de sortie de Ωn’est pas toujours le mˆeme partant de la distribution quasi stationnaireνh et partant d’un point x∈Ω.
A.5.4 Enonc´es des r´esultats du Chapitre C
Dans cette section, nous ne pr´esentons qu’une version simplifi´ee des r´esultats du Chapitre C. L’objectif est d’exhiber un cadre g´eom´etrique simple qui assure, d’une part, que la loi de XτΩ se concentre sur les mˆemes points du bord lorsque X0 ∼νh ou X0 ∼ x ∈ Ω pour x ∈ {f < min∂Ωf} et, d’autre part, que cette concentration se fait sur des points selles g´en´eralis´es de f appartenant `a arg min∂Ωf. On d´efinit les deux hypoth`eses suivantes:
• [H-Morse]La fonctionf estC∞. Les fonctions f : Ω→Ret la restriction de f au bord de Ω, not´ee f|∂Ω, sont des fonctions de Morse (cf. D´efinition A.2). De plus,|∇f|(x)6= 0 pour toutx∈∂Ω.
• [H-Min]L’ensemble {f <min∂Ωf}est non vide, connexe et satisfait arg min
Ω
f ⊂ {f <min
∂Ω f} et {f <min
∂Ω f} ∩∂Ω6=∅.
Remarquez que sous les hypoth`eses [H-Morse]et [H-Min]nous avons min∂Ω f >min
Ω
f = min
Ω f.
Sous les hypoth`eses[H-Morse]et[H-Min], nous notons {f <min
∂Ω f} ∩∂Ω ={z1, ...., zk0}, (A.67) o`u {f <min∂Ωf}d´esigne la fermeture de l’ensemble {f <min∂Ωf} dans Ω.
Remarque A.21. Les points {z1, ...., zk0} sont des points selles g´en´eralis´es de f sur
∂Ω(cf. (A.61)), i.e. qui satisfont
{z1, ...., zk0}={z∈∂Ω, ∂nf(z)>0} ∩arg min
∂Ω
f (A.68)
En effet, d’une part, pour tout i∈ {1, ..., k0}, ∂nf(zi)6= 0 puisque∇f(zi)6= 0 (d’apr`es [H-Morse]) et commezi n’est pas un minimum local defdansΩ(carzi∈ {f <min∂Ωf}), nous avons n´ecessairement∂nf(zi)>0. Ce qui montre une premi`ere inclusion dans (A.68).
L’inclusion inverse est triviale.
Remarque A.22. Sous l’hypoth`ese[H-Min], la d´eriv´ee normale def peut changer de signe et la fonction peut avoir des points selles dans Ω plus haut que min∂Ωf comme sur l’exemple en dimension 1 repr´esent´e par la Figure A.8.
L’hypoth`ese[H-Min]a pour but d’assurer que la distribution quasi stationnaireνh se concentre dans {f <min∂Ωf} et que partant d’un point x ∈ {f < min∂Ωf} ou de νh, la concentration de la loi de XτΩ se fait sur les points selles g´en´eralis´es de f au bord {z1, ...., zk0} (cf. (A.67)). Remarquez que l’hypoth`ese[H-Min]n’est v´erifi´ee dans aucun des deux exemples donn´es en Section A.5.3. Le th´eor`eme suivant (qui est une cons´equence des r´esultats du Chapitre C) montre, d’une part, que νh se concentre sur {f <min∂Ωf}et, d’autre part, que partant d’un pointx∈ {f <min∂Ωf}ou deνh, la concentration de la loi de XτΩ se fait sur{z1, ...., zk0}.
z1
x1 x2
{f <min∂Ωf}
Figure A.8: Un exemple en dimension 1 dans lequel l’hypoth`ese[H-Min]est satisfaite, la d´eriv´ee normale def sur∂Ω change de signe et la fonction f a un point selle dans Ω plus haut que min∂Ωf.
Th´eor`eme A.2. Supposons que les hypoth`eses[H-Morse]et[H-Min]sont satisfaites.
Soitνh la distribution quasi-stationnaire associ´ee au processus(A.60)surΩ. Alors, dans la limite h→0
νh {f <min
∂Ω f}
= 1 +O(h).
Soit F ∈C∞(∂Ω,R). Nous avons dans la limite h→0:
Eνh[F(XτΩ)] =
k0
X
i=1
F(zi)ai+O(h), (A.69) o`u pour i∈ {1, ..., k0},
ai= ∂nf(zi) q
det Hessf ∂Ω(zi)
k0
X
j=1
∂nf(zj) q
det Hessf ∂Ω(zj)
−1
.
De plus, si suppF ∩ {z1, ..., zk0}=∅, il existec >0 telle que dans la limite h→0:
Eνh[F(XτΩ)] =O(e−ch). (A.70) Enfin, (A.69)et (A.70) sont aussi vraies lorsqueX0 =x∈ {f <min∂Ωf}.
Dans le Chapitre C nous obtenons des r´esultats similaires sous des hypoth`eses plus faibles sur f. De plus, nous donnons des ´equivalents pr´ecis quand h → 0 de λh et du comportement asymptotique de∂nuh. Nous renvoyons pour cela au Chapitre C.
A.5.5 Sch´ema de la preuve du Th´eor`eme A.2
Dans cette section, nous allons donner le sch´ema de la preuve de (A.69) qui constitue le r´esultat principal du Th´eor`eme A.2. Rappelons tout d’abord que d’apr`es (A.31), pour F ∈C∞(∂Ω,R)
Eνh
F(XτΩ)
=− h 2λh
Z
Σ
F ∂nuhe−2hf Z
Ω
uhe−2hf ,
o`u uh est le vecteur propre associ´e `a la plus petite valeur propreλh de −LD,(0)f,h . Ainsi, afin de prouver (A.69), nous ´etudions le comportement asymptotique quandh→0 des quantit´es
λh, ∂nuh et Z
Ω
uhe−h2f. (A.71)
Sous les hypoth`eses[H-Morse]et[H-Min], nous d´efinissons les entiers suivants m0:= Card
arg min
Ω
f
et
m1 : = Card
{z est un minimum local def|∂Ω} ∩ {z∈∂Ω, ∂nf(z)>0}
+ Card
{z est un point selle def}
, (A.72)
o`u nous rappelons qu’un point selle est par d´efinition un point critiquex de f tel que la matrice hessienne def en x a une seule valeur propre n´egative (cf. D´efinition A.2).
L’entierm1 est le nombre de points selles g´en´eralis´es def dans Ω (cf. [37, Section 5.2]).
Pour ´etudier le comportement asymptotique des quantit´es (A.71), le point de d´epart est d’observer que le gradient deuhest aussi solution d’un probl`eme aux valeurs propres pour la mˆeme valeur propre λh (comme en Section A.4.3). Rappelons ce point. La fonctionuh satisfait
(−L(0)f,huh =λhuh dans Ω, uh = 0 sur∂Ω.
Si l’on d´erive cette expression, nous obtenons que le gradient de uh est solution du probl`eme aux valeurs propres suivant
−L(1)f,h∇uh=λh∇uh dans Ω,
∇Tuh= 0 sur ∂Ω, h
2div− ∇f·
∇uh= 0 sur ∂Ω,
(A.73)
o`u
L(1)f,h= h
2∆− ∇f · ∇ −Hessf (A.74) est un op´erateur agissant que les 1-formes (c’est-`a-dire les champs de vecteur). Ainsi, (∇uh, λh) est un couple vecteur propre-valeur propre de −LD,(1)f,h qui est l’op´erateur
−L(1)f,h associ´e `a des conditions au bord de type tangentiel Dirichlet, cf. (A.73).
Pour poursuivre le raisonnement, rappelons que, sous les hypoth`eses[H-Morse]et [H-Min] et dans la limite h → 0, l’op´erateur −LD,(0)f,h a exactement m0 valeurs propres inf´erieures `a
√ h
2 et l’op´erateur −LD,(1)f,h a exactement m1 valeurs propres inf´erieures `a
√h
2 (cf. [37, Chapter 3]). En fait, toutes ces petites valeurs propres sont exponentielle-ment petites et les autres sont minor´ees par une constante dans la limite h → 0. En particulier λh est une valeur propre exponentiellement petite des op´erateurs −LD,(0)f,h
et −LD,(1)f,h . Dans la suite, on appelle πh(0) (respectivement πh(1)) le projecteur orthogo-nal dans L2w(Ω) sur les m0 (respectivement m1) petites valeurs propres de l’op´erateur
−LD,(0)f,h (respectivement−LD,(1)f,h ). D’apr`es ce qui pr´ec`ede, nous avons:
dim Ranπ(0)h =m0, dim Ranπh(1)=m1
et
∇uh ∈Ranπ(1)h .
Nous allons maintenant expliquer la proc´edure adopt´ee pour prouver le Th´eor`eme A.2.
Pour cela, introduisons l’ensemble des minima locaux de f
U0Ω:={x∈Ω, x est un minimum local de f}, et l’ensemble des points selles g´en´eralis´es def dans Ω
U1Ω =
{z est un minimum local de f|∂Ω} ∩ {z∈∂Ω, ∂nf(z)>0}
[ {z est un point selle def}.
Rappelons que d’apr`es (A.72), m1 = Card U1Ω
. La premi`ere ´etape de la preuve consiste `a d´efinir deux fonctionsej et j. La fonctionejassocie `a chaque minimum local x de f la composante connexe de l’ensemble {f < λ} qui contient x o`u λ−f(x) est la barri`ere d’´energie minimale que le processus (A.60) doit franchir pour aller vers un autre minimum local def plus bas en ´energie que x ou pour sortir de Ω. La fonction
j: U0Ω→ P(U1Ω)
associe `a chaque minimum local x de f les points selles g´en´eralis´es de f dans Ω qui appartiennent au bord deej(x).
La deuxi`eme ´etape consiste `a construire une base de Ranπh(0) et de Ranπh(1). Pour cela, on construit deux familles de quasi-modes, not´ees (uek)k∈{1,...,m0} et (ψej)j∈{1,...,m1}, que l’on projette ensuite respectivement sur Ranπh(0) et Ranπh(1). Pour construire la famille de 1-formes (ψej)j∈{1,...,m1}, nous proc´edons comme suit. Pour chaque point selle z de f dans Ω, en suivant la proc´edure de [36], nous construisons une 1-forme dont le support est un petit voisinage de z dans Ω. Pour un minimum local z de f|∂Ω
pour lequel ∂nf(z) > 0, nous construisons une 1-forme dans un petit voisinage de z dans Ω comme propos´e dans [37]. Pour construire la famille de fonction (euk)k∈{1,...,m0}, nous construisons pour chaque minimum local x de f une fonction dont le support est quasiment tout l’ensembleej(x) (cette proc´edure s’inspire de [36, 37, 43]).
La troisi`eme ´etape consiste `a obtenir un ´equivalent pr´ecis de λh quand h → 0.
La valeur propre λh est ´egale au carr´e de la plus petite valeur singuli`ere non nulle de l’op´erateur
∇: Ranπ(0)h →Ranπh(1).
Pour ´etudier le comportement asymptotique quand h → 0 de cette valeur singuli`ere, nous utilisons les bases construites `a l’´etape pr´ec´edente pour Ranπh(0) et Ranπ(1)h . L’analyse de ce probl`eme de dimension finie s’inspire de techniques utilis´ees dans [43].
Nous ´etudions ensuite le comportement asymptotique de la d´eriv´ee normale deuh au bord de Ω pour en d´eduire que la loi deXτΩ se concentre sur des points de arg min∂Ωf lorsqueX0 ∼νh. Enfin, nous d´emontrons des r´esultats dit de “leveling” sur la fonction
x7→Ex[F(XτΩ)]
pour obtenir, lorsqueX0=x∈ {f <min∂Ωf}, la concentration de la loi deXτΩ sur les mˆeme points de arg min∂Ωf que lorsqueX0∼νh.
En conclusion les r´esultats principaux du Chapitre C sont les suivants:
1. Nous utilisons des techniques d´evelopp´ees dans [36, 37, 43] pour ´etudier d’une part le comportement asymptotique pr´ecis deλh et∂nuh, et d’autre part la concentra-tion de la loi deXτΩ sur des points de arg min∂Ωf lorsqueX0∼νh.
2. Nous identifions les points de arg min∂Ωf o`u la loi de XτΩ se concentre lorsque X0∼νh en explicitant les probabilit´es de sortie par chacun de ces points.
3. Nous ´etendons les r´esultats pr´ec´edents sur la loi de XτΩ pour une condition d´eterministe: X0=xavec f(x)<min∂Ωf.
4. Les r´esultats sont obtenus sous des hypoth`eses g´eom´etriques assez faibles sur la fonction f et nous illustrons sur des exemples en quoi ces hypoth`eses sont n´ecessaires pour obtenir les r´esultats obtenus.
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Chapter B
Sharp asymptotics of the first exit point density
Abstract
We consider the exit event from a metastable state for the overdamped Langevin dynamics dXt = −∇f(Xt)dt+√
hdBt. Using tools from semiclassical analysis, we prove that, starting from the quasi stationary distribution within the state, the exit event can be modeled using a jump Markov process parametrized with the Eyring-Kramers formula, in the small temperature regimeh →0. We provide in particular sharp asymptotic estimates on the exit distribution which demonstrate the importance of the prefactors in the Eyring-Kramers formula. Numerical exper-iments indicate that the geometric assumptions we need to perform our analysis are likely to be necessary. These results also hold starting from deterministic initial conditions within the well which are sufficiently small in energy. From a mod-elling viewpoint, this gives a rigorous justification of the transition state theory and the Eyring-Kramers formula, which are used to relate the overdamped Langevin dynamics (a continuous state space Markov dynamics) to kinetic Monte Carlo or Markov state models (discrete state space Markov dynamics). From a theoretical viewpoint, our analysis paves a new route to study the exit event from a metastable state for a stochastic process.
Contents
B.1 Motivation and presentation of the results . . . . 69 B.1.1 Overdamped Langevin dynamics and metastability . . . . 69 B.1.2 From the potential function to a jump Markov process . . . . . 70 B.1.3 Review of the mathematical literature on the Eyring-Kramers
formula . . . . 72 B.1.4 Quasi stationary distribution . . . . 74 B.1.5 Statement of the main result . . . . 77 B.1.6 Discussion and generalizations . . . . 82 B.1.7 Strategy of the proof of Theorem B.1 . . . . 90 B.2 General setting and strategy for the proof of Theorem B.1 91 B.2.1 Witten Laplacians . . . . 92 B.2.2 Statement of the assumptions required for the quasi-modes . . 97 B.2.3 Proof of Proposition B.17 . . . . 99 B.3 On the Agmon distance . . . 106
B.3.1 The setA(x, y) and an equivalent definition of the Agmon dis-tance . . . 107 B.3.2 First properties of the Agmon distance . . . 112 B.3.3 Agmon distance near critical points of f or f|∂Ω and eikonal
equation . . . 117 B.3.4 Curves realizing the Agmon distance . . . 123 B.3.5 Agmon distance in a neighborhood of the basin of attraction
of a local minimum off|∂Ω and eikonal equation . . . 134 B.4 Construction of the quasi-modes and proof of Theorem B.1 139
B.4.1 Geometric setting and definition of the Witten Laplacians with mixed boundary conditions . . . 140 B.4.2 Definition of the quasi-modes . . . 160 B.4.3 Agmon estimates onu(1)h,i . . . 162 B.4.4 Comparison of the eigenformu(1)h,i and its WKB approximation 170 B.4.5 Proof of Theorem B.1 . . . 187 B.5 Consequences and generalizations of Theorem B.1 . . . 194
B.5.1 Proofs of Proposition B.6, Proposition B.7, Corollary B.8 and Corollary B.10 . . . 194 B.5.2 Proofs of Theorem B.2 and Corollary B.11 . . . 201 Bibliography of Chapter B . . . 215