Nous allons à présent définir une stratégie pour le policier qui est basée sur un ordre de l- démantèlement d’un U -graphe. Nous verrons à la section6.5que cette stratégie est strictement monotone sur un U -graphe G si et seulement si G est l-démontable.
Définition 6.12. Étant donné un ordre de l-démantèlement (<, d<)G sur un U -graphe G,
la stratégie de l-domination (xn, S<) correspondante pour le policier sera définie comme suit
pour un policier en position c et un voleur en position r : S<(c, r) est le plus petit sommet,
par égard pour l’ordre <, qui est à la fois dans le l-voisinage fermé de la position du policier et dans le chemin de l-domination entre r et xn. Autrement dit, il s’agit du plus petit élément de NlG[c] ∩ V (P<(r)). Dans le cas où cet ensemble est vide, alors le policier reste sur place.
Il est à noter que si c = r, alors comme r est le plus petit sommet du chemin de l-domination P<(r), nous aurons bien S<(c, c) = c, comme il se doit.
Notons aussi qu’il y a une possibilité que cette stratégie tourne à la catastrophe pour le policier. Ce serait entre autres le cas si NlG[c] ∩ V (P<(r)) est vide, car le voleur n’aurait qu’à rester
à sa position courante et le policier resterait alors indéfiniment sur place. Les deux lemmes qui suivent (6.13 et 6.14) montrent justement qu’une telle situation n’arrive jamais. Nous montrerons même qu’une telle stratégie est toujours gagnante pour le policier. Cependant, pour l’instant, le lecteur est invité à constater que la stratégie gagnante de l’exemple 6.7
est en fait une stratégie de l-domination qui est basée sur l’arbre de l-démantèlement de la figure 6.4. En particulier, il est intéressant d’analyser le mouvement (x4, x1) 7→ x5, car
x5 est bien le plus petit sommet (au sens de <) qui est à la fois voisin du sommet occupé
par le policier et sur le chemin de l-domination partant de la position du voleur (c.-à-d. P<(x1) := hx1, d<(x1) = x5, d2<(x1) = xni).
Ce premier lemme montre que si le policier se trouve sur le chemin de l-domination du voleur (ce que cherche à faire un policier qui suit une stratégie de l-domination), alors le policier bloque l’accès au sommet racine xn de l’arbre de l-démantèlement.
Lemme 6.13. Soit (<, d<)G un ordre de l-démantèlement sur un U -graphe G et soit c, r ∈
Vl(G) tel que c ∈ V (P<(r)) \ {r}. Alors, la composante connexe de G − (NG[c] \ {r}) qui
contient r ne contient pas xn.
Démonstration. Soit Hr la composante connexe de G − (NG[c] \ {r}) qui contient r. Sup-
posons le contraire, soit que xn∈ Vl(Hr). Alors, clairement, xn∈ N/ G[c].
Soit c0 ∈ V (P<(r)) tel que c = d<(c0). Nous savons qu’un tel c0 existe nécessairement parce
que dans le pire des cas nous avons c0 = r. Soit P un (r, xn)-chemin dans Hr. Si on considère
maintenant Gc0 := G{z ∈ Vl(G) : z < c0}, nous savons que xn est un sommet clair dans Gc0,
car c0 < xn. Puisque c = d<(c0), nous avons c0 ≺ G c0 l c et ainsi F G c0 c (c0) = ∅. En particulier, xn ∈ F/ G c0
c (c0). Soit Er la composante connexe de G − (NG[c] \ {r, c0}) tel que r ∈ V (Er).
Alors, deux cas sont possibles :
Cas 1 c0 ∈ V (Er). Dans ce cas, il existe un (c0, xn)-chemin P0 (qui utilise P ) dans G tel que
V (P0) ∩ (NG[c] \ {r, c0}) = ∅. Puisque P0 est aussi un chemin de Gc0, ayant potentiellement
plus de sommets sombres et puisque xn est clair, nous avons xn ∈ F G
c0
c (c0), ce qui est une
contradiction.
Cas 2 c0 ∈ V (E/ r). Dans ce cas,
[c0, z] /∈ E(G), ∀z ∈ V (P ). (6.1)
Soit Q := hr = v0, v1, . . . , vk= c0i l’unique (r, c0)-chemin de G induit par V (P<(r))\V (P<(c)).
On a c0 6= r puisque c0 ∈ V (E/
r), et par conséquent, k > 0. D’autre part, le chemin Q est tel
que vi ≺ G
vi
l vi+1, 0 ≤ i < k et aussi tel que vi < xn, 0 ≤ i ≤ n. On remarque ainsi la
chose suivante. Puisque v0 ≺Gv0
l v1 et que xn est clair, alors il doit y avoir une arête entre
v1 et un sommet de P − {v0} (disons z1). Considérons le chemin P1 composé de v0z1 et du
sous-chemin de P qui va de z1 à xn. Similairement, puisque v1 ≺Gv1
l v2, et que xn est clair,
il doit aussi y avoir une arête entre v2 et un sommet de P1− {v1} (disons z2). Notons que
z2 doit appartenir à P . Continuant ce raisonnement, on peut définir P2, . . . , Pk−1 et conclure
qu’il existe un sommet zk de Pk−1− {vk−1} qui soit adjacent à vk. Comme par construction zk est dans P et comme c0 = vk, nous avons une contradiction à l’équation6.1.
Puisque tous les cas mènent à une contradiction, nous pouvons conclure qu’un tel chemin P ne peut exister dans Hr et qu’il en résulte donc que xn∈ H/ r.
Le lemme qui suit nous montre que le policier peut tout le temps se déplacer sur un sommet (le plus petit selon <) qui se trouve sur le chemin de l-domination induit par la position courante du voleur.
Lemme 6.14. Soit (xn, S<) une stratégie de l-domination pour le policier sur un U -graphe G
et G := hc0 = xn, r0, c1, r1, . . .i une (xn, S<)-partie jouée sur G. Alors, NG[ci]∩V (P<(ri)) 6= ∅,
pour tout i ≥ 0.
Démonstration. Nous procéderons par induction sur i. Le cas de base, i = 0, est trivial puisque c0 = xn et xn ∈ V (P<(x)), ∀x ∈ Vl(G). Nous supposerons maintenant que NG[ci] ∩
V (P<(ri)) 6= ∅ et nous démontrerons que nous avons aussi NG[ci+1] ∩ V (P<(ri+1)) 6= ∅.
On remarque premièrement que si ri ∈ NG[ci], alors le policier a soit déjà attrapé le voleur
(ci= ri), soit il l’attrapera au tour suivant, car alors ci+1= S<(ci, ri) = ri. Dans les deux cas,
D’autre part, si ri ∈ N/ G[c
i], alors, de par notre hypothèse d’induction et notre définition d’une
(xn, S<)-partie jouée, nous avons donc que ci+1 ∈ V (P<(ri) − {ri}). Dans ce cas, comme le
chemin P<(ri) lie ri à xn, par le lemme 6.13, nous avons donc également que V (P<(ri+1)) ∩
NG[ci+1] 6= ∅.
L’observation suivante est une conséquence directe du résultat précédent.
Observation 6.15. Si G := hc0 = xn, r0, c1, r1, . . .i est une (xn, S<)-partie jouée sur un
U -graphe G, alors ci ∈ V (P<(ri−1)), pour tout i > 0.
Le lemme 6.16 permet de démontrer qu’en suivant une stratégie de l-domination, le poli- cier joue seulement sur des sommets minimaux, c’est-à-dire sur des feuilles de l’arbre de l- démantèlement, s’il s’agit de capturer le voleur.
Lemme 6.16. Soit (<, d<)G un ordre de l-démantèlement sur un U -graphe G et soit G := hc0 = xn, r0, c1, r1, . . .i une (xn, S<)-partie jouée sur G. Pour tout indice i < iG, il existe
un sommet clair y tel que d<(y) = ci. Autrement dit, le policier ne peut se déplacer vers un
sommet qui n’a pas de d< pré-image que si, par ce fait, il attrape le voleur.
Démonstration. Soit ci tel qu’il n’existe pas de sommet y ayant d<(y) = ci. Puisque xn
ne satisfait pas cette propriété, nous avons nécessairement i > 0. Selon l’observation 6.15, nous savons que le policier se déplace toujours sur un sommet qui se trouve dans le chemin de l-domination induit par la position courante du voleur (c.-à-d. ci ∈ V (P<(ri−1))). Comme
P<(ri−1) := hri−1, d<(ri−1), d2<(ri−1), . . . , dj<(ri−1) = xni, pour un certain j > 0, nous devons
donc avoir ri−1= ci, tel que désiré.
Notons que les éléments qui n’ont pas de d<pré-image sont exactement les feuilles de l’arbre de
l-démantèlement. En particulier, puisque x1 est <-minimal, il ne peut avoir de d< pré-image.
En conséquence, le policier ne se déplacera jamais sur ce sommet au courant d’une partie en suivant une stratégie de l-domination, à moins que ce ne soit pour capturer le voleur.