À la section6.4, nous avons défini une stratégie de l-domination pour le policier qui exploite l’ordre de l-démantèlement que nous avons préalablement introduit. Nous présenterons main- tenant un second résultat majeur, soit que cette stratégie est strictement monotone, et donc,
par conséquent, policier-gagnante (voir théorème 6.23). En effet, rappelons l’atout majeur d’une stratégie strictement monotone : le policier progresse constamment vers la capture du voleur.
Nous allons dans un premier temps définir formellement les ensembles {Ei<}i<iG, puis nous
montrerons (théorème 6.22) que pour chaque i ≥ 0, les sommets de Ei< sont i-sécurisés, justifiant ainsi le nom d’espace sécurisé que nous donnons à cette définition. Le théorème6.23
montrera que les stratégies qui en découlent sont policier-gagnantes, nous montrant par le fait même que la l-démontabilité est une condition suffisante pour l’existence d’une stratégie gagnante pour le policier. La section 6.6 montrera qu’en plus, cette condition est nécessaire, donnant ainsi lieu à la caractérisation des graphes policier-gagnants que nous cherchons. Définition 6.17. Soit (<, d<)Gun ordre de l-démantèlement sur un U -graphe G et G := hc0 =
xn, r0, c1, r1, . . .i une (xn, S<)-partie jouée sur G. Pour tout i < iG, c’est-à-dire pour tout tour
où le voleur n’est pas capturé, on définit l’espace sécurisé de l-domination Ei< récursivement de la façon suivante :
– E0<= {xn}
– Ei<= Ei−1< ∪ V (P<(yi−1))
où yi−1 est l’unique sommet de P<(ri−1) tel que d<(yi−1) = ci.
Il vaut la peine de mentionner que le sommet yi−1 existe nécessairement selon le lemme 6.16.
Nous pouvons aussi noter que cet ensemble a la propriété que si un sommet clair x est dans Ei<, alors V (P<(x)) est aussi inclus dans Ei<. Finalement, notons que, comme il se doit, l’espace sécurisé de l-domination n’est constitué que de sommets clairs.
Exemple 6.18. Considérons une fois de plus le U -graphe de la figure6.4. Les espaces sécurisés de l-domination qui correspondent à la stratégie de l-domination et à la partie hc0= xn, r0 =
x3, c1 = x4, r1 = x2, c2 = xn, r2 = x2, c3 = x2, . . .i sont :
– E0<= {xn}
– E1<= {xn, x3, x4}
– E2<= {xn, x3, x4, x2}
Le policier attrape ensuite le voleur au troisième tour, c’est-à-dire iG = 3.
Les lemmes 6.19 à6.21 sont dédiés à établir une structure de démantèlement, qui prendra la forme ici d’une structure d’assombrissement d’un U -graphe G. Étant donné une partie jouée sur G, nous allons mettre l’accent sur les conditions sous lesquelles cette partie reste valide sur G{x1} et nous définirons une partie alternative sur ce U -graphe lorsque ce n’est pas le cas.
Tout ceci nous permettra d’utiliser l’induction sur le nombre de sommets clairs d’un U -graphe contre-exemple dans les prochains résultats de ce mémoire.
Lemme 6.19. Soit (<, d<)G un ordre de l-domination sur un U -graphe G contenant au moins
deux sommets clairs, G := hc0 = xn, r0, c1, r1, . . .i une (xn, S<)-partie jouée sur G et {Ei<}i<iG
l’espace sécurisé de l-domination correspondant. Si x1, le plus <-petit élément de Vl(G), ap-
partient à un certain Ei<, avec i < iG, alors ci = d<(x1) et ri= x1. Ceci implique que le voleur
est attrapé au tour suivant, et on a donc iG= i + 1.
Démonstration. Supposons donc qu’il existe un i < iG tel que x1 ∈ Ei<. Soit donc i un tel
indice et sans perte de généralité, supposons qu’il a été choisi le plus petit possible. Notons d’abord que i 6= 0, car sinon, par la définition6.17, il en découlerait que x1= xn, contredisant
ainsi le fait que G a au moins deux sommets clairs. Donc, i ≥ 1, ce qui par la définition 6.17
implique que x1 ∈ V (P<(yi−1)), où yi−1 est tel que défini à la définition 6.17. Comme x1
n’a pas de d< pré-image et que tous les sommets de V (P<(yi−1)), sauf peut-être yi−1, en ont
une, nous devons donc avoir yi−1= x1. Par la définition de yi−1, nous devons également avoir
ci = d<(x1) et, conséquemment, ri = x1. Le policier attrapera donc le voleur au prochain
tour.
Lemme 6.20. Soit (<, d<)G un ordre de l-démantèlement d’un U -graphe G contenant au moins deux sommets clairs et G une (xn, S<)-partie jouée sur G. Soit également (<, d<)G{x1}
la restriction de (<, d<)G à G{x1}. Si x1 ∈ G, alors G est une (x/ n, S<)-partie valide sur
le U -graphe G{x1}. De plus, les espaces sécurisés sont les mêmes, que la partie G soit jouée sur G ou sur G{x1}.
Démonstration. Il découle directement de la définition du l-démantèlement (définition6.3) que cette restriction est un ordre de l-démantèlement sur G{x1}, sauf que le plus petit
<-élément est maintenant x2.
Puisque G := hc0 = xn, r0, c1, r1, . . .i est une (xn, S<)-partie et que S<(c, r) et S<(c, r) ne
diffèrent que si c = x1 ou r = x1, ce qui par hypothèse ne peut arriver dans cette partie,
nous avons donc que S<(ci, ri) = S<(ci, ri), i ≥ 0. Conséquemment, et puisque G est une
(xn, S<)-partie valide sur G, il s’agit aussi d’une (xn, S<)-partie valide sur G{x1}. Le fait
que les espaces sécurisés sont les mêmes découle immédiatement de la définition 6.17 et du fait que x1, étant le plus petit élément et étant évité par le voleur, ne peut appartenir à aucun des V (P<(yi−1)) de la définition.
Dans la suite de ce mémoire, à chaque fois que nous parlerons d’une partie valide sur G{x1},
il sera toujours entendu que ce sera par rapport à l’ordre de l-démantèlement restreint, comme il est défini dans l’énoncé du lemme6.20.
Lemme 6.21. Soit (<, d<)G un ordre de l-démantèlement sur un U -graphe G et G := hc 0 =
xn, r0, c1, r1, . . .i une (xn, S<)-partie jouée sur G. Alors, FcGi(x1) ⊆ F
G
ci(d<(x1)), pour tout
i > 0.
Démonstration. Soit i > 0 et y ∈ Vl(G) tel que y ∈ FcGi(x1) et montrons qu’alors, y appar-
tient également à FcG
i(d<(x1)). Il y a deux cas à considérer.
Cas 1 y = x1. Alors x1 n’est pas dans le voisinage fermé de ci, ce qui implique qu’un
voleur positionné en d<(x1) pourra atteindre x1, son voisin immédiat. Nous avons donc que
x1∈ FcGi(d<(x1)), tel que souhaité.
Cas 2 y 6= x1. Soit alors P := hx1, v2, . . . , vk = yi, un (x1, y)-chemin dont les sommets
autres que x1 évitent NG[ci]. Puisque x1 ≺Gl d<(x1), nous savons que v2∈ NG[d<(x1)]. Donc
le (d<(x1), y)-chemin P0:= hd<(x1), v2, . . . , vk = yi est un chemin dont tous les sommets, sauf
peut-être d<(x1), évitent NG[ci]. Notons que comme y 6= x1, alors y /∈ NlG[ci], ce qui implique
entre autres que d<(x1) 6= y. Nous avons donc bien que y ∈ FcGi(d<(x1)).
Nous pouvons maintenant démontrer que les espaces sécurisés de l-domination sont en effet sécurisés.
Théorème 6.22. Soit (<, d<)G un ordre de l-démantèlement sur un U -graphe G et G une
(xn, S<)-partie jouée sur G. Alors, les espaces sécurisés de l-domination Ei< correspondants
sont i-sécurisés pour tout 0 ≤ i < iG− 1.
Démonstration du Théorème. Supposons que l’énoncé est faux. Prenons comme contre- exemple le triplet (G, (<, d<)G, G) tel que le nombre de sommets clairs de G est le plus petit possible et G est une partie sur G où le voleur évite le plus longtemps possible le sommet x1
(ou même l’évite toujours). Il existe donc un i ∈ {0, . . . , iG− 2} et un x ∈ Ei< qui est non
i-sécurisé. Ceci implique qu’il existe j ≥ i tel que rj = x, mais cj+1 6= rj, c’est-à-dire qu’on a
x ∈ FcGj(rj−1).
L’énoncé est vrai si G n’a qu’un seul sommet clair, car alors iG = 0, donc la collection des
{E<
i }i<iG est vide. Ainsi, G contient au moins les sommets x1 et d<(x1). Le voleur ne peut
éviter x1 dans G, car il découlerait du lemme6.20que le triplet (G{x1}, (<, d
<)G{x1}, G)
est également un contre-exemple, contredisant la minimalité du nombre de sommets clairs de G.
– x1 = rk 6∈ NlG[ck]. En effet, si k > 0, le voleur ne peut se déplacer vers une position
sous surveillance et le voleur atteint x1 pour la première fois au tour k ; si k = 0 et x1 = rk ∈ NlG[ck], le voleur se fait attraper au tour k + 1 = iG, donc G n’est pas un
contre-exemple, car alors E0<= {xn} est bien 0-sécurisé.
– d<(x1) est dans le voisinage de ck, car sinon, le voleur aurait pu jouer en d<(x1) au tour
k et rejoindre la position rk+1 au tour suivant, puisque selon le lemme 6.21, FcGk(x1) ⊆
FcGk(d<(x1)), contredisant l’hypothèse d’évitement maximal sur G.
Puisque le policier suit sa stratégie de l-domination, ces résultats impliquent ck+1 = d<(x1),
ce qui immobilise le voleur (c’est-à-dire rk+1 = x1) et implique que ck+2 = x1, mettant fin à
la partie ; ainsi iG= k + 2.
On observe que :
– j < k + 2, car par la défnition6.8, j < iG.
– j 6= k + 1, car si c’était le cas, alors rj = rk+1 = x1, et à cette position le voleur est
immobilisé par le policier, en position ck+1 = d<(x1), et se fait capturer le tour suivant,
c’est-à-dire cj+1= ck+2 = x1= rj, une contradiction.
– j 6= k, car si c’était le cas, par le lemme 6.19, on aurait cj = d<(x1) et rj = x1, donc
cj+1 = rj, une contradiction.
Ainsi, j < k. Alors le triplet (G, (<, d<) , G0), où G0est la (xn, S<)-partie qui commence comme
G, mais où le voleur s’arrête à rj (i.e., x = rj, rj+1, . . . ), serait également un contre-exemple
où le voleur éviterait toutefois indéfiniment x1, contredisant l’hypothèse d’évitement maximal sur G. La démonstration est donc complète.
Le résultat qui suit se classe parmi les résultats principaux de ce mémoire. Il est indispensable pour démontrer qu’un U -graphe l-démontable est policier-gagnant.
Théorème 6.23. Soit (<, d<)Gun ordre de l-démantèlement sur un U -graphe G. Alors la stra-
tégie de l-domination (xn, S<) pour le policier est strictement monotone, ayant {Ei<} comme
famille d’espaces sécurisés.
Démonstration du Théorème. Supposons que l’énoncé est faux. Prenons comme contre- exemple le triplet (G, (<, d<)G, G) tel que le nombre de sommets clairs de G est le plus petit possible et G est une partie sur G où le voleur évite le plus longtemps possible le sommet x1
(ou même l’évite toujours). Soit i ∈ {0, . . . , iG− 2} le plus petit indice tel que Ei<= Ei+1< ; on
remarque que iG > 2, ce qui implique que i > 0. En effet, E0< = {xn} et comme la partie n’est
pas terminée, le policier se déplacera vers le voleur, sécurisant ainsi deux nouveaux sommets de V (P<(r0)), dont c1, ce qui implique que E0<⊂ E1<.
G contient au moins les deux sommets x1 et d<(x1) puisque iG > 2. Comme dans la dé-
monstration précédente, le voleur ne peut éviter x1 dans G, car il découlerait du lemme6.20
que le triplet (G{x1}, (<, d
<)G{x1}, G) est également un contre-exemple, contredisant la
minimalité du nombre de sommets clairs de G. Il existe donc un plus petit indice k tel que rk= x1. Similairement à la démonstration précédente, nous avons :
– x1 = rk 6∈ NlG[ck]. En effet, si k > 0, le voleur ne peut se déplacer vers une position
sous surveillance et le voleur atteint x1 pour la première fois au tour k ; si k = 0 et x1= rk∈ NlG[ck], le voleur se fait attraper au tour k + 1 = 1 < iG, une contradiction.
– d<(x1) est dans le voisinage de ck, car sinon, le voleur aurait pu jouer en d<(x1) au tour
k, et rejoindre la position rk+1 au tour suivant, puisque selon le lemme6.21, FcGk(x1) ⊆
FcGk(d<(x1)), contredisant l’hypothèse d’évitement maximal sur G.
Puisque le policier suit sa stratégie de l-domination, ces résultats impliquent ck+1 = d<(x1),
ce qui immobilise le voleur (c’est-à-dire rk+1 = x1) et implique que ck+2 = x1, mettant fin à
la partie ; ainsi iG = k + 2.
On observe que :
– i ≤ k, car i ≤ iG− 2 = k + 2 − 2.
– k ≤ i, car si i < k, le triplet (G, (<, d<) , G0), où G0 est la (xn, S<)-partie qui commence
comme G, mais où le voleur s’arrête à ri (i.e., x = ri, ri+1, . . . ), serait également un
contre-exemple où le voleur éviterait toutefois indéfiniment x1, contredisant l’hypothèse.
Ainsi, i = k. Ceci implique que x1 6∈ Ei<, car si c’était le cas, par le lemme 6.19, on aurait
que iG = i + 1 = k + 1, une contradiction, car iG = k + 2. Pourtant, puisque ck+1 = d<(x1)
et que rk+1= x1, nous avons donc que x1∈ Ei+1< . Par conséquent Ek< ⊂ Ek+1< , ce qui est une
contradiction puisque i = k.