Stratégie de calcul pour les problèmes non linéaires : la méthode

2.2 Initialisation, convergence et critère d’arrêt de l’algorithme . . . 45 2.3 Développements pratiques par résolution avec la méthode LATIN

avec PGD pour un comportement linéaire . . . 46 2.4 Développements pratiques pour un comportement non linéaire . . 54 2.5 Exemple d’application . . . 56 3 Stratégie multiparamétrique . . . . 57

3.1 Stratégie multiparamétrique avec utilisation de la méthode LATIN sans PGD. . . 57 3.2 Stratégie multiparamétrique avec utilisation de la méthode LATIN

1 Notations

Pour simplifier l’écriture du problème, on introduit les espaces suivants (où^∗ dé-signe les espaces homogènes associés) :

• L’espace T des champs T admissibles est comme précédemment : T ={T | T |_∂TΩ=T_d et T |(t =0)=Ti ni t} • L’espace A_ddes champs solution (T, Y ) admissibles :

A_d={(T, Y ) | T ∈ T et div Y + r =ρc^∂T

∂t ^{avec Y ·n|∂}YΩ=y_d} • L’espace Γ des champs solution (T,Y ) vérifiant la loi de Fourier :

Γ = n

(T, Y ) | Y =λ grad T^o

2 Stratégie de résolution LATIN avec PGD

2.1 Stratégie de calcul pour les problèmes non linéaires : la méthode

LATIN

La méthode LATIN (Large Time INcrement method) [Ladevèze, 1985, Ladevèze, 1989,Ladevèze, 1999] a été initialement proposée pour traiter des problèmes non li-néaires dépendants du temps. Depuis son introduction, cette méthode a été exploitée autour de nombreux grands axes de développements :

• Grandes déformations, plasticité (PGD) [Bussy, 1984,Vauchez, 1991,Liu, 1992] • Grandes transformations, formulation corotationnelle (PGD) [Boucard et al., 1997,

Aubard et al., 2002]

• Elasto-visco-plasticité, grand nombre de cycles, thermo-élasto-visco-plasticité (PGD) [Cognard, 1989,Arzt, 1994,Cognard et al., 1999]

• Dynamique non-linéaire (PGD) [Royer, 1990] • Endommagement et composites

– Formulation fonctionnelle (loi de comportement intégrale) [Allix and Lade-vèze, 1992,Guinard et al., 2002]

– Formulation variables internes [Douchin and Ladevèze, 2001] – Multi-échelle composite [Trovalet, 2010]

– Couplage flambage-délaminage [Saavedra et al., 2012]

• Dynamique rapide [Lemoussu et al., 2002,Boucard et al., 2003,Gupta et al., 2005] • Assemblages

– 2D statique [Danwe, 1993]

– Evolution vers le 3D (brides en statique) [Champaney et al., 1999] – Application en quasi-statique [Blanzé et al., 2000]

– Extension à la dynamique [Lemoussu et al., 2002] – Optimisation [Boucard et al., 2010,Laurent et al., 2013] • Décomposition de domaine au sens large

– Parallélisme [Ladevèze, 1987,Lorong, 1994,Champaney et al., 1997] – Multiéchelle [Ladevèze and Dureisseix, 1999,Ladevèze et al., 2001] – Multiéchelle - stratégie réutilisation, stochastique [Ladevèze et al., 2002] – Multiphysique [Dureisseix et al., 2003]

– Couplage XFem - fissuration [Guidault et al., 2007] – Multiéchelle 3D [Ladevèze et al., 2006]

– Multiéchelle temps [Ladevèze et al., 2010] – Amortissement [Caignot et al., 2010] – Composites [Allix et al., 2010]

• Identification - Problèmes inverses

– Identification avec PGD [Allix and Vidal, 2002] – Couplage avec RICATI [Nguyen et al., 2008] • Multiparamétrique sans PGD

– Assemblages [Boucard and Champaney, 2003] – Dynamique multiéchelle [Boucard et al., 2011] – Assemblage composites [Roulet et al., 2013] • Multiparamétrique avec PGD [Relun et al., 2013]

C’est suivant ce dernier grand axe de recherche que s’illustre cette thèse.

De manière très grossière, on peut schématiser la méthode de résolution LATIN comme étant une stratégie qui génère une approximation de la solution s du problème sur l’ensemble de l’espace et du temps et en améliore automatiquement la qualité à chaque itération, quitte à commencer par une approximation très grossière. En ceci, la

méthode est dite non incrémentale. Cette méthode repose sur 3 principes de base ; la séparation des difficultés, l’approche itérative à 2 étapes et la représentation adaptée des inconnues.

La séparation des difficultés Ce point consiste à traiter séparément les difficultés du problème en partitionnant l’espace constitué par l’ensemble des équations que le problème doit vérifier en 2 espaces distincts Γ et Ad comme définis en partie1. L’es-pace Γ est composé des champs vérifiant les équations locales, éventuellement non linéaires (par exemple, pour le problème de diffusion, si la conductivitéλ dépend de la température T ), et l’espace A_drassemble les champs vérifiant les équations linéaires éventuellement globales. La solution du problème s_{re f} =(T, Y ) vérifie l’ensemble des équations et se trouve donc à l’intersection de ces 2 espaces : s_{re f} =A_{d∩ Γ.}

L’approche itérative à 2 étapes Pour trouver l’intersection de ces 2 espaces, on cherche alternativement une solution de l’un puis l’autre des espaces Γ et Ad : la stratégie est donc fondée sur une stratégie itérative à 2 étapes.

E− E⁺

A

Γ

· · · −→sn∈Ad−−−−−−−−→^{étape locale} sˆn∈ Γ−−−−−−−−−→^{étape linéaire} sn+1∈Ad

| {z }

iteration n + 1

−→ˆsn+1−→ · · ·

FIGURE3.1: Une itération à l’ordre n + 1 de la méthode LATIN

Il apparait sur le schéma de la figure3.1que l’on doit introduire des « directions de recherche » E⁺et E⁻. En effet, le problème complet étant divisé en deux sous-problèmes

complémentaires, chacun de ces problèmes manque d’information. Les sous-problèmes n’ont donc pas d’unicité de la solution ou deviennent mal posés et on vient rajouter une équation par cette direction de recherche pour trouver une solution et qu’elle soit unique.

On se donne les directions de recherche E⁺ pour l’étape locale et E⁻ pour l’étape li-néaire (où h est un paramètre de la méthode dont le choix sera détaillé par la suite) :

E+

: h ( ˆY_n−Y_n) + (grad ˆT_n−gradT_n) = 0 (3.1) E−

: h (Y_n+1− ˆY_n) − (grad T_n+1−grad ˆT_n) = 0 (3.2)

Comme schématisé sur la figure3.1, l’itération n + 1 est donc composée :

• d’une étape locale, qui, partant d’une solution connue s_n=(T_n, Y_n) ∈ A_dcherche une solution ˆsn=( ˆTn, ˆY_n) ∈ Γ en suivant la direction de recherche E⁺,

• d’une étape linéaire, qui, partant d’une solution connue ˆs_n=( ˆT_n, ˆY_n) ∈ Γ cherche une solution sn+1=(Tn+1, Y_n+1) ∈ A_den suivant la direction de recherche E⁻.

Réduction de modèles L’utilisation de la méthode LATIN autour des 2 seuls premiers points suffit à trouver la solution du problème. Cependant la convergence de la mé-thode est coûteuse avec cette architecture car la solution doit être améliorée à chaque itération sur l’ensemble de l’espace et du temps. En pratique, l’étape locale conduit à la résolution en chaque point d’espace d’un système différentiel en temps (générale-ment de petite taille) ce qui engendre un coût de calcul modique. En revanche, l’étape linéaire consiste à résoudre un problème global en espace pour chaque pas de temps. La manipulation de la solution sur l’ensemble de l’espace et du temps est donc a priori un inconvénient majeur pour le temps de calcul de la stratégie. Cependant, la connais-sance de la solution sur I × Ω permet de mettre en oeuvre les notions d’approxima-tions spatio-temporelles décrites au chapitre2qui vont en définitive permettre une grande réduction du temps de calcul. C’est donc avec ce troisième aspect que la mé-thode LATIN prend tout son sens.

La PGD permet de calculer l’approximation à variables séparées de la solution sans avoir besoin de réalisations. Elle doit donc être associée à une stratégie permettant de générer à la fois les fonctions du temps et les fonctions spatiales les plus pertinentes pour la solution. De plus, cette stratégie ne peut être incrémentale car chaque couple généré durant le processus doit améliorer l’approximation de la solution sur I × Ω, ce qui est donc compatible avec la méthode LATIN.

Etant donné que le coût de l’étape locale est déjà réduit, on estime que l’introduc-tion de la PGD au cours de cette étape n’aura pas une performance utile et on choisit d’utiliser la représentation PGD uniquement durant l’étape linéaire.

L’ajout de la contrainte de représentation sous forme PGD des inconnues rend le problème, déjà constitué des 2 premiers points, sur-contraint. On ne pourra donc pas vérifier l’ensemble des équations. Le but étant ici de réduire le temps de calcul par l’utilisation de la PGD, on impose la représentation PGD des inconnues, et on ne peut ainsi jouer que sur les 2 premiers points de la méthode. Il apparait donc que 2 versions de la méthode LATIN avec PGD sont envisageables :

• Soit en vérifiant « au mieux » la direction de recherche. La solution d’une étape s’obtiendra par la résolution d’un problème de minimisation sur l’écart entre la direction de recherche empruntée et celle voulue. On vérifiera donc exactement l’admissibilité de la solution et la représentation PGD. L’idée de cette version peut être schématisée par la figure3.2.

• Soit en vérifiant « au mieux » l’admissibilité de la solution à l’aide d’une approche Galerkin. On vérifiera donc exactement la direction de recherche et la représen-tation PGD. L’idée de cette version peut être schématisée par la figure3.3.

E+ A_d Γ s_n+1 s_n ˆ s_n s_ref Y T s_n+1= sn+ ∆sn+1 ≈ E− FIGURE 3.2: Vérification au

mieux de la direction de re-cherche E− E+ A_d Γ s_n+1 s_n ˆ s_n s_ref Y T s_n+1= sn+ ∆sn+1 FIGURE 3.3: Admissibilité au mieux de s_n+1

Pour des raisons de simplicité de mise en œuvre, on choisit de se placer dans le cadre d’une approche Galerkin. Ainsi, on vérifiera exactement la direction de recherche de la méthode ainsi que la représentation PGD de la solution, alors que la solution à chaque itération ne sera admissible qu’au mieux. Cette technique peut parfois mal converger mais ce n’est pas le cas pour le problème ici étudié [Ladevèze et al., 2010].

Etant donné que l’on vérifie exactement la direction de recherche (3.2), on peut tou-jours directement lier Y à T . On peut donc toutou-jours substituer la variable Y par une expression ne dépendant que de T . La seule recherche de T sous forme PGD est donc suffisante.

Durant l’itération n + 1, on cherche à améliorer la solution T_n∈ T à l’aide d’un terme correctif ∆Tn+1∈ T^∗. C’est cette correction qui est cherchée sous une forme à variables séparées.

T_n+1=T_n+ ∆Tn+1 où ∆Tn+1=τ_n+1(t ) T_n+1(M)