Cette section est consacr´ee `a la preuve du lemme suivant :
Lemme 6.1 Si leS-D-r´eseauGest non satur´e, alors l’´etatPtdu r´eseau est born´e sup´erieurement, quelque soitt.
La preuve de ce lemme s’organise en deux parties. Dans un premier temps, nous allons montrer que l’´evolution de l’´etat du r´eseau entre deux ´etapes cons´ecutives est born´e sup´erieurement. Dans un second temps, nous prouvons que si l’´etat du r´eseau est suffisamment grand `a un instant donn´e, alors il d´ecroˆıt de mani`ere significative `a l’instant suivant. Ces deux propri´et´es permettent de d´eduire une borne sup´erieure de l’´etat du r´eseau quelque soitt, entraˆınant la stabilit´e du protocole LGG surG.
Propri´et´e 6.1 L’accroissement de l’´etat du r´eseau entre deux ´etapes successives reste born´e pour toutt:
Pt+1−Pt65n∆2.
Preuve : CommeGest non satur´e, il existe un flotΦdes∗ `ad∗dansG∗de valeur f∗tel que, pour toute sources ∈ S,in(s)<Φ(s∗, s).
Consid´erons l’´evolution de l’´etat du r´eseau entre l’´etapetet la suivante : Pt+1 =X Comme les liens de G ont une capacit´e unitaire, alors pour tout v ∈ V, (qt+1(v) − qt(v)) ≤ ∆, o`u ∆ est le degr´e maximum de G. En fixant δt = P
v∈V qt(v)(qt+1(v)−qt(v)), nous obtenons :
Pt+1 6Pt+ 2δt+n∆2. (6.2)
De mani`ere ´equivalente,δtpeut ˆetre d´efini en fonction des arcs de l’ensemble Etutilis´es par notre protocole LGG pour transmettre les paquets `a l’´etapet. Dans ce qui suit,e = (u, v)∈Etest orient´e pour indiquer que le paquet a ´et´e transmis deu `av. Ainsi, nous obtenons une nouvelle formulation deδt:
δt=X
Nous comparons maintenant la variation de Pt lors d’une ex´ecution de LGG
`a celle qui serait obtenue en transmettant les paquets le long de chemins r´ealisant un flot maximum. Consid´erons l’ensemble des chemins reliant les sourcesS aux destinations D utilis´es par le flot Φ, etEtΦ l’ensemble des arˆetes (orient´ees des sources vers les puits) de ces chemins `a l’´etape t. Notons que comme le flot Φ consid´er´e ne sature aucune source s ∈ S, il peut donc ne pas ˆetre entier. En sommant de proche en proche le long de ces chemins, nous obtenons la diff´erence des potentiels sur chaque saut des chemins :
X
Etudions maintenant la somme des diff´erences de potentiel sur les liens utilis´es algorithme doit envoyer un paquet deu versv, `a moins queu n’ait d´ej`a envoy´e tous les paquets disponibles dans sa file d’attente `a l’´etapet. Donc
X
A partir de ces ´equations int´egr´ees dans l’Equation 6.3, nous en d´eduisons pour toutt: Comme le r´eseau est non satur´e, par d´efinition de Φ, in(s) < Φ(s∗, s) pour tout s ∈ S. La somme sur les sources de G contribue n´egativement `a la borne sup´erieure de δt, nous pouvons donc la n´egliger. Il en est de mˆeme pour la somme sur les destinations si min{out(d), qt(d)} = qt(d) et Φ(d, d∗) 6 qt(d), ou si min{out(d), qt(d)} = out(d). Le dernier cas `a consid´erer est celui o`u min{out(d), qt(d)} = qt(d) et Φ(d, d∗) > qt(d). Comme les liens dans le r´eseau G ont une capacit´e unitaire, le flot Φ est born´e par ∆, ce qui donne P
d∈Dqt(d)(Φ(d, d∗)−min{out(d), qt(d)})6n∆2.
Nous obtenons finalement une borne sup´erieure pourδt:δt≤2n∆2. En parti-culier, `a partir de l’In´egalit´e6.2, cela borne la diff´erence de l’´etat du r´eseau entre les ´etapest+ 1ett:
Pt+1−Pt65n∆2.
Nous introduisons ici la valeurε= mins∈S(Φ(s∗, s)−in(s))que nous savons strictement positive d’apr`es l’hypoth`ese de non saturation du r´eseau.
Propri´et´e 6.2 SoitY = (5nfε∗ + 3n)∆2. SiPtest suffisamment grand, i.e. Pt >
nY2, alors `a l’´etape suivante, le nombre de paquets en transit dans le r´eseau d´ecroˆıt strictement :
Pt+1−Pt<−5n∆2.
Preuve : A partir de l’In´egalit´e6.2, la preuve de la Propri´et´e6.2revient `a montrer que, siPt> nY2, alorsδt <−3n∆2.
Cette preuve se divise en deux parties qui d´ependent de l’existence d’un nœud de grande hauteur dans le r´eseau.
Supposons dans un premier temps qu’il existe une source s ∈ S telle que qt(s) ≥ 5nε ∆2. Alors, en utilisant l’In´egalit´e6.5 et la propri´et´e de non saturation du r´eseau : in(s) < Φ(s∗, s), ∀s ∈ S, nous pouvons bornerδt sup´erieurement, prouvant ainsi la premi`ere partie de la Propri´et´e6.2:
δt6−εqt(s) + 2n∆2 <−3n∆2.
Supposons maintenant que pour tout s ∈ S, qt(s) < 5nε ∆2. Dans ce cas, si Pt > nY2, alors il existex ∈ V \ S tel queqt(x) > Y. Soitx =u1, u2,· · · , uk un chemin dex `auktel queuk =d∈ D(´eventuellementd=x). Alors :
X
i<k, qt(ui)>qt(ui+1)
(qt(ui+1)−qt(ui))−qt(uk) min{out(uk), qt(uk)}6−qt(x).
Cette somme des diff´erences de potentiel contribue donc n´egativement `a P
(u,v)∈Et(qt(v) − qt(u)) − P
d∈Dqt(d) min{out(d), qt(d)} (rappelons que les termes de la premi`ere partie de la somme sont n´egatifs puisqu’utilis´es par LGG).
D’apr`es l’Equation6.3, nous obtenons alors : δt 6X
s∈S
qt(s)in(s)−qt(x)
< f∗·max
s∈S qt(s)−qt(x)6f∗· 5n
ε ∆2−qt(x)6−3n∆2.
En injectant la borne de δt dans l’In´egalit´e6.2, nous arrivons bien `a borner strictement l’´evolution de l’´etat du r´eseau :
Pt+1−Pt <−5n∆2
terminant ainsi la preuve de la Propri´et´e6.2.
D’apr`es les Propri´et´es6.1 et6.2, nous en d´eduisons que, pour toutt, la suite Pt 6 nY2 + 5n∆2. Cela prouve que le nombre de paquets en transit dans le r´eseau `a chaque instant reste born´e. La stabilit´e de notre algorithme dans un r´eseau non satur´e est donc d´emontr´ee. Notons que les pertes de paquets ne font qu’am´eliorer la stabilit´e du protocole.
Dans le cas d’un S-D-r´eseau satur´e o`u un flot de valeur (1 + ε)in(s) sur chaque lien(s∗, s) n’est pas r´ealisable, alors les techniques pr´ec´edentes ne per-mettent pas de maˆıtriser les variations de la d´eriv´ee seconde dans l’´equation6.1 de l’´evolution de l’´etat du r´eseau. Afin de prendre en compte ces ph´enom`enes, nous devons g´en´eraliser le comportement du r´eseau avant d’aborder la preuve de stabilit´e par induction sur la taille du r´eseau. Cette g´en´eralisation est pr´esent´ee dans la section suivante, `a travers la d´efinition desS-D-r´eseauxR-g´en´eralis´es.