Soient G = (V, E) le S-D-r´eseau r´ealisable consid´er´e dans les sections pr´ec´edentes, et (A, B) une coupe minimum dans G∗ : (A, B) est une partition des sommets deG∗ telle ques∗ ∈ A,d∗ ∈B, et la somme des capacit´es des arcs ayant une extr´emit´e dansAet l’autre dansB est minimum. Dans le cas id´eal o`u S ⊆AetD ⊆B,(A, B)est appel´ee uneS-D-coupe, repr´esent´ee par un exemple dans la Figure6.2.
La preuve du Th´eor`eme 6.1 utilise un sch´ema d’induction sur la taille du r´eseau |V|. Pour cela, nous avons besoin de d´efinir un r´eseau g´en´eralis´e afin de mod´eliser le comportement sp´ecial des nœuds `a la fronti`ere de la coupe
S D
A B
FIGURE6.2 – UneS-D-coupe minimum dans leS-D-r´eseauG.
(A, B)et pouvoir appliquer l’induction. Nous d´efinissons ainsi les S-D-r´eseaux R-g´en´eralis´es, o`u R > 0 est une constante, et tel que tout S-D-r´eseau pr´esent´e jusqu’`a maintenant est un S-D-r´eseau 0-g´en´eralis´e dans le nouveau mod`ele. Le principe de l’induction consiste alors `a d´emontrer que pour tout R > 0 et dans tout S-D-r´eseau R-g´en´eralis´e Gr´ealisable, notre protocole LGG est stable. En particulier, cela prouve la stabilit´e de LGG dans toutS-D-r´eseau.
Plus pr´ecis´ement, nous prouvons successivement que les parties AetB de la coupe sont desS-D-r´eseaux g´en´eralis´es pour des constantes bien choisies, ce qui nous permet ensuite d’appliquer l’hypoth`ese d’induction. Plusieurs cas doivent ˆetre consid´er´es suivant que les liens du bord de la coupe soit situ´es dans le r´eseau Gou sont des liens incidents aux sommets virtuels ajout´es dansG∗. Ces derniers cas sont abord´es dans les Sections 6.4.1 et6.4.2, et constituent la base de notre induction.
La g´en´eralisation du comportement du graphe est n´ecessaire dans le cas o`u la coupe (A, B) se situe dans G. Nous pouvons alors remarquer, dans un premier temps, que la partition B de la coupe peut ˆetre vue comme un cas particulier de S0-D-r´eseau, dans lequel S0 est l’ensemble des nœuds de B adjacents `a un sommet de A, c’est-`a-dire pour lesquels il existe un lien du bord de la coupe (A, B) dont ils sont une extr´emit´e, l’autre ´etant dans A. Chacun de ces nœuds s0 ∈ S0 repr´esente alors une source dansB qui injecte au plus |Γ|A(s0)|+in(s0) paquets dans sa file d’attente `a chaque ´etape, o`uΓ|A(s0)repr´esente le voisinage des0 dansA, etin(s0) >0dans le cas o`u s0 ∈ S dansG. L’hypoth`ese de pertes al´eatoires des paquets permet de valider le cas o`u s0 envoie des paquets vers un sommet situ´e dans la partitionA. De mˆeme sis0 ∈ Dest une destination qui extrait un certain nombre de paquets du r´eseau, alors les paquets extraits peuvent ˆetre vus comme perdus dans le r´eseau original. Afin de g´en´eraliser ce comportement,
nous d´efinissons des pseudo-sources au comportement plus souple que les sources classiques pr´ec´edemment d´efinies.
D´efinition 6.5 (Pseudo-source) Unepseudo-sources injecte au plus in(s) > 0 paquets dans sa file d’attente au d´ebut de chaque ´etape.
Cette notion sera utilis´ee plus tard afin de prouver que le nombre de paquets en transit dansB reste born´e.
Dans un second temps, en supposant que le nombre de paquets dans B est born´e par une constanteR, la partitionApeut ´egalement ˆetre vue comme unS -D0-r´eseau, o`u D0 contient l’ensemble des sommets deA adjacent `aB, et tel que chaqued0 ∈ D0 poss`ede le comportement g´en´eralis´e suivant. Tout d’abord, si la file d’attente de d0 est assez haute (qt(d0) > R pour une certaine constante R), alorsd0 extrait au moins min{|Γ|B(d0)|+out(d0), qt(d0)−R}paquets de sa file d’attente (puisque d0 a une hauteur plus haute que chacun de ses voisins situ´es dansB). De plus, puisque les sommets deD0 dont les hauteurs sont inf´erieures `a Rpeuvent recevoir des paquets provenant de sommets de B, leur comportement vis `a vis deApeut s’interpr´eter comme s’ils avaient la possibilit´e de cacher aux autres sommets de A l’existence d’un certain nombre de paquets dans leur file d’attente. En d’autres termes, pour chaque d0 ∈ D0 tel que qt(d0) 6 R, d0 peut d´eclarer n’importe quelle hauteur qt0(d0) 6 R aux sommets de A, g´en´eralisant ainsi le comportement des nœuds destinations.
D´efinition 6.6 (R-pseudo-destination) Une R-pseudo-destination d extrait au plus out(d) > 0 paquets `a chaque fin d’´etape et, ´etant donn´ee une constante de r´etentionR >0:
(i) siqt(d) > R, alors dextrait au moins min{out(d), qt(d)−R}paquets de sa file d’attente,
(ii) pour chaque nœudu ∈ Γ(d),d se comporte comme s’il avait une hauteur qt0(d)d´efinie comme suit :
– siqt(d)> R, alorsdd´eclareqt0(d) = qt(d),
– siqt(d)6R, alorsdd´eclare une hauteurqt0(d)6R.
En combinant ces d´efinitions utiles pour la preuve par induction, nous g´en´eralisons maintenant le mod`ele de r´eseau en d´efinissant un S-D-r´eseau R-g´en´eralis´e poss´edant des ensembles de sources et destinations R-g´en´eralis´ees d´efinies comme suit :
D´efinition 6.7 (Source/destinationR-g´en´eralis´ee) Soit R > 0. Un nœud R-g´en´eralis´e v injecte au plus in(v) > 0 paquets dans sa file d’attente au d´ebut de chaque ´etape, extrait au plusout(v) > 0paquets de sa file `a la fin de chaque
´etape, et :
(i) siqt(d)> R, alorsdextrait au moinsmin{out(d), qt(d)−R},
(ii) pour chaque nœudu ∈ Γ(d), dse comporte comme s’il avait une hauteur q0t(d)d´efinie comme suit :
– siqt(d)> R, alorsdd´eclareqt0(d) = qt(d),
– siqt(d)6R, alorsdd´eclare une hauteurqt0(d)6R.
Siin(v) 6out(v), alorsv est appel´eedestinationR-g´en´eralis´ee, sinon c’est une sourceR-g´en´eralis´ee.
D´efinition 6.8 (S-D-r´eseauR-g´en´eralis´e) Un S-D-r´eseau R-g´en´eralis´e est un multigraphe G poss´edant un ensemble S de sources R-g´en´eralis´ees, et un en-semble D de destinations R-g´en´eralis´ees. Tous les autres nœuds de G (v ∈ V \(S ∪ D)) gardent un comportement ”classique”, c’est-`a-dire comme dans unS-D-r´eseau d´efini dans la Section6.1.
Remarque :Tout nœudv du r´eseau ne faisant pas partie deS ∪ Dest consid´er´e comme ayant in(v) = out(v) = 0. N´eanmoins, ces valeurs peuvent changer au cours de l’application de l’hypoth`ese d’induction,v devenant ainsi une source ou une destinationR-g´en´eralis´ee.
Un S-D-r´eseau est clairement un S-D-r´eseau0-g´en´eralis´e. En effet, d’apr`es la D´efinition6.7, les sources et destinations0-g´en´eralis´ees ont les propri´et´es sui-vantes :
• une sourcesinjecte au plusin(s)paquets dans sa file d’attente au d´ebut de chaque ´etape,
• une destination d extrait au plus out(d) paquets, et au moins min{out(d), qt(d)}paquets de sa file d’attente `a la fin de chaque ´etape (car R = 0nous am`ene dans le cas(i)de la D´efinition6.7). Elle ne ment jamais sur la hauteur de sa file puisque qt(d) est toujours positive ou nulle, donc sup´erieure `aR.
Nous pouvons alors supposer que des paquets sont perdus de telle mani`ere `a mod´eliser le fait que moins dein(s) paquets peuvent ˆetre inject´es pars dans le r´eseau. En contrepartie, le comportement est le mˆeme que dans unS-D-r´eseau.
Un S-D-r´eseau R-g´en´eralis´e G est r´ealisable si son taux d’arriv´ee est r´ealisable, c’est-`a-dire s’il existe uns∗-d∗-flot Φ tel que in(v) 6 Φ(s∗, v) pour tout v ∈ S ∪ D, o`u s∗ et d∗ sont des nœuds virtuels ajout´es `a G, formant ainsi un r´eseau g´en´eralis´e ´etendu G∗ (de la mˆeme mani`ere que dans la Sec-tion 6.1). En particulier, G est r´ealisable s’il existe un flot Φ r´ealisable dans G∗ o`u les capacit´es des liens (s∗, v) sont fix´ees `a in(v), ∀v ∈ S ∪ D : ainsi, Φ(s∗, v) = in(v), ∀v ∈ S ∪ D (Figure6.3). UnS-D-r´eseauR-g´en´eralis´eGest non satur´es’il existe uns∗-d∗ flotΦr´ealisable dansG∗o`u les capacit´es des liens (s∗, v)sont de(1 +ε)in(v), ∀v ∈ S ∪ D. De mani`ere ´equivalente, nous pouvons nous ramener `a la D´efinition 6.4 dans le cas o`u les arcs (s∗, v)sont de capacit´e infinie dansG∗.
s *
S D
d *
o u t ( s )
o u t ( d ) i n ( s )
i n ( d )
FIGURE6.3 – UnS-D-r´eseauR-g´en´eralis´e ´etenduG∗.