La m´ ethode des coordonn´ ees curvilignes : m´ethode C
3.2 Equation de propagation des composantes lon- lon-gitudinaleslon-gitudinales
3.8.5 Stabilit´ e et convergence de la m´ ethode C
Soit une surface de dimension L2 = 8λ × 8λ, ´eclair´ee avec une onde plane sous les angles d’incidence θi = 30° et ϕi = 0°. La surface est rugueuse et al´eatoire. Elle est caract´eris´ee par une densit´e de probabilit´e des hauteurs gaussiennes, de moyenne nulle et d’´ecart type σa. Sa fonction d’autocorr´elation est aussi une gaussienne (param`etre de Hurst H = 1) de longueur de corr´elation ℓc = λ.
Dans le but de tester la stabilit´e num´erique de la m´ethode C, nous nous proposons d’´etudier la convergence du diagramme de diffraction en fonction de l’ordre de tronca-ture M. Si la m´ethode est stable d’un point de vue num´erique, alors la pr´ecision sur le bilan de puissance devrait augmenter avec l’ordre de troncature M.
Afin d’illustrer cette id´ee, nous avons calcul´e deux erreurs d´efinies comme suit :
∆P(poli) = |1 − P
(poli) c
Pd(poli)| (3.53)
o`u Pc(poli) et Pd(poli) sont donn´ees au chapitre 1 par les expressions (1.75) et
∆F(polipoli) =
π 2
R
−π2
|Fref(polipoli)(θ, ϕ) − F(polipoli)(θ, ϕ)| dθ
π 2
R
−π 2
Fref(polipoli)(θ, ϕ) dθ
(3.54)
∆P(poli) d´efinit l’erreur sur le bilan de puissance pour une incidence en
polarisa-tion poli. ∆F(polipoli) est l’erreur relative entre la grandeur ´energ´etique F(polipoli) et
Fref(polipoli). Fref(polipoli) est obtenue soit `a partir de donn´ees exp´erimentales, soit `a partir
d’autres m´ethodes exactes. F(polipoli) repr´esente soit σ(polipoli), soit sa valeur moyenne D
σ(polipoli)E.
Le tableau 3.2 donne les valeurs de l’erreur ∆P(poli), pour diff´erentes valeurs du couple (M, σa), dans les deux polarisations. Pour les cinq hauteurs quadratiques moye-nnes, les surfaces sont obtenues par homoth´etie.
Ce tableau montre que pour un ´ecart type des hauteurs donn´e, l’erreur d´ecroˆıt quand l’ordre de troncature M augmente. Nous pouvons noter aussi que l’augmentation de l’´ecart type des hauteurs entraˆıne une convergence plus lente du bilan de puissance. En effet, plus l’´ecart type des hauteurs augmente, et comme la longueur de corr´elation
M
σa= 0.2λ σa= 0.4λ σa= 0.6λ σa= 0.8λ σa= 1λ ∆PE// ∆PH// ∆PE// ∆PH// ∆PE// ∆PH// ∆PE// ∆PH// ∆PE// ∆PH//
12 1.0 4.0 5.0 1.6 1.4 4.0 0.22 0.26 63.10 15.85 ×10−4 ×10−4 ×10−3 ×10−2 ×10−1 ×10−2 ×101 ×101 ×102 ×102 16 1.3 4.0 1.3 2.5 6.3 3.2 0.5 1 6.3 4.0 ×10−4 ×10−4 ×10−3 ×10−3 ×10−3 ×10−3 ×10−1 ×10−1 ×101 ×101 20 7.9 3.2 3.2 4.0 3.2 4.0 2.5 1.3 40 16 ×10−6 ×10−6 ×10−4 ×10−4 ×10−3 ×10−3 ×10−2 ×10−2 ×10−1 ×10−1 24 1.6 1.6 1.0 5.0 1.9 7.9 1.6 1.0 3.2 2.5 ×10−6 ×10−7 ×10−4 ×10−5 ×10−3 ×10−4 ×10−2 ×10−2 ×10−1 ×10−1 28 1.0 7.9 2.0 2.0 4.0 2.0 6.3 4 1 2 ×10−7 ×10−8 ×10−5 ×10−5 ×10−4 ×10−4 ×10−3 ×10−3 ×10−2 ×10−2 Tab. 3.2: Erreur sur le bilan de puissance en fonction de l’ordre de troncature et de l’´ecart
type des hauteurs pour les deux polarisations E// et H//
reste fixe, plus la rugosit´e de la surface augmente. Ceci favorise les ph´enom`enes de couplage ´electromagn´etique. Par cons´equent, nous avons besoin d’un grand nombre d’ondes ´evanescentes afin de bien d´ecrire le ph´enom`ene de diffraction.
Si nous consid´erons une onde plane incidente de polarisation E//, et un ordre de troncature M = 12, la valeur maximale de l’´ecart type des hauteurs permise, afin d’avoir une erreur sur le bilan de puissance inf´erieure `a 1%, est de 0.45λ. Pour M = 24, la valeur de l’´ecart type des hauteurs est de 0.75λ. Si nous consid´erons la polarisation H//, les valeurs maximales de l’´ecart type des hauteurs correspondantes sont 0.35λ et 0.80λ, respectivement.
3.8.5.1 Convergence en fonction de l’ordre de troncature M
La v´erification du bilan de puissance sur des r´esultats, issus d’un mod`ele de r´esolution ´electromagn´etique, est une condition n´ecessaire mais pas suffisante pour la validation de ce mod`ele. Afin de compl´eter le processus de validation de la m´ethode C, pour des surfaces 2D, nous proposons de v´erifier sa stabilit´e et sa convergence num´erique.
La figure 3.4 montre l’´evolution, dans le plan d’incidence et pour le milieu sup´erieur, du coefficient de diffusion bi-statique normalis´e, pour diff´erentes valeurs de l’ordre de troncature M. L’´ecart type des hauteurs est de σa = 0.4λ et les angles d’incidence sont θi = 30° et ϕi = 0°. La surface est parfaitement conductrice.
−80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 θ σ (E // ;H // ) M=12 M=16 M=20 M=24
Fig. 3.4: Coefficient de diffusion bi-statique σ1E//H// dans le plan d’incidence pour une r´ealisation et pour diff´erentes valeurs de l’ordre de troncature M. Les angles d’inci-dence sont θi= 30°, ϕi = 0°. L = 8λ, σa = 0.4λ et ℓc= 1λ
Nous pouvons constater que pour M ≥ 16, la courbe ´evolue peu et donc la conver-gence est assur´ee. Si nous prenons comme r´ef´erence les valeurs du coefficient de dif-fusion bi-statique calcul´e pour un ordre de troncature M = 28, alors l’erreur relative ∆σE//H//(θ) entre σE//H//(θ, ϕ = 0°, M = 16) et σE//H//
ref (θ, ϕ = 0°, M = 28) est de 5%. Cette valeur de l’erreur est assez faible et reste acceptable. Le temps de calcul est aussi raisonnable (12 minutes).
La figure 3.5 montre le coefficient de diffusion bi-statique normalis´e dans le plan d’incidence pour une surface caract´eris´ee par un ´ecart type des hauteurs de 0.8λ, obtenue par homoth´etie `a partir de la premi`ere surface. Comme la longueur de corr´elation est la mˆeme que pour la surface pr´ec´edente, alors la surface actuelle pr´esente une rugosit´e plus importante. Ce constat est confirm´e car la convergence est assur´ee si l’ordre de troncature est sup´erieur `a 24. L’erreur relative ∆σE//H//(θ), calcul´ee de la mˆeme fa¸con que pr´ec´edemment est ´egale `a 9%. Pour M=24 le temps de calcul CPU est de 135 minutes.
Il est ´evident que plus la rugosit´e de la surface augmente, plus l’ordre de troncature doit ˆetre grand pour avoir une bonne pr´ecision sur le bilan de puissance et sur le coefficient de diffusion bi-statique. Ceci se fait au d´etriment des temps de calcul qui peuvent devenir tr`es importants.
−80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 θ σ (E // H // ) M=16 M=20 M=24 M=28
Fig. 3.5: Coefficient de diffusion bi-statique σ1E//H// dans le plan d’incidence pour une r´ealisation et pour diff´erentes valeurs de l’ordre de troncature M. Les angles d’inci-dence sont θi= 30°, ϕi = 0°. L = 8λ, σa = 0.8λ et ℓc= 1λ
3.8.5.2 Convergence en fonction du nombre de r´ealisations NR
Soit une surface de 8λ × 8λ, dont les hauteurs sont distribu´ees suivant une loi gaussienne. L’´ecart type des hauteurs est fix´e `a σa= 0.2λ. La fonction d’autocorr´elation est aussi une gaussienne, la longueur de corr´elation est ℓc = 0.6λ. La figure 3.6 montre l’´evolution de la composante directe du coefficient de diffusion bi-statique moyen, pour une onde incidente en polarisation H//. Les angles d’incidence sont θi = 10° et ϕi = 0°. La pr´ecision sur le bilan de puissance est inf´erieure `a 1% pour la totalit´e des r´ealisations.
La figure 3.7 donne l’intensit´e incoh´erente suivant le nombre de r´ealisations prises en compte.
Nous pouvons voir qu’au fur et `a mesure que le nombre de r´ealisations augmente, les courbes des deux figures montrent une convergence tr`es nette. Le passage de NR = 20 r´ealisations `a NR = 320 r´ealisations permet de s’affranchir des grandes oscillations. En passant `a (NR = 500), nous am´eliorons nettement le r´esultat. La courbe varie tr`es peu entre NR = 500 et NR= 780.
−80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 θ < σ H // H // > N R = 20 réalisations N R = 120 réalisations N R = 320 réalisations N R = 500 réalisations N R = 780 réalisations
Fig. 3.6: Convergence de la composante directe du coefficient de diffusion bi-statique moyen D
σH1//H//E, dans le plan d’incidence, en fonction du nombre de r´ealisations NR. θi = 10°, ϕi = 0°, L = 8λ, σa= 0.2λ et ℓc = 0.6λ −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 θ Intensité Incohérente H // E // N R = 20 réalisations N R = 120 réalisations N R = 320 réalisations N R = 500 réalisations N R = 780 réalisations
Fig. 3.7: Convergence de l’intensit´e incoh´erente, en polarisation crois´ee, en fonction du nombre de r´ealisations NR. Les param`etres sont ceux de la figure 3.6