Stabilité des systèmes non linéaires

Comme souligné précédemment, la propriété de la stabilité des systèmes non linéaires (2.1) est liée à la notion de point d’équilibre, solution de l’équation statique (2.2). Plusieurs solutions peuvent exister donnant lieu à plusieurs points d’équilibre. L’analyse de la stabilité se fait pour chacun de ces points.

Deux approches principales sont définies pour traiter de la stabilité des solutions d'équilibre des systèmes dynamiques non linéaires (2.1). La première, appelée approche indirecte de Lyapunov, s’appuie sur l’analyse du système linéarisé autour du point d’équilibre

x

_e dont on veut analyser la stabilité. La deuxième s’appuie, quant à elle, sur l’analyse directe du système non linéaire en cherchant à lui construire une fonction de Lyapunov, une notion généralisant celle d’une fonction d’énergie. Cette procédure définie ce qu’on appelle l’approche directe de Lyapunov.

2.2.2.1. Méthode indirecte de Lyapunov

Deux techniques sont distinguées. La première est basée sur les valeurs propres, solutions du polynôme caractéristique, du système linéarisé (2.4). Le signe des parties réelles des valeurs propres caractérise la stabilité alors que la partie imaginaire offre une information sur les fréquences de d’instabilité. La deuxième technique utilise les coefficients du polynôme caractéristique pour définir le critère connu de Rooth-Hurwitz. Cette méthode offre l’avantage de ne pas nécessiter la résolution du polynôme caractéristique, une tâche connue pour sa complexité particulièrement dans le cas des systèmes à grand nombre de degrés de liberté. Aucune information fréquentielle ne peut, par contre, être tirée via l’utilisation du critère de Rooth-Hurwitz. Le deuxième avantage de cette méthode est qu’elle permet de générer des expressions littérales des coefficients de Rooth-Hurwitz en fonction des paramètres du système non linéaire ce qui permet l’analyse paramétrique de la stabilité.

L’obtention du linéarisé du système (2.1) se fait en déterminant son approximation du premier ordre au voisinage d'un point d’équilibre

x

_epour une perturbation

δx

. Cette approximation est donnée par le développement du premier ordre de Taylor suivant:

( ) ( ) ^{( )} ( )

e e e x x

f x

f x x f x x x

x

δ δ ο δ

=

∂

+ = + +

∂

^(2.5) e x x Df x

δ

ɺ ≃

δ

_(2.6) où e e x x x f Df x ₌ ∂ =

Stabilité des systèmes dynamiques non linéaires-théories

2.2.2.1.1. La stabilité par l’analyse des valeurs propres

La stabilité du point d’équilibre est analysée en utilisant les résultats du théorème (2.4) représentés aussi dans la figure (2.3).

Théorème 2.4: Etant donné

x

_e, un point d’équilibre du système (2.1) alors :

a. Si toutes les valeurs propres de la matrice

e

x

Df

sont strictement dans le demi-plan complexe gauche alors

x

_eest asymptotiquement stable.

b. S’il existe au moins une valeur propre de

e

x

Df appartenant strictement au demi-plan complexe droit alors

x

_eest instable.

c. Si toutes les valeurs propres de

e

x

Df appartiennent strictement au demi-plan complexe gauche avec au moins une qui soit imaginaire pure ou nulle, alors on ne peut rien dire (le point d’équilibre

x

_e peut être stable, asymptotiquement stable ou instable).

Fig.2. 3. La stabilité des systèmes non linéaires suivant la méthode indirecte de Lyapunov

Définition 2.7 : Si

e

x

Df n’a pas de valeurs propres à partie réelles nulles alors le point d’équilibre

x

_e

est dit hyperbolique.

Théorème 2.5 : Un point d’équilibre hyperbolique est soit asymptotiquement stable soit instable.

Les théorèmes (2.6) et (2.7) présentent des résultats justifiant l’usage du système linéarisé (2.4) pour analyser la stabilité des systèmes dynamiques non linéaires (2.1).

Stabilité des systèmes dynamiques non linéaires-théories

Théorème 2.6 (Hartman-Grobman): Si

x

_eest un point d’équilibre hyperbolique de f alors il existe une application continue et inversible

h

(homéomorphisme) définie sur un voisinage

U

_de x_e tel que, localement,

hϕ

_{t (}

t

ϕ

flot non linéaire) suit les mêmes trajectoires que celles du flot linéaire

(

Dxef t

)

e

.

De façon analogue au cas des systèmes linéaires, des variétés locales stables et instables en

x

_esont définies respectivement par E_loc^s et E_loc^u telles que :

E_loc^s

( )

x_e =

{

x∈U/

ϕ

_t

( )

x _t→∞→x_e ,

ϕ

_t

( )

x ∈U

}

E_loc^u

( )

x_e = ∈

{

x U/

ϕ

_t

( )

x →_t→−∞ x_e ,

ϕ

_t

( )

x ∈U

}

Théorème 2.7 (de la variété stable): Si

x

_eest un point d’équilibre hyperbolique de f , alors f est topologiquement équivalent à son linéarisé et l’homéomorphisme correspondant préserve le sens du parcours. En outre, il existe des variétés stables et instables locale de f , avec

( ) ( )

dimE_loc^s x_e =dim E^s et dimE_loc^u

( )

x_e =dim

( )

E^u , tangentes en

x

_eà E^set E^u.

Le théorème de la variété stable énoncé précédemment défini une décomposition valable uniquement dans le cas où l’équilibre est hyperbolique. Elle n’est pas complète dans le cas où la matrice

e

x Df

possède des valeurs propres imaginaires pures. Ce cas fait l’objet du théorème de la variété centrale énoncé ci-dessous

Théorème 2.8 : (de la variété centrale) : Si le champ f est de classe C^ret admet

x

_ecomme point d’équilibre, alors il admet des variétés stable, instable et centrale locales notées

E

_loc^s

( )x

_e

,E

_loc^u

( )x

_e et

( )

c loc e

E x

de classe C^r, C^ret C^r−1respectivement, tangentes en

x

_eà E^s, E^uet E^c. Les variétés stable et instable s

( )

loc e

E x

et u

( )

loc e

E x

sont définies de manière unique alors que la

variété centrale c

( )

loc e

E x

n’est pas nécessairement unique. Contrairement au fait que le comportement des trajectoires restant dans s

( )

loc e

E x

et u

( )

loc e

E x

est donné par le linéarisé tangent de f , le comportement des trajectoires restant localement dans la variété centrale c

( )

loc e

E x

est déterminé par

Stabilité des systèmes dynamiques non linéaires-théories

Fig.2. 4. Schématisation des espaces locaux : centré, stable et instable

2.2.2.1.2. La stabilité par le critère de Rooth-Hurwitz

Le critère de Rooth-Hurwitz pour l’analyse de la stabilité est une application du théorème 2.4, sans calcul des valeurs propres du linéarisé. La stabilité est analysée uniquement en examinant les coefficients du polynôme caractéristique correspondant au système linéarisé autour du point d’équilibre

x

_e.

L’équation caractéristique correspondant au linéarisé du système (2.1) est définie par :

det( ) 0

e

d x

I D f

λ − =

(2.7) où I_ddésigne la matrice identité et

det

le déterminant d’une matrice carrée.

De façon plus explicite, l’équation (2.7) est équivalente à l’équation (2.8).

λ

ⁿ a₁

λ

ⁿ−¹ a_{n 1}

λ

a_n 0

−

+ + +⋯ + = _(2.8)

L’application du critère de Rooth-Hurwitz nécessite la construction d’une matrice

H

définie à partir des coefficients du polynôme caractéristique de l’équation (2.8).

Stabilité des systèmes dynamiques non linéaires-théories 1 3 2 1 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0

1 0

a

a a a

H a a a a a

a a a a a a a

 

 

 

 

=

 

 

 

 

⋯

⋯

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

(2.9)

Les

n

_{mineurs de la matrice}

H

sont désignés par les coefficients

H

i i(₌1,...,n)tel que :

H

1

=det( )a

1

=a

1 1 2 1 2 3 3 2

1

det ^a

H a a a

a a

= = −

⋮

H

_n

=det( )H

Critère de Rooth-Hurwitz :

Le critère de Routh-Hurwitz de la stabilité s’énonce alors comme suit :

1. Si tous les mineurs de la matrice

H

sont strictement positifs alors l’origine est asymptotiquement stable.

2. S’il existe un mineur négatif alors l’origine est instable.

3. S’il existe un mineur nul et que tous les autres sont positifs alors on ne peut conclure sur la stabilité de l’équilibre.

La limite principale de la méthode indirecte de Lyapunov est liée essentiellement au point (c) du théorème (2.4) et au point (3) du critère de Routh-Hurwitz, qui correspondent au cas des équilibres non hyperboliques dont la stabilité ne peut être conclue. Le recours à la méthode directe de Lyapunov dans cette situation devient nécessaire. Cette méthode peut être concluante là où la méthode indirecte est incertaine.

2.2.2.2. Méthode directe de Lyapunov

La méthode directe de Lyapunov offre une condition suffisante pour affirmer la stabilité d’une solution non linéaire statique (point d’équilibre). C’est, en effet, le cas s’il existe une fonction

V

, appelé fonction de Lyapunov définie positive sur un voisinage contenant le point l’équilibre tel que sa dérivée le long de la trajectoire du système soit définie négative.

Stabilité des systèmes dynamiques non linéaires-théories

Définition 2.8. : Une fonction scalaire V U: ⊂ →D ℝ_{est une fonction de Lyapunov candidate pour} (2.1) si et seulement si :

d. V

( )

x est continûment dérivable sur le domaine U ⊂Dqui contient le point d’équilibre

x

_e

e. V

( )

x est positive

∀x≠0

f. V

( )

0 =0

Théorème 2.9. Soit

x

_e l’équilibre du système (2.1) et V

( )

x une fonction de Lyapunov candidate.

g. Si V x

( )

^{V x}

( ) ( )

f x 0, x U x ∂ − = − ≥ ∀ ∈ ∂ ɺ _{, alors} e

x

est un point d’équilibre localement stable.

h. Si −V xɺ

( )

> ∀ ∈0 x U_{, alors} e

x

est un point d’équilibre localement asymptotiquement stable.

Dans les 2 cas ( g, h), la fonction

V

est appelée fonction de Lyapunov du système (2.1).

Même si la méthode directe de Lyapunov formalisée par le théorème (2.9) constitue une véritable solution au problème de l’analyse de la stabilité cependant elle présente un inconvénient qui rend son utilisation difficile. En effet, en dehors de quelques méthodes à usage particulier telles que la méthode de Krasovski, la méthode d’Aizerman et la méthode du gradient, (Slotine, 1991), la méthode directe de Lyapunov n’offre pas de procédure systématique permettant la construction des fonctions de Lyapunov. Néanmoins, dans le cas particulier des systèmes dynamiques polynomiaux, de nouveaux outils mathématiques sont définis et utilisés pour construire des fonctions de Lyapunov polynomiales. Ces outils ont émergé de la théorie de la géométrie algébrique, plus particulièrement du concept de la programmation Sum Of Square (SOS), (Parrilo, 2000). Pour illustrer l’utilisation de cet outil d’optimisation dans le contexte de l’analyse de la stabilité et de la construction des fonctions de Lyapunov, des définitions ainsi que quelques généralités sont énoncées ci-après.

Dans le document Approches robustes du comportement dynamique des systèmes non linéaires : Application aux systèmes frottants (Page 56-61)