Application du chaos polynomial de Legendre multi-éléments

Pour contourner les difficultés décrites précédemment, le chaos polynomial de Legendre multi-éléments est considéré dans cette section. L’objectif est, dans une première étape, de modéliser les cycles limites du système (4.5) sur l’horizon temporel défini par l’intervalle

[0 10]

puis d’estimer leurs amplitudes maximales engendrées par la dispersion du coefficient de frottement.

L’idée de la méthode est, pour rappel, de diviser l’intervalle de l’incertitude considéré en plusieurs éléments puis de définir dans chaque élément une variable aléatoire locale par rapport à laquelle le chaos polynomial de Legendre est appliqué. L’approximation globale est ensuite reconstruite.

Deux éléments puis quatre éléments (m=2,m=4) sont considérés. Ayant donné la meilleure performance (comme montré dans la section précédente), l’ordre

P=30

est testé.

Application des Développements Spectraux à l’Analyse Robuste du Comportement

Dynamique d’un Système Frottant

( )

, , ^k

i k

x t

ξ

(i = 1,…,4, k=1,...,m) est le processus aléatoire correspondant au kième élément modélisé par la variable locale

ξ

^kuniformément distribuée sur l’intervalle

[ ]−1 1

d’où :

,

( )

, ,

( ) ( )

0

, , 1,...,

P k k i k i k j j j

x t ξ x t L ξ k m

=

=∑ =

(4.22)

A base de (4.22), l’approximation globale de x t_i

( )

,

ξ

est reconstruite comme suit:

( )

, ,

( ) ( )

1 0 , m P k i i k j j k k j x t ξ x t L ξ Z = = =

∑∑

(4.23) k

Z

étant la fonction indicatrice définie dans le troisième chapitre.

A noter que seule la technique non-intrusive est utilisée pour calculer, pour chaque élément

k

, les modes stochastiques

x

i k j, ,

( )t

. Ce choix est justifié par les moins bonnes performances de la technique intrusive illustrées précédemment. La technique de projection spectrale et la régression sont appliquées avec les mêmes modalités techniques décrites précédemment.

4.4.1.3.1. Chaos polynomial de Legendre multi-éléments avec la technique NISP

La technique de collocation de Gauss-Legendre est utilisée pour calculer les modes stochastiques dans chaque élément. Les approximations globales de la valeur moyenne et de la variance du déplacement

( )

1 1

,

Application des Développements Spectraux à l’Analyse Robuste du Comportement

Dynamique d’un Système Frottant

Fig.4. 53. Valeur moyenne instantanée du déplacement

X

₁ estimée par le chaos polynomial de Legendre et le chaos multi-éléments via la technique de projection non intrusive

Fig.4. 54. Variance instantanée du déplacement

X

₁ estimée par le chaos polynomial de Legendre et le chaos multi-éléments via la technique de projection non intrusive

Application des Développements Spectraux à l’Analyse Robuste du Comportement

Dynamique d’un Système Frottant

Concernant la valeur moyenne relevée dans figure (4.53), il peut être noté que la performance de la méthode du chaos de Legendre avec 2 et 4 éléments est similaire à celle obtenue avec la méthode du chaos polynomial de Legendre. L’apport du chaos multi-éléments est plus significatif dans le problème de l’estimation de la variance dont l’évolution est illustrée dans figure (4.54). En effet, le modèle (4.23) estime correctement la solution référentielle de Monte Carlo pour la variance sur la totalité de l’intervalle

[0 10 sec]

. Par ailleurs, on peut noter que la précision obtenue avec deux éléments est similaire à celle acquise avec 4 éléments dans l’estimation des deux moments statistiques. Les réalisations du déplacement

X

₁correspondant aux valeurs µ = 0.3, µ = 0.315 et µ = 0.33 sont relevées respectivement dans les figures (4.55), (4.56) et (4.57). On peut y remarquer que l'utilisation de la technique du multi-éléments a effectivement pallié aux insuffisances du chaos de Legendre observées dans la section précédente. En effet, les oscillations sont bien modélisées sur la totalité de l’intervalle temporel considéré. Les cycles limites correspondant aux mêmes réalisations de µ sont tracés dans le plan de phase

(X Xɺ

1

,

1

)

en utilisant les 300 derniers points de

X

₁ et

Xɺ

₁. Ils sont relevés dans les figures (4.58), (4.59) et (4.60). La reconstruction par le modèle (4.23) des cycles limites, tout comme la densité de probabilité de l’amplitude de

X

₁et

Xɺ

₁illustrée dans figure (4.61), est plus précise avec 4 éléments qu’avec 2 éléments. Tous les résultats montrent que 4 éléments sont suffisants pour estimer et modéliser correctement les caractéristiques statistiques du comportement dynamiques du système (4.5).

Fig.4. 55. Réalisation du déplacement

X

₁ correspondant à µ = 0.3 par le chaos de Legendre multi-éléments via la technique de projection non intrusive (collocation) et par l'intégration

Application des Développements Spectraux à l’Analyse Robuste du Comportement

Dynamique d’un Système Frottant

Fig.4. 56. Réalisation du déplacement

X

₁ correspondant à µ = 0.315 par le chaos de Legendre multi-éléments via la technique de projection non intrusive (collocation) et par l'intégration

déterministe

Fig.4. 57. Réalisation du déplacement

X

₁correspondant à µ = 0.33 par le chaos de Legendre multi-éléments via la technique de projection non intrusive (collocation) et par l'intégration

Application des Développements Spectraux à l’Analyse Robuste du Comportement

Dynamique d’un Système Frottant

Fig.4. 58. Réalisation du cycle limite

(X Xɺ

1

,

1

)

correspondant à µ = 0.3 par le chaos de Legendre multi-éléments via la technique de projection non intrusive (collocation) et par

l'intégration déterministe

Fig.4. 59. Réalisation du cycle limite

(X Xɺ

1

,

1

)

correspondant à µ = 0.315 par le chaos de Legendre multi-éléments via la technique de projection non intrusive (collocation) et par

Application des Développements Spectraux à l’Analyse Robuste du Comportement

Dynamique d’un Système Frottant

Fig.4. 60. Réalisation du cycle limite

(X Xɺ

1

,

1

)

correspondant à µ = 0.33 par le chaos de Legendre multi-éléments via la technique de projection non intrusive (collocation) et par

l'intégration déterministe

Fig.4.61. Densités de probabilité de l'amplitude du déplacement

X

₁et de la vitesse

Xɺ

₁ estimées par le chaos de Legendre multi-éléments via la technique de projection non intrusive

Application des Développements Spectraux à l’Analyse Robuste du Comportement

Dynamique d’un Système Frottant

A partir de ce paragraphe, dans un souci de clarté et afin de ne pas trop alourdir ce rapport, seules les courbes les plus représentatives des résultats seront présentées.

• Illustration de l’effet du chaos multi-éléments sur l’ordre du chaos

L’ordre du chaos polynomial de Legendre utilisé pour chaque élément était égal à P = 30 (étude précédente avec la méthode CPG-ME). Cet ordre a été utilisé pour tester la méthode du CPG-ME puisqu’il avait permis, parmi tous les ordres considérés, la meilleure performance (mais insuffisante) du modèle (4.10) sur le problème de l’estimation des statistiques à long terme (la totalité des 10 secondes). Maintenant, pour observer l’effet de l’utilisation de la méthode du CPG-ME sur l’ordre du chaos, nous avons relevé pour, P = 10 et P = 20 et avec m = 4, la variance instantanée du déplacement

1

X

, dans figure (4.62). On y remarque l’insuffisance de P = 10 pour estimer correctement la variance contrairement à P = 20 qui offre une estimation confondue avec celle obtenue par P = 30. Ceci permet de conclure que l’utilisation du CPG-ME peut permettre la diminution de l’ordre du chaos nécessaire à une bonne estimation des caractéristiques statistiques.

Fig.4. 62. Variance instantanée du déplacement estimée par le chaos de Legendre multi-éléments via la technique de projection non intrusive (collocation) avec différents ordres de troncation

Application des Développements Spectraux à l’Analyse Robuste du Comportement

Dynamique d’un Système Frottant

Les niveaux vibratoires des cycles limites estimés par la méthode du chaos polynomial de Legendre à 4 éléments avec

P=20

et

P=30

sont relevés dans les tableaux (4.11) et (4.12). Les résultats sont discutés avec ceux de la technique de régression dans la section suivante.

4.4.1.3.2. Chaos polynomial de Legendre multi-éléments par la technique de régression

L’objectif dans cette section est d’associer la technique de régression avec le chaos multi-éléments et d’en analyser la performance sur les mêmes problèmes considérés jusqu’ici à savoir, la modélisation et la prédiction des cycles limites ainsi que l’estimation de leurs caractéristiques statistiques. Dans cette perspective, nous avons reconsidéré la régression avec un nombre de calculs déterministes égal à 35, les points de calcul étant générés de façon déterministes (zéros du polynôme de Legendre de degré 35).

• Etude sur 4 éléments avec les ordres P = 20 et P = 30

Dans cette étude, seul le cas m = 4 est considéré avec les ordres du chaos P = 20 et P = 30. Les deux moments du premier et second ordre du déplacement

X

₁ sont relevés dans les deux figures (4.63) et (4.64). Les estimations obtenues sont confondues avec les solutions référentielles de Monte Carlo. P =

20 estime aussi bien que P = 30 les moments statistiques du déplacement

X

₁. Les réalisations correspondant à µ = 0.3, µ = 0.315 et µ = 0.33 reconstruites par le modèle (4.23) calculé par la régression sont comparées aux solutions déterministes, solutions du système (4.5) pour les valeurs fixées du coefficient de frottement. Les résultats sont relevés dans les figures (4.65) et (4.66) et (4.67). De même, les cycles limites correspondant sont représentés dans le plan de phase dans les figures (4.68) et (4.69) et (4.70). Une modélisation précise de la dynamique oscillatoire du système (4.5) peut y être constatée aussi bien avec P = 30 qu’avec P = 20, le nombre d’éléments étant m = 4.

Application des Développements Spectraux à l’Analyse Robuste du Comportement

Dynamique d’un Système Frottant

Fig.4. 63. Valeur moyenne instantanée du déplacement

X

₁estimée par le chaos de Legendre multi-éléments via la technique de régression

Fig.4. 64. Variance instantanée du déplacement

X

₁estimée par le chaos de Legendre multi-éléments via la technique de régression

Application des Développements Spectraux à l’Analyse Robuste du Comportement

Dynamique d’un Système Frottant

Fig.4. 65. Réalisation du déplacement

X

₁correspondant à µ = 0.3 par le chaos de Legendre multi-éléments via la régression et par l'intégration déterministe

Fig.4. 66. Réalisation du déplacement

X

₁correspondant à µ = 0.315 par le chaos de Legendre multi-éléments via la régression et par l'intégration déterministe

Application des Développements Spectraux à l’Analyse Robuste du Comportement

Dynamique d’un Système Frottant

Fig.4. 6.7 Réalisation du déplacement

X

₁correspondant à µ = 0.33 par le chaos de Legendre multi-éléments via la régression et par l'intégration déterministe

Fig.4. 68. Réalisation du cycle limite

(X Xɺ

1

,

1

)

correspondant à µ = 0.3 par le chaos de Legendre multi-éléments via la régression et par l'intégration déterministe

Application des Développements Spectraux à l’Analyse Robuste du Comportement

Dynamique d’un Système Frottant

Fig.4. 69. Réalisation du cycle limite

(X Xɺ

1

,

1

)

correspondant à µ = 0.315 par le chaos de Legendre multi-éléments via la régression et par l'intégration déterministe

Fig.4. 70. Réalisation du cycle limite

(X Xɺ

1

,

1

)

correspondant à µ = 0.33 par le chaos de Legendre multi-éléments via la régression et par l'intégration déterministe

Application des Développements Spectraux à l’Analyse Robuste du Comportement

Dynamique d’un Système Frottant

La densité de probabilité des amplitudes de

X

₁et de

Xɺ

₁calculées via le modèle (4.23) en utilisant les la technique de régression sont représentées dans la figure (4.71). Par ailleurs, les moments statistiques des ces amplitudes (moyenne, écart type, minimum et maximum) avec ceux estimés avec la technique NISP sont relevés dans les tableaux (4.11) et (4.12).

Fig.4.71. Densités de probabilité de l'amplitude du déplacement

X

₁et de la vitesse

Xɺ

₁ estimées par le chaos de Legendre multi-éléments via la régression et Monte Carlo

Moyenne Écart type Minimum Maximum

MC 0.2571±0.0012 0.0465 -0.3309 0.3309

CPG-ME collocation (P = 20, m =4) 0.2573±0.0012 0.0466 -0.3339 0.3339

CPG-ME régression (P = 20, m =4 ) 0.2573±0.0012 0.0466 -0.3315 0.3315

(a)

Moyenne Écart type Minimum Maximum

MC 138.6277±0.7457 28.9007 -181.0107 181.0107

CPG-ME collocation (P = 20, m = 4) 141.6694±0.6761 26.2069 -185.8546 185.8618

CPG-ME régression (P = 20, m = 4) 141.6872±0.6755 26.1845 -181.9907 181.9907

(b)

Tab.4. 11.Estimation des caractéristiques statistiques de l’amplitude du déplacement

X

₁ (a) et de la vitesse

Xɺ

₁(b) par le chaos multi élément via les techniques non intrusives ( P = 20 et m = 4 )

Application des Développements Spectraux à l’Analyse Robuste du Comportement

Dynamique d’un Système Frottant

Moyenne Écart type Minimum Maximum

MC 0.2571±0.0012 0.0465 -0.3309 0.3309

CPG-ME collocation ( P = 30, m = 4) 0.2574±0.0012 0.0467 -0.3330 0.3330

CPG-ME regression (P = 30, m = 4) 0.2573±0.0012 0.0466 -0.3319 0.3319

(a)

Moyenne Écart type Minimum Maximum

MC 138.6277±0.7457 28.9007 -181.0107 181.0107

CPG-ME collocation (P = 30, m = 4 ) 141.3615±0.6713 26.0196 -183.4838 183.4761

CPG-ME régression (P = 30, m = 4) 141.2399±0.6699 25.9671 -181.7968 181.7953

(b)

Tab.4.12. Estimation des caractéristiques statistiques de l’amplitude du déplacement

X

₁ (a) et de la vitesse

Xɺ

₁(b) par le chaos multi-éléments via les techniques non intrusives (P = 30 et m = 4)

et comparaison avec les résultats de MC

Les niveaux vibratoires estimés avec la méthode du chaos polynomial de Legendre multi-éléments sont d’une bonne précision particulièrement ceux obtenus en utilisant la technique de régression. En effet, les erreurs relatives par rapport aux niveaux référentiels de Monte Carlo ne dépassent pas 0.45% pour

P=30

et 0.55% pour

P=20

. Par ailleurs, les erreurs des estimations obtenues avec la technique de projection sont légèrement plus élevées mais ne dépassent pas 1.5% pour

P=30

et 3% pour

P=20

.

• Etude sur 8 éléments avec l’ordre P = 30

Afin de mieux évaluer la convergence du modèle (4.23) en fonction du nombre d’éléments, une étude a été en utilisant le chaos de Legendre avec 8 éléments calculés via la régression avec P = 30, cette dernière étant la méthode qui a présenté les meilleures performances de précision. Les caractéristiques statistiques des amplitudes de

X

₁ et de

Xɺ

₁ sont données dans le tableau (4.13). La précision des estimations des niveaux vibratoires a atteint les mêmes valeurs (aux arrondis numériques) que celles obtenues par la méthode de MC. Les moments statistiques (valeurs moyennes et écarts types) ont très peu évolué ce qui renseigne la bonne convergence statistique du modèle (4.23).

Moyenne Écart type Minimum Maximum

MC 0.2571±0.0012 0.0465 -0.3309 0.3309

CPG-ME régression (P = 30, m = 8) 0.2572±0.0012 0.0465 -0.3309 0.3309

(a)

Moyenne Écart type Minimum Maximum

MC 138.6277±0.7457 28.9007 -181.0107 181.0107

CPG-ME régression (P = 30, m = 8) 140.4083±0.6700 25.9671 -181.0081 181.0081

(b)

Tab.4. 13.Estimation des caractéristiques statistiques de l’amplitude du déplacement

X

₁ (a) et de la vitesse

Xɺ

₁(b) par le chaos multi élément via les techniques non intrusives (P = 30 et m = 8)

Application des Développements Spectraux à l’Analyse Robuste du Comportement

Dynamique d’un Système Frottant Conclusion 4.4 sur le chaos polynomial de Legendre multi-éléments

Dans cette section, la méthode du chaos polynomial multi-éléments a été développée et appliquée pour évaluer ces capacité à surpasser les limites avérées du modèle chaos polynomial généralisé dans la modélisation et la prédiction des cycles limites sur un temps long traduit par un nombre de périodes d’oscillation suffisamment important. Il a été montré à travers tous les résultats présentés que le modèle chaos polynomial généralisé multi-éléments constitue effectivement un outil efficace puisqu’il a permis de modéliser et prédire, avec des précisions notables, les dispersions des niveaux vibratoires du système étudié. Deux paramètres interviennent dans l’établissement d’une bonne précision du modèle multi élément, à savoir l’ordre du chaos et le nombre d’éléments. Ces derniers sont déterminés à travers des études de convergence. La technique de régression a montré une meilleure performance comparée à la technique de projection spectrale non intrusive utilisant la méthode de collocation de Gauss-Legendre.

Dans le document Approches robustes du comportement dynamique des systèmes non linéaires : Application aux systèmes frottants (Page 178-193)