Stabilité autour des points stationnaires Premier jeu de paramètres

Nous pouvons constater que pour chacun des modèles, dans le cas LT = 0 (absence

de lymphocytes T cytotoxiques), le premier point stationnaire, qui correspond à l’état non infecté, est instable. Ce qui signifie que si on s’écarte un peu de ce point (par exemple en introduisant des virus), les variables s’éloignent de ce point.

Le même résultat est obtenu pour les modèles Sv1 et Sv2, dans le cas où LT = 16 (présence

de lymphocytes T cytotoxiques).

Pour LT = 0, le second point stationnaire, qui est identique pour les variables uCell et

V ir de chaque modèle, est atteint avec des oscillations amorties.

Les comportements des trois modèles commencent à différer en ce qui concerne le cas où LT = 16.

Pour les modèles Sv1et Sv2, les valeurs des variables uCell et V ir au second point stationnaire

sont identiques, et le comportement, au voisinage de ce point, correspond à des oscillations amorties.

Dans le cas de Sv3, le second point stationnaire, qui a une valeur négative pour la variable

V ir, est instable. Et ce modèle Sv3 produira des oscillations amorties autour du premier

point stationnaire (état non infecté).

Capacité d’infection

Dans les modèles proie/prédateur, et de proliférations virales comme présentés ici, il est possible de déterminer la capacité d’infection R0(basic reproductive number, May et al. [70]).

Ce nombre (adimensionné) se calcule comme le rapport entre le taux moyen auquel chaque individu infecté produit une nouvelle infection par unité de temps et le taux de sortie du stade infectieux (par mort ou guérison).

Une petite quantité de virus peut augmenter et survivre si R0 > 1. Mais si R0 < 1,

l’infection décline et le virus disparaît. Pour R0 = 1, on parle d’infection contrôlée.

Dans certains cas, R0 peut servir à représenter la croissance, d’une épidémie par exemple,

aux tous premiers stades, par une fonction du type exp (K(R0− 1)t), K étant une constante

dépendante du modèle (May et al. [70]).

A partir des valeurs numériques des paramètres, nous pouvons calculer (numériquement) la capacité d’infection (R0) pour chacun des modèles (voir §E.1.3, p. 239, §E.2.3 et §E.3.3

pour les expressions de R0 pour chacun des modèles).

En absence de lymphocytes T cytotoxiques (LT = 0), R0 = 2, 96, le virus prolifère (R0 > 1).

Dans le cas où les cellules cibles se trouvent confrontées à 16 lymphocytes T cytotoxiques (LT = 16), pour les modèles Sv1 et Sv2, R0 = 1, 48, l’infection se maintient (R0 > 1), tandis

que pour le modèle Sv3, R0 = 0, 17, il y a guérison (R0 < 1).

Ce nombre R0 est représenté sur la figure 13.1 en fonction de la quantité de lymphocytes

T cytotoxiques disponibles (LT), pour les modèles Sv1 et Sv2 et le modèle Sv3.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Quantité de lymphocytes T cytotoxiques

R0 S v1, Sv2 S_v3 Application numérique du calcul de la capacité d’infection (R0) en fonction du nombre de lymphocytes T cytotoxiques (LT).

Pour les modèles d’infection virale Sv1 et Sv2, R0 =

αγ(δ(µ − 1) + ηLT(ρ − 1))

βε(δ + ηLT)

(trait plein). Pour le modèle Sv3, R0 =

αγ(Φ − (δ + ηLT)(ω + ηLT))

βε(δ + ηLT)(ω + ηLT)

(en pointillés), avec Φ = (δµ + ρηLT)ω.

Les valeurs numériques des paramètres sont dans le tableau 13.1.

Une infection virale se maintient quand R0> 1.

Fig. 13.1 – Capacité d’infection (R0) en fonction du paramètre LT - Premier jeu de

paramètres

Ces courbes nous montrent qu’en utilisant le modèle Sv3, peu de lymphocytes T

cytotoxiques sont utiles pour enrayer l’infection virale, tandis que pour les deux autres modèles, beaucoup plus de lymphocytes T (plus de 10 fois la quantité précédente) sont nécessaires pour espérer avoir une infection virale controlée (R0 → 1).

13.1.2

Courbes obtenues pour chacun des modèles

Les graphes 13.2, 13.3 et 13.4 montrent, pour chacun des modèles, l’évolution au cours du temps de chacune des variables, en absence de lymphocytes T pour l’intervalle de temps entre 0 et 4000 s, puis avec des lymphocytes T (intervalle de temps entre 4000 s et 8000 s). Pour ce jeu de paramètres, l’évolution au cours du temps des variables des trois modèles présente des oscillations amorties.

13.1. Premier jeu de paramètres 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Temps

Quantité (nombre) de cellules ou virus

ucell icell virus

Application numérique du modèle d’infection virale Sv1.

Représentation des quantités de cellules saines (uCell), de cellules infectées (iCell) et de virus (V ir), au cours du temps (en secondes). La résolution du système de 3 EDO a été effectuée avec la fonction ode15s du logiciel Matlab. Les valeurs numériques des paramètres sont dans le tableau 13.1. Aucun lymphocyte T cytotoxique (LT = 0)

sur l’intervalle de temps [0; 4000 s[, puis LT = 16

sur [4000 s; 8000 s].

Fig. 13.2 – Modèle Sv1 - Premier jeu de paramètres

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Temps

Quantité (nombre) de cellules ou virus

ucell icell₀ icell

virus _{Application numérique du}

modèle d’infection virale Sv2.

Représentation des quantités de cellules saines (uCell), de cellules infectées (iCell0 et iCell)

et de virus (V ir), au cours du temps (en secondes). La résolution du système de 4 EDO a été effectuée avec la fonction ode15s du logiciel Matlab. Les valeurs numériques des paramètres sont dans le tableau 13.1. Aucun lymphocyte T cytotoxique (LT = 0)

sur l’intervalle de temps [0; 4000 s[, puis LT = 16

sur [4000 s; 8000 s].

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 0 50 100 150 200 250 300 Temps

Quantité (nombre) de cellules ou virus

ucell icell₀ icell 1 icell 2 virus Application numérique du modèle d’infection virale Sv3.

Représentation des quantités de cellules saines (uCell), de cellules infectées (iCell0, iCell1 et

iCell2) et de virus (V ir),

au cours du temps (en secondes).

La résolution du système de 5 EDO a été effectuée avec la fonction ode15s du logiciel Matlab. Les valeurs numériques des paramètres sont dans le tableau 13.1. Aucun lymphocyte T cytotoxique (LT = 0)

sur l’intervalle de temps [0; 4000 s[, puis LT = 16

sur [4000 s; 8000 s].

Fig. 13.4 – Modèle Sv3 - Premier jeu de paramètres

Dans ce cas, pour le modèle Sv3 (Fig. 13.4), 16 lymphocytes T sont suffisants pour

13.1. Premier jeu de paramètres

13.1.3

Comparaison sur les variables V ir et uCell

Nous avons comparé les résultats obtenus avec les trois modèles pour la quantité de virus (variable V ir ; Fig. 13.5 et 13.6) et pour la quantité de cellules cibles saines (uCell ; Fig. 13.7 et 13.8).

Pour une meilleure lisibilité des courbes, nous avons séparé les périodes sans lymphocytes T et avec lymphocytes T.

Le tableau 13.3 indique, pour les variables uCell et V ir, les conditions initiales, et les valeurs obtenues par la résolution numérique aux temps t = 3988 s (un peu avant l’introduction de lymphocytes T), et t = 8000 s. Sv1 Sv2 Sv3 à t = 0 s (LT = 0) uCell (U) 147,06 147,06 147,06 V ir (U) 1 1 1 à t = 3988 s (LT = 0) uCell (U) 49,76 49,70 49,83 V ir (U) 9,91 9,71 9,98 à t = 8000 s (LT = 16) uCell (U) 100,24 97,41 146,63 V ir (U) 2,24 3,04 0