Résultats de la résolution numérique Premier jeu de paramètres

Nous rappelons que pour le second point stationnaire, avec ce jeu de paramètre, nous avons obtenu uCelle2(LT : 0) = 49, 71 U et V ire2(LT : 0) = 9, 86 U pour les trois modèles,

uCelle2(LT : 16) = 99, 32 U et V ire2(LT : 16) = 2, 42 U pour les modèles Sv1 et Sv2, et

uCelle2(LT : 16) = 421, 80 U et V ire2(LT : 16) = −3, 28 U pour le modèle Sv3 (Tab. 13.2).

A t = 3988 s, la résolution numérique des trois modèles donne un résultat proche du second point stationnaire (LT = 0).

A t = 8000 s, les variables des modèles Sv1 et Sv2 s’approchent du second point stationnaire

(LT = 16), et celles du modèle Sv3 tentent vers le premier point stationnaire (qui correspond

à un état non infecté).

Variable V ir, la quantité de virus

Nous pouvons voir sur les courbes Fig. 13.5, un décalage dans le temps entre les modèles (ce qui peut s’expliquer par le fait que chaque modèle (Sv2, Sv3) a une étape de plus par

rapport au modèle précédent (Sv1, Sv2)).

Les hauteurs de pics sont différentes, mais le point stationnaire est identique pour les trois modèles.

Au moment de l’introduction de lymphocytes T cytotoxiques (Fig. 13.6), t = 4000 s, nous pouvons observer une brusque augmentation de la quantité de virus. Cette "apparition"

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Temps Virus modèle S v1 modèle S v2 modèle S_v3

Comparaison des trois modèles d’infection virale : Sv1, Sv2 et Sv3.

La résolution des systèmes d’EDO a été effectuée avec la fonction ode15s du logiciel Matlab. Les valeurs numériques des paramètres sont dans le tableau 13.1. Aucun lymphocyte T cytotoxique (LT = 0)

sur l’intervalle de temps [0; 4000 s[, puis LT = 16

sur [4000 s; 8000 s]. Représentation de la quantité de virus (V ir), au cours du temps (en secondes), pendant la période sans lymphocyte T cytotoxique.

Fig. 13.5 – Variable V ir - Modèles Sv1, Sv2 et Sv3 - Premier jeu de paramètres - LT = 0

30000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 5 10 15 20 25 30 35 40 Temps Virus modèle S v1 modèle S v2 modèle S v3

Comparaison des trois modèles d’infection virale : Sv1, Sv2 et Sv3.

La résolution des systèmes d’EDO a été effectuée avec la fonction ode15s du logiciel Matlab. Les valeurs numériques des paramètres sont dans le tableau 13.1. Aucun lymphocyte T cytotoxique (LT = 0)

sur l’intervalle de temps [0; 4000 s[, puis LT = 16

sur [4000 s; 8000 s]. Représentation de la quantité de virus (V ir), sur l’intervalle de temps [3000 s; 8000 s]. Apparition des lymphocytes T cytotoxiques à t = 4000 s.

13.1. Premier jeu de paramètres soudaine de virus est due au terme ρ.η.iCell.LT présent dans les équations, qui signifie

la libération de nouveaux virus provenant de la lyse, par les lymphocytes T, des cellules infectées.

En présence de lymphocytes T, le comportement du modèle Sv3 diffère de celui des deux

autres modèles.

En effet, pour Sv3, la quantité de virus devient nulle, tandis que pour les deux autres

modèles, nous avons encore des oscillations, tendant vers un nouveau point stationnaire. Ce qui confirme les résultats obtenus par le calcul du nombre R0 de capacité d’infection.

Variable uCell, la quantité de cellules cibles saines

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 20 40 60 80 100 120 140 Temps uCell modèle S_v1 modèle S_v2 modèle S v3

Comparaison des trois modèles d’infection virale : Sv1, Sv2 et Sv3.

La résolution des systèmes d’EDO a été effectuée avec la fonction ode15s du logiciel Matlab. Les valeurs numériques des paramètres sont dans le tableau 13.1. Aucun lymphocyte T cytotoxique (LT = 0)

sur l’intervalle de temps [0; 4000 s[, puis LT = 16

sur [4000 s; 8000 s]. Représentation de la quantité de cellules saines (uCell), au cours du temps (en secondes), pendant la période sans lymphocyte T cytotoxique.

Fig.13.7 – Variable uCell - Modèles Sv1, Sv2 et Sv3 - Premier jeu de paramètres - LT = 0

Les courbes des trois modèles, Fig. 13.7, sont légèrement décalées dans le temps, mais les amplitudes des oscillations sont sensiblement identiques.

Mais en présence de lymphocytes T, Fig. 13.8, Sv3donne un résultat différent : on revient

à un état non infecté, tandis que pour les deux autres modèles il y a toujours des oscillations amorties, tendant vers un nouveau point d’équilibre.

30000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 20 40 60 80 100 120 140 Temps uCell modèle S_v1 modèle S_v2 modèle S v3

Comparaison des trois modèles d’infection virale : Sv1, Sv2 et Sv3.

La résolution des systèmes d’EDO a été effectuée avec la fonction ode15s du logiciel Matlab. Les valeurs numériques des paramètres sont dans le tableau 13.1. Aucun lymphocyte T cytotoxique (LT = 0) sur l’intervalle de temps [0; 4000 s[, puis LT = 16 sur [4000; 8000]. Représentation de la quantité de cellules saines (uCell), sur l’intervalle de temps [3000 s; 8000 s]. Apparition des lymphocytes T cytotoxiques à t = 4000 s.

Fig. 13.8 – Variable uCell - Modèles Sv1, Sv2 et Sv3 - Premier jeu de paramètres - LT = 16

13.2

Second jeu de paramètres

Dans le tableau 13.4, les paramètres des trois modèles sont indiqués, avec les valeurs numériques utilisées.

De même que pour l’exemple précédent, les valeurs numériques présentées ici ont été prises de façon arbitraire, en considérant leur unité comme étant indéterminée pour l’instant et notée U. Nous avons choisi (après plusieurs tests des paramètres) ce second jeu, car la résolution des modèles indique un comportement de l’évolution temporelle des variables (rapide stabilisation) différent de celui obtenu avec le premier jeu de paramètres (oscillations amorties).

Nous avons utilisé deux valeurs pour LT de façon à voir le comportement des modèles en

absence (LT = 0) ou présence (LT = 16) de lymphocytes T spécifiques du virus.

Pour la résolution numérique des systèmes, les conditions initiales choisies étaient : – uCell(t = 0) = α

β = 1 U ;

– iCell(t = 0) = 0 U ; – V ir(t = 0) = 0, 01 U ;

le virus vient de s’introduire dans l’organisme.

13.2. Second jeu de paramètres

Paramètre Description Modèles

α = 0, 02 U.s−1 _{Production des cellules cibles S}

v1, Sv2 et Sv3

β = 0, 02 s−1 _{Taux de mortalité des cellules cibles S}

v1, Sv2 et Sv3

γ = 0, 05 U−1_.s−1 Taux d’infection des cellules cibles par

virus Sv1, Sv2 et Sv3

δ = 0, 04 s−1 _{Taux de mortalité des cellules infectées S}

v1, Sv2 et Sv3

η = 0, 06 s−1 Taux de destruction des cellules

infectées par les lymphocytes T Sv1, Sv2 et Sv3 LT(t) = 0 pour t < 4000 s

LT(t) = 16 pour t > 4000 s

Nombre de lymphocytes T activés (clones) dans la région où se trouve le virus

Sv1, Sv2 et Sv3

µ = 3 Taux de production de nouveaux virus

par cellules cibles infectées Sv1, Sv2 et Sv3

ρ = 2

Taux de production de nouveaux virus par cellules cibles infectées tuées par les lymphocytes

Sv1, Sv2 et Sv3

ε = 0, 01 s−1 _{Taux de mortalité des virus S}

v1, Sv2 et Sv3

θ = 0, 025 s−1 "Vitesse" de passage du premier stade

au second pour les cellules infectées Sv2 et Sv3 ω = 1, 25θ = 0, 03125 s−1 "Vitesse" de passage du second stade

au troisième pour les cellules infectées Sv3