Stabilité des systèmes linéaires à temps invariant

Pour déterminer la séquence d’étatsX_r+1, on conduit un raisonnement similaire et on montre que [OM96]

G_r+1=W₁Y_r+1/rΠ⊥

U_r+1/r

¯

W₂=O_r−1Xˆ_{r+1 (4.15)}

où la matrice de pondération ¯W₂=Z^>₁

Z₁Π⊥

U_r+1/r

Z^>₁

−1

Z₁ (selon le tableau 4.1pour N4SID) dépend de la

nouvelle matrice des données passées

Z₁=

"

U_0/r+1

Y_0/r+1

#

.

Une estimation de la matrice d’observabilité dans (4.15) s’obtient simplement à partir de ˆO_rpar

ˆ

O_r−1=_Oˆ_{r(1 :p(r−1),1 :n).}

On en déduit la deuxième séquence d’état

ˆ

X_r+1=O^†_r−1G_r+1

dont la connaissance permet de mettre en oeuvre l’estimation des moindres carrés (4.14).

Cette procédure de détermination des séquences d’état est adaptable à la méthode CVA moyennant quelques

légères modifications dans les matrices de pondération. Le lecteur pourra consulter l’ouvrage de Van Overschee et

De Moor [OM96] pour de plus amples détails.

Remarque

D’autres méthodes d’estimation par les méthodes des sous-espaces moins usitées existent et se basent sur

l’estimation consistante des paramètres de Markov (éléments de la matrice de Toeplitz4.3) desquels est déduite

une réalisation du système. Des exemples de telles approches sont exposés par exemple dans [CM05] et [Pek04].

Elles reposent comme les méthodes exposées précédemment sur les outils de projection de l’algèbre linéaire et

sont susceptibles comme les autres méthodes des sous-espaces de produire des modèles instable du système. Cette

remarque nous conduit à examiner la notion de stabilité des systèmes linéaires à temps invariant.

4.3 Stabilité des systèmes linéaires à temps invariant

Dans un cadre général, la notion de stabilité d’un système décrit par les équations

x_k+1 = f(x_k,u_k) (4.16)

y_k = g(x_k,u_k) (4.17)

où f etgsont des fonctions des étatsx∈X et des entréesu, est considérée par rapport aux points d’équilibre

(x_e,u_e)du système vérifiant la relationx_e=f(x_e,u_e). Pour simplifier la présentation, nous considérerons par la

suite queu_e=0. Dans ce cas, la caractérisation de la stabilité du point d’équilibrex_e peut être résumée par les

éléments de définition suivants.

Definiton 4.1(Stabilité). Considérons la notationx_k(x₀)qui désigne la trajectoire de l’état du système à l’instant

k>k₀, partant de l’état initialx_k

₀

=x₀. Un point d’équilibrex_eest

1. simplement stable (au sens de Lyapunov) si∀ε>0,∃η(ε)>0 tel que pour tout état initial x₀ vérifiant

kx₀−x_ek<η,kx_k+1(x0)−x_ek<ε

2. asymptotiquement stable s’il est simplement stable etlimk→∞kx_k+1(x0)−x_ek=0,

3. globalement asymptotiquement stable si le système est asymptotiquement stable pour tout état initial

appar-tenant au domaine admissible des états.

CHAPITRE 4. IDENTIFICATION DE REPRÉSENTATIONS D’ÉTAT STABLES 93

4. instable dans le cas contraire.

Dans cette définition, la stabilité simple signifie simplement que pour tout point initialx₀∈Ω(x_e)⊂X avec

Ω(x_e)désignant un voisinage proche de l’état d’équilibrex_e, la trajectoirex_k(x0)évoluera à proximité du point

d’équilibre. La stabilité asymptotique assure en plus qu’en régime asymptotique, le système revient à l’état

d’équi-libre et elle se mue en stabilité globale asymptotique si cette propriété est vraie pour tout état initialx₀∈X.

Une autre façon de caractériser la stabilité d’un système entièrement basée sur les entrées et sorties du système

et ne faisant pas appel à l’état internexest présentée ci-dessous.

Definiton 4.2(Stabilité BIBO (Bounded Input, Bounded Output)). Un système est BIBO stable si pour toute entrée

bornéeku_kk<γ,γ≥0, la sortie correspondante est bornée c’est-à-direky_kk<γ0_avecγ0≥0.

Dans le cas des systèmes linéaires comme ceux auxquels nous nous intéressons, le système admet en général un

point d’équilibre unique et la notion de stabilité au sens de la définition4.1est une stabilité asymptotique globale,

ce qui facilite l’étude. Nous exposons ci-après deux théorèmes spécifiant ces conditions de stabilité. Le premier

théorème s’énonce de la façon qui suit.

Théorème 4.1(Conditions de stabilité). Soit le système caractérisé par la relation d’étatx_k+1=Ax_k+Bu_k. Soient

λj, j=1,···,n⁰, n⁰≤n les valeurs propres de la matrice d’étatA. Ce système est

1. BIBO instable s’il existe au moins une valeur propreλitelle que|λi|>1,

2. BIBO stable (et asymptotiquement stable) si toutes les valeurs propres vérifient|λj|<1,∀j=1,···,n⁰,

3. simplement stable (et BIBO non stable) si toutes les valeurs propres deAsatisfont|λ_j|<1à l’exception

d’une valeur propreλitelle que|λi|=1et est d’ordre de multiplicité 1.

Les éléments de démonstration de ce théorème considèrent le système avec une entrée nulle. Par conséquent, le

vecteur d’état suit une trajectoire décrite par l’équationx_k=Akx₀. En décomposant la matrice d’état sous sa forme

de Jordan notéeJ(λ1,···,λ_n

0

)(notons queJ(λ1,···,λ_n

0

)est diagonale siAest diagonalisable), on s’aperçoit que

l’évolution dex_kne dépend que deJ^k(λ1,···,λ_n

0

). De cette remarque, on déduit alors les résultats du théorème.

Une illustration de ce théorème est portée sur la figure4.2.

−1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Axe imaginaire Axe reel

(a) Stabilité simple

−1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Axe imaginaire Axe reel

(b) Stabilité asymptotique

FIGURE4.2 :Illustration de la stabilité d’un système linéaire en fonction de la position dans le plan complexe

des valeurs propres de la matrice d’état.

La deuxième méthode d’analyse de la stabilité repose sur la méthode de Lyapunov qui est une méthode générale

d’analyse de la stabilité des systèmes qu’ils soient linéaires ou non. L’intuition derrière cette approche est la

suivante : si l’énergie totale d’un système est dissipée de manière conitnue alors ce système finira par rejoindre

un état d’équilibre. Cette idée est formalisée par le théorème suivant (que nous énonçons pour le point d’équilibre

94 4.3. STABILITÉ DES SYSTÈMES LINÉAIRES À TEMPS INVARIANT

Théorème 4.2. Soit V_k=V(x_k), une fonction candidate de Lyapunov et soit∆V_k=V_k+1−V_ksa variation. Soit le

système (4.16) de point d’équilibrex_e=0.

1. x_eest simplement stable si dans un voisinage dex_e(boule de rayonρcentrée surx_e), il existe une fonction

V_kdéfinie positive¹telle que∆V_ksoit semi-définie négative.

2. x_eest localement asymptotiquement stable si dans un voisinage dex_e, il existe une fonction V_kdéfinie positive

telle que∆V_ksoit définie négative.

3. x_eest globalement asymptotiquement stable s’il existe une fonction V_kdéfinie positive et non bornée en rayon

(i.e.lim_kx

_k

_k→∞V_k= +∞) telle que∆V_ksoit définie négative.

Il est à remarquer que les conditions de stabilité de Lyapunov sont des conditions suffisantes. Dans le cas

général, ce théorème pose le problème de définition de la fonction candidate de Lyapunov. Toutefois dans un

cas linéaire comme (4.1), la mise en oeuvre du théorème est simplifiée. Pour ce faire, on choisit une fonction

quadratiqueV_k=x^>_kPx_kavecP∈Rⁿ×n. Sa variation s’écrit∆V_k=x^>_k(A^>PA−P)x_k. Les conditions de stabilité

s’énoncent alors comme suit.

Théorème 4.3(Stabilité des systèmes linéaires par Lyapunov). Soit le système linéaire (4.1) et soit V_k=x^>_kPx_k,

une fonction candidate de Lyapunov.

1. Le système est simplement stable ssi pour toute matrice Qsymétrique, semi-définie positive (on notera

Q0n), il existe une matricePdéfinie positive(P0n)vérifiant l’équation de Lyapunon

A^>PA−P+Q=0 (4.18)

2. le système est asymptotiquement stable ssi pour toute matriceQsymétrique, définie positive (Q0n), il

existe une matriceP0nvérifiant l’équation (4.18).

Remarque

Pour ce dernier théorème, on peut remarquer que pourP=I_ns’il existeQ0n, on aA^>A≺I_nd’où on déduit

que la norme spectrale_kAk2<1. Ceci signifie que_kx_kk ≤ kAkk

2kx₀ket donc que la convergence asymptotique

de la séquence d’état vers 0 est garantie. En revanche le système peut être stable asymptotiquement sans qu’on ait

nécessairement_kAk2<1.

Notations

Pour la suite du chapitre, il est utile de définir plusieurs termes. Afin de mieux visualiser ces différentes notions,

on présente une vue imagée en figure4.3. On suppose que l’on cherche une matriceA^∗, solution optimale d’un

problème de moindres carrés sous contrainte de stabilité. ˆAest alors la solution du problème de moindres carrés

sans contrainte. Soitλ(A)une valeur propre de la matriceA,λmax(A)désigne alors la plus grande valeur propre

en module de la matriceA.ρ(A)est le module de cette valeur propre, également appelé rayon spectral deA. On

peut alors écrire :ρ(A) =|λmax(A)|. La contrainte de stabilité sur le système est alors donnée par l’inéquation

ρ(A)<1. De même,σ(A)désigne une valeur singulière de la matriceAetσ_max(A)désigne la plus grande valeur

singulière de la matriceA. On peut remarquer ici que_kAk2<1 est équivalent àσmax(A)<1. On définit alors 2

régions de l’espace des matrices carrés de dimensionn,S_λ l’ensemble des matricesAtelles queρ(A)≤^{1, qui}

correspondra donc à l’ensemble des matrices accociées à la contrainte de stabilité choisie, etSσ l’ensemble des

matricesAtelles queσmax(A)≤1. Concernant ces 2 régions, on peut noter que la régionS_λ est non convexe. De

plus, l’inégalitéσmax(A)≥ρ(A)étant toujours vérifiée, la régionS_σest entièrement incluse dansS_λ.

CHAPITRE 4. IDENTIFICATION DE REPRÉSENTATIONS D’ÉTAT STABLES 95

FIGURE4.3 :Vue imagée des notations utilisées. En noir, la contrainte réelle de stabilité (l’espace des solutions

admissibles estS_λ) et en bleu, la région désignée parS_σ. La matrice ˆAreprésente la solution des moindres

car-rés, entourée des isocontours du coût quadratique.A^∗représente la solution optimale du problème du problème

quadratique sous contrainte de stabilité.

Dans le document Méthodes statistiques pour la prédiction de température dans les composants hyperfréquences (Page 103-106)