60 80 100 120 140 160 180 200 Temps (10−4s) Données de test Modèle réel Modèle d etat
(b) Comparaison de la sortie du modèle d’état avec les données
« Transistor » avec et sans bruit.
FIGURE4.8 :Résultats obtenus pour un modèle d’états sur la base de données « Transistor »
Pour les données « Maquette », on constate que le meilleur résultat est réalisé pour un modèle d’ordre 6 (figure
4.9(a)). Cette fois-ci, le résultat optimal est le même avec ou sans l’utilisation de la contrainte de stabilité. Toutefois,
la contrainte de stabilité permet de confirmer que le modèle d’ordre 6 est le plus performant, puisque comme dans le
cas « Transistor », au-delà de cette limite, les modèles obtenus par la méthode n4sid sans contrainte sont instables.
La sortie obtenue est comparée à celle obtenue pour le modèle linéaire (figure4.9(b)). On constate une différence
de l’erreur quadratique moyenne en apprentissage (Jval=3.603) et sur la base de test Jtest=3.5579 en faveur du
modèle linéaire OE (voir tableau3.5pour les performances des modèles linéaires).
4.9 Conclusion et perspectives
Après une analyse des différentes méthodes existantes pour l’identification d’un modèle linéaire stable pour
les systèmes dynamiques, nous avons constaté que toutes ces méthodes se fondaient sur une approximation de la
contrainte de stabilité par une contrainte convexe. De plus, moins la contrainte utilisée est restrictive, meilleures
sont les performances de la méthode. Ce fait est la motivation principale pour proposer une méthode qui optimise
directement le critère des moindres carrés sur l’erreur de reconstruction avec une contrainte sur le rayon spectral
de la matriceA. Le problème est non-convexe et non-différentiable mais peut être résolu en utilisant un algorithme
de gradient échantillonné. Les résultats obtenus sur des données simulées et sur les données thermiques montrent
104 4.9. CONCLUSION ET PERSPECTIVES
0 5 10 15 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8Erreur quadratique moyenne
Nombre d etats
N4SID
N4SID + contrainte stabilité
(a) Variation de l’erreur de validation en fonction du nombre de
d’états du système.
0 500 1000 1500 2000 2500 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Temps (s) Données de test Modèle d etat Modèle linéaire OE(b) Comparaison de la sortie du modèle d’état avec les données
« Maquette ».
FIGURE4.9 :Résultats obtenus pour un modèle d’états sur la base de données « Maquette »
la pertinence de cette démarche. Il serait alors pertinent d’étendre nos approches à des cas non-linéaires.
Une extension non-linéaire simple du modèle (4.1) consiste à adopter une approche à base de noyaux [SS01].
L’idée est de projeter de façon non-linéaire les entréesu(t)et les sortiesy(t)dans un espaceH. Dans cet espace,
on recherche un modéle d’état de la forme [RdB04,KYM07] :
(
Xφ(t+1) = AφXφ(t) +Bφφu(u(t))
φy(y(t)) = CφXφ(t) +Dφφu(u(t))
avecφu(.)etφy(.)les fonctions de projection non-linéaires. Connaissant la sortieφy(y(t))dansH, on détermine
l’estimation ˆyen faisant une projection inverse (ou du moins, trouver une approximation si la projection n’est pas
bijective). Pour réaliser cette transformation inverse, on peut par exemple utiliser la formulation dans [KYM07].
L’avantage de cette approche est que l’adaptation des contraintes de stabilité est immédiate. En effet, une fois la
séquence d’états identifiée, les cas linéaire et non-linéaire peuvent être traités de façons identiques. On pourrait
alors déterminer des modèles d’état non-linéaires avec des contraintes de stabilité.
5
Conclusion
Dans ces travaux, nous nous sommes intéressés à la modélisation thermique appliquée aux systèmes RADAR.
En effet, le développement de modèles thermiques plus performants est une nécessité pour permettre de relever
des défis toujours plus importants en termes de puissance d’émission, de conditions extérieures et de système
de refroidissement utilisé. Dans le développement de modèles thermiques, nous nous sommes principalement
intéressés aux méthodes statistiques capables de produire des modèles compacts à partir de données. Le but à
terme est de pouvoir embarquer ces modèles sur des composants présents à l’intérieur du RADAR.
La génération des données nécessaires pour permettre l’apprentissage statistique nous a amené à utiliser les
modèles classiquement étudiés en modélisation thermique, tels que les modèles à éléments finis. Cette étape nous
a permis de constater la difficulté de réaliser un modèle complet de l’architecture du système. En effet, en partant
des doigts des transistors de puissance (de quelques centaines de micromètres) jusqu’au système de refroidissement
(qui atteignent des dizaines de centimètres), la plage des temps de réponse thermique est bien trop importante pour
la réalisation de modèles et même de bases de données exploitables. Cette étape nous a donc conduit à séparer
la modélisation thermique en 2 problèmes distincts, selon que l’on s’intéresse à la température du composant ou
à celle du système de refroidissement. De plus, elle nous a permis de mieux comprendre les non-linéarités qui
pourraient être présentes dans les données thermiques.
Pour générer d’autres données, les méthodes de mesures thermiques ont également été utilisées. Pour la
tem-pérature du composant, les fortes exigences en termes de temps de réponse et de précision nous ont conduit à
retenir les mesures au microscope infrarouge. Pour la température du système de refroidissement, les
thermo-couples forment le meilleur compromis en terme de performances et de praticité. En combinant ces deux étapes de
modélisation et de mesure thermiques, deux séries de données ont été créées afin d’évaluer les performances des
méthodes d’apprentissage statistiques pour la prédiction de température dans les systèmes RADAR.
Plusieurs méthodes d’apprentissage statistique, linéaires et non-linéaires, de modèles dynamiques ont été
étu-diées. Parmi celles existantes, nous nous sommes plus particulièrement intéressés aux modèles récurrents, compte
tenu de la forte inertie présente dans les données thermiques et du fait qu’aucun système de mesure ne pourra être
embarqué dans un RADAR. Toutes nos expériences ont d’ailleurs montré que, pour une classe de modèles donnée,
les performances étaient améliorées par la prise en compte de cette récurrence (sauf pour les Least Square SVM
récurrents qui constituent ainsi un cas particulier). Les méthodes récurrentes doivent résoudre deux problèmes
simultanément. Tout d’abord, la minimisation de l’erreur vis-à-vis de la base d’apprentissage (ce problème est
commun à toutes les méthodes d’apprentissage). Mais, pour un modèle récurrent, il faut également vérifier sa
ca-pacité à maintenir ces performances en utilisant des données de sortie qu’il a lui même générées. Ces deux étapes
sont présentes dans tous les algorithmes récurrents que nous avons étudiés, de manières implicites pour les modèles
linéaires, les réseaux de neurones (lors de la mise à jour des paramètres du modèle au cours de l’optimisation) et
RLSSVM (où cette étape est intégrée dans les contraintes du problème d’optimisation) ou plus explicites pour les
106
réseaux bayésiens (les deux étapes de l’algorithme EM) ou les modèles d’états (projection, puis minimisation de
l’erreur de reconstruction sur la séquence d’états), de manière itérative (les modèles linéaires, les réseaux de
neu-rones, RLSSVM et réseaux bayésiens) ou non (modèle d’états). Pour les modèles d’états, il est donc important que
les hypothèses utilisées lors de la projection vers l’espace d’état soient vérifiées, sous peine d’obtenir une séquence
d’états impossible à reconstruire.
Au niveau des performances, les modèles linéaires présentent déjà des résultats satisfaisants pour les 2 séries
de mesures. Les non-linéarités théoriques des modèles thermiques n’ont donc qu’une faible influence. Pour la
modélisation du système de refroidissement, l’utilisation d’un réseau de neurones peut être envisagée si les
perfor-mances attendues justifient une complexité de mise en oeuvre plus importante. Les autres méthodes non linéaires
ne semblent pas adaptées à ce problème, et les réseaux bayésiens n’apportent pas de différences significatives
vis-à-vis des modèles linéaires. Pour les méthodes à noyau, les méthodes de sous-espaces semblent être une alternative
intéressante aux machines à vecteurs supports dans le cadre d’un modèle dynamique.
Pour les modèles récurrents, lors de l’étape consistant à vérifier sa capacité à maintenir les performances pour
des données de sortie qu’il a lui même générées, l’utilisation de contraintes, notamment de contraintes de stabilité,
peut être un atout utile dans la recherche d’un modèle. Nous avons démontré que ce type de contraintes peut
être intégré dans un algorithme de sous-espace pour la construction d’un modèle d’états linéaire, améliorant ainsi
les performances de la méthode. L’intégration de ces contraintes dans un algorithme de sous-espace non-linéaire
utilisant des noyaux peut être une piste intéressante pour l’apprentissage de modèles dynamiques. Leur application
dans ce cadre non-linéaire aux données thermiques reste à mener.
Pour continuer le développement de modèles pour prédire la température dans des systèmes RADAR, l’élément
le plus important est la création de bases de données plus adaptées à l’apprentissage statistique. La réalisation d’un
banc de mesure thermique pour les composants électroniques qui soit capable de générer des données d’entrée
variées est donc nécessaire. De même, la commande de la vitesse de l’air dans le système de refroidissement de
la maquette CORIA doit être automatisée pour permettre de créer des données plus intéressantes. Au niveau des
modèles statistiques, sur les données disponibles, les performances obtenues sont satisfaisantes pour l’application
envisagée. De nouvelles données permettraient cependant de confirmer ces résultats. Les modèles d’états sont une
approche intéressante pour l’apprentissage de nouveaux modèles thermiques, notamment si plusieurs points de
mesure sont présents sur le même système.
A
Repositionnement et recalage d’images
Dans le document
Méthodes statistiques pour la prédiction de température dans les composants hyperfréquences
(Page 114-158)