V. Analyse des systèmes linéaires
V.4. Stabilité des systèmes
La stabilité d’un système dynamique linéaire est la propriété selon laquelle ce système, écarte de sa position d’équilibre par une sollicitation extérieure, revient à cette position d’équilibrer une fois que cette sollicitation a cessé.
Conditions de stabilité
Un système linéaire est stable si aucune des racines de son équation caractéristique (dénominateur de sa fonction de transfert) n'a pas de partie réelle positive. Cela exclut :
• Les racines réelles positives.
• Les racines complexes à parties réelles positives. On peut formuler ceci autrement :
• Un système asservi bouclé est stable si tous les pôles de la FTBF sont localisés dans le demi-plan gauche du plan complexe.
• Un système asservi bouclé est instable si sa FTBF comprend, au moins, un pôle localisé dans le demi-plan droit du plan complexe et/ou des pôles de multiplicité >1 sur l’axe imaginaire.
• Si le système comprend une seule paire de pôle sur l’axe imaginaire ou un pôle unique à l’origine, le système est dit marginalement stable. Sa réponse sera oscillatoire non amortie ou non oscillatoire à variation constante lorsque 𝑡 → ∞
Chapitre III L’Asservissement
Fig.III.8 : récapitule les cas possibles suivant le signe et la nature des racines.
Mais les conditions de stabilité ainsi définies ne sont pas suffisantes pour caractériser un système asservi : un système très mal amorti sera inutilisable, il faudra donc toujours définir des marges dites de sécurité sur les coefficients d'amortissement.
critère de stabilité [19]
Il existe d’autre méthode pour analyser la stabilité des systèmes sans les tracer. Ce sont les critères de stabilité en boucle fermée à partir du tracé de la boucle ouverte ou à partir de l’équation caractéristique. Ces critères sont :
-Critère algébrique(Routh)
-Critère graphique (revers)
a) Critère algébrique(Routh) :
Le critère de Routh permet de déterminer le nombre de racines d’un polynôme et donc les pôles de la FTBO ou de la FTBF ayant leurs parties réelles positives, sans calculer ces racines ou ces pôles.
Considérons un système de FTBF :
𝐻(𝑝) = 𝑁(𝑝) 𝐷(𝑝) =
𝑁(𝑝)
Chapitre III L’Asservissement
42
L’étude du polynôme caractéristique D(p) = 0 (ou polynôme d’Horowitz) permet de conclure sur la stabilité du système (le critère est énoncé ci-après sans être démontré).
Le critère de stabilité de Routh se décompose en deux conditions :
1- Une condition nécessaire : la stabilité exige que tous les coefficients (an) soient de même signe et non nuls.
2- Une condition nécessaire et suffisante : le système est stable (i.e. les zéros de D(p) c'est-à-dire les pôles de H(p), sont tous à partie réelle strictement négative) si et seulement si tous les termes de la 1ère colonne du tableau de Routh sont de même signe.
Construction du tableau de Routh :
Les deux premières lignes du tableau de Routh sont obtenues en reportant les coefficients du polynôme caractéristique (les emplacements vides correspondent à la valeur zéro).
Les coefficients des lignes suivantes sont calculés à partir des coefficients des deux lignes immédiatement supérieure et correspondant plus précisément à la 1ère colonne et à la colonne suivante (le cadre et le gamma inversé gris clairs ajoutés au tableau illustrent le calcul de b1).
Le critère de Routh s’énonce comme suit :
1- Si tous les termes de la première colonne de la grille de Routh sont positifs, l’équation caractéristique possède que des racines à paries réelles négatives : le système est stable.
2- S’il y a q changements de signes dans la deuxième colonne, l’équation caractéristique possède q racines à paries réelles négatives : le système est instable.
3- Si tous les coefficients d’une ligne sont nuls, les racines sont imaginaires : le système est à la limite de la stabilité.
Chapitre III L’Asservissement
b) Critère graphique (revers) :
Le critère du revers est une simplification du critère de Nyquist pour les systèmes simples. Conditions suffisantes devant être vérifiées par la FTBO pour pouvoir appliquer le critère du revers :
- Système stable en boucle ouverte ; - Ordre de la FTBO > 1.
Critère du revers dans le plan de Nyquist
Un système qui vérifie les conditions suffisantes exposées précédemment sera stable en boucle fermée si le lieu de Nyquist de la FTBO, décrit dans le sens des pulsations croissantes (0+ à +∞), laisse le point critique à sa gauche.
La figure III .9 illustre l’application du critère du revers pour des systèmes instable et stable.
Fig. III.9 : Illustration du critère du revers
Critère du revers dans le plan de Black :
Si un système en boucle ouverte vérifie les conditions suffisantes énoncées précédemment, et, si son lieu dans le plan de Black parcouru dans le sens des pulsations croissantes (0+ à +∞) laisse le point critique à sa droite alors le système est stable en boucle fermée.
Chapitre III L’Asservissement
44
Fig.III.10 : Illustration du critère du revers dans le plan de Black
Critère du revers dans le plan de Bode:
C’est un résultat que l’on peut illustrer également sous forme de diagramme de Bode : un système stable en boucle ouverte sera stable en boucle fermée si et seulement sa fréquence de coupure ωt est inférieure à sa fréquence d’inversion de la phase ωπ en boucle ouverte. La figure.III.11 illustre son application.
Chapitre III L’Asservissement
Degré de stabilité
Dans la plupart des cas, un système strictement stable n’est pas suffisant, il doit être suffisamment stable, pour cela on étudie son degré de stabilité qui peut être quantifié par la marge de gain et la marge de phase.
En pratique : la fonction de transfert est une approximation de la réalité or la limite théorique de la stabilité se fait par rapport au point critique (−1, j0) dans le plan de Nyquist ou le point (0 dB, -π) dans le plan de Bode et de Black.
Donc on prend des marges de sécurité suivante:
- La marge de gain: indique l’augmentation de gain de la fonction de transfert en boucle ouverte qui amènerait le système (en boucle fermée) en limite de stabilité.
-La marge de phase: indique le retard de phase de la fonction de transfert en boucle ouverte qui amènerait le système (en boucle fermée) en limite de stabilité.
Avec des marges importantes, le système est robuste aux variations de la fonction de transfert. En pratique on conseil une marge de phase entre 40 et 50 degré et une marge de gain entre 8 et 15 dB.