Etude et modélisation d’un servomécanisme de position

(1)

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’enseignement supérieur et la recherche scientifique Université de Jijel

Faculté de sciences et de la technologie

Département de l’électrotechnique

Projet fin d’étude pour l’obtention du diplôme Master en Électrotechnique

Option: Électrotechnique Industrielle

Thème

Encadré par: Réalisé par:

Pr: M.Lefouili Mohammed Boudra Manel Moussaoui

Année universitaire 2018 /2019

Etude et Modélisation d’un

servomécanisme de Position

(2)

Remercîment

Tout d’abord nous remercions Allah le tout puissant qui nous a éclairé le bon chemin.

Nous tenons à remercier très vivement Notre encadreur

P

^r

M-Lefouilli qui est un potentiel infini pour les conseils avisés et l’encouragement constant.

Nos vifs remerciements s’adressent à toute la promotion de la 2

^ème

année Master en électrotechnique industriel.

Enfin Nous associons nos remerciements à toute personne d’étant montré coopérant de prés ou de loin à la réalisation de ce

mémoire de fin d’étude.

Ainsi que tous les professeurs qui ont contribué à notre formation.

Mohammed et Manel

(3)

Dédicace

De tous mes cœurs, nous dédions ce modeste travail :

A nos très chères mères source de tendresse

A nos très chers pères, qui m’encourage

A nos très chers sœurs et frères A nos familles

A nos proches amis

A nos collègues d’électrotechnique Et merci à tout

Mohammed et Manel

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Sommaire

Sommaire

Introduction générale………... 1

Chapitre I Généralités sur les servomécanismes I. Introduction………...2

II. Définition………. 2

II.1.Concept général d’un Asservissement………. 2

II.2.Schéma fonctionnel d’un système asservi………... 3

II.2.1.Le comparateur………... 3

II.2.2.La chaine directe ou chaine d’action………... 4

II.2.2.1.Le correcteur………... 4

II.2.2.2.Le procédé………... 4

II.2.3.La chaine de retour ou chaine de réaction………... 5

II.2.3.1.Le capteur………... 5

II.2.3.2.L’adaptateur………... 5

II.3.Structure générale d’un système asservi………... 6

III. Principe de fonctionnement d’un servomécanisme……… 7

IV. Les types des servomécanismes………... 8

IV.1.Servomécanismes pneumatiques……… 8

IV.2. Servomécanismes hydromécaniques………... 8

IV.3. Servomécanismes électrohydrauliques………. 8

IV.4. Servomécanismes électromécaniques………. 9

V. Servomécanisme de position………. 9

(5)

Sommaire

V.1. Constitution……… 9

V.2. Principe de Fonctionnement………... 10

VI. Conclusion……… 11

Chapitre II Modélisation de la Machine à Courant Continu I. Introduction………. 12

II. Description d’une machine à courant continu………... 12

II.1. Les différents modes d’excitations……… 13

II.1.1. Machine à excitation séparée………. 13

II.1.2. Machine à excitation shunt (Dérivée)……… 14

II.1.3. Machine à excitation série……….. 14

II.1.4. Machine à excitation compound (Composée)………... 15

II.2. Modèle Mathématique de la M.C.C………... 16

II.2.1 Introduction……… 16

II.2.2. Organigramme de l'établissement d'un modèle………... 17

II.2.2.1. Schéma de principe………. 17

II.2.2.2. Représentation par bloc………... 18

II.2.2.3. Système d'équations……… 19

II.2.2.3.1. Elaboration des équations électriques d’une M.C.C…….……….. 20

II.2.2.3.2. Les inductances d’une M.C.C……….……… 20

II.2.2.3.3. Inductance propre de l'enroulement inducteur………... 21

II.2.2.3.4. Inductance propre de l'enroulement induit………….……… 21

II.2.2.3.5. Inductance mutuelle entre l'enroulement induit et inducteur….……… 22

(6)

Sommaire

II.2.2.3.6. Elaboration de l'équation mécanique……….. 26

III. Conclusion……… 27

Chapitre III Asservissement I. Introduction……….28

II. L’asservissement……… 28

II.1. Principe général de la régulation…………...……… 29

II.2. Système en boucle ouverte……… 29

II.3. Système en boucle fermée………... 30

III. Performances des systèmes asservis………. 31

III.1. La stabilité……… 31

III.2. La rapidité……… 32

III.3. La précision……….. 33

IV. Systèmes linéaires……… 33

IV.1. Introduction……….. 33

IV.2. Définition………. 33

IV.3. Représentation des systèmes……… 34

IV.3.1. Représentation par les équations différentielles………... 34

IV.3.2. Transformée de Laplace………... 34

III.3.3. Passage d’une équation différentielle à une fonction de transfert……….... 36

V. Analyse des systèmes linéaires……….. 37

V.1. Introduction……… 37

V.2. Analyse temporale………. 37

(7)

Sommaire

V.2.2. La rampe unité r(t)………. 38

V.2.3. L’impulsion de Dirac………. 38

V.3. Analyse harmonique……….. 39

V.3.1. Diagramme de Bode……….. 39

V.3.2. Diagramme de Black……….. 40

V.3.3. Diagramme de Nyquist……….. 40

V.4. Stabilité des systèmes……… 40

VI. Systèmes linéaires continus du premier ordre……….. 45

VI.1. Analyse temporelle………... 45

VI.2. Analyse harmonique………. 48

VII. Systèmes linéaires continus du second ordre………. 50

VII.1. Analyse temporelle………. 51

VI.2.Analyse harmonique………. 55

VII. conclusion………... 59

Chapitre IV Etude et modélisation d’un servomécanisme de position I.Introduction……… 60

II.Présentation du servomécanisme………... 60

III. Mise en équations systématique………... 62

III.1. Données numériques………. 64

III.2. Fonction de transfert en boucle ouvert………. 65

III.3. Fonction de transfert en boucle fermée………. 65

III.4. Equation caractéristique……… 65

III.5. Application du critère de Routh……… 65

III.6. Lieu d’EVANS ou lieu des racines………... 66

IV. Analyse temporale……… 67

IV.1. La réponse indicielle………. 67

IV.2. La réponse impulsionnelle……… 68

(8)

Sommaire

IV.3. Réponse en vitesse……….... 69

V.Analyse fréquentielle………. 70

V.1. Réponse Harmonique………. 70

V.1.1. Diagramme de Bode………... 71

V.1.2. Diagramme de Nyquist………...73

V.1.3. Diagramme de Black……….. 75

VI. Conclusion……… 78

Conclusion général………. 79

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Liste des Figures Liste des figures

Fig. I.1 : Concept général d’un Asservissement………. 3

Fig. I. 2 : Schéma fonctionnel d’un système Asservi………..3

Fig. I .3 : Approche fonctionnelle d’un préactionneur………... 4

Fig. I .4 : Approche fonctionnelle d’un actionneur………. 5

Fig. I .5 : Approche fonctionnelle d’un effecteur………... 5

Fig. I .6 : Approche fonctionnelle d’un Capteur………. 5

Fig. I .7 : Approche fonctionnelle d’un adaptateur………. 6

Fig. I.8 : Structure générale d’un système Asservi………. 6

Fig. I. 9 : Schéma de principe d’un Servomécanisme……… 7

Fig. I.10: Schéma de principe d’un Servomécanisme de position……… 9

Fig. II.1 : Représentation générale de la machine à courant continu……… 13

Fig. II.2 : Modélisation électrique d’une machine à excitation séparée………... 13

Fig. II.3 : Modélisation électrique d’une Machine à excitation shunt……….. 14

Fig. II.4 : Modélisation électrique d’une Machine à excitation série………... 15

Fig. II.5 : Modélisation électrique d’une Machine à excitation compound……….. 15

Fig. II.6 : Schéma équivalent d’un moteur à courant continu………...16

Fig. II.7 : Processus à adopter lors de l'établissement d'un modèle………. 17

Fig. II.8 : Schéma de principe d'une M.C.C………. 18

Fig. II.9 : Représentation par bloc d'une M.C.C………... 18

Fig. II.10 : Schéma bloc avec les parties fonctionnelles d'une M.C.C………. 19

Fig. II.11 : Représentation simplifiée des enroulements inducteurs et induit d'une M.C.C………. 21

(10)

Liste des Figures

Fig. II.12 : Variation de l’inductance propre de l’induit suivant l’ongle électrique 𝛉………..22

Fig. II.13 : Variation de l'inductance mutuelle………. 23

Fig. III.1 : Schéma bloc d’un système en boucle ouverte……… 30

Fig.III.2 : Schéma bloc d’un système en boucle fermée avec un retour unitaire………. 30

Fig.III.3:Systèmes instables dont la sortie diverge ou oscille sans se stabiliser………... 31

Fig.III.4 : Systèmes stables dont les sorties convergent vers une valeur bornée………. 31

Fig.III.5 : Caractérisation de la rapidité d´un système par le temps de réponse à 5%... 32

Fig.III.6 : Caractérisation de la précision d´un système………... 33

Fig.III.7 : Un système linéaire………... 33

Fig.III.8 : Récapitule les cas possibles suivant le signe et la nature des racines………... 41

Fig. III.9 : Illustration du critère du revers………... 43

Fig.III.10 : Illustration du critère du revers dans le plan de Black………... 44

Fig. III.11 : Diagrammes de Bode de systèmes instable et stable……… 44

Fig.III.12 : Réponse impulsionnelle………... 46

Fig.III.13 : Réponse indicielle……….. 47

Fig.III.14: Réponse en vitesse du système………... 48

Fig.III.15 : Lieu de Bode d'un système du 1er ordre (avec K = 10 et τ = 0.01 sec)………. 49

Fig.III.16 : Lieu de Black d'un système du 1er ordre (avec K = 10 et τ = 0.01 sec)……… 49

Fig.III.17 : Diagramme de Nyquist d'un système du 1er ordre……… 50

Fig.III.18: Réponse impulsionnelle d’un système de second ordre………. 52

Fig.III.19 : Réponse indicielle d’un système de second ordre………. 54

Fig.III.20 : Réponse indicielle d’un système de second ordre pour z=0.7………... 55

Fig.III.21 : Diagramme de Bode pour plusieurs valeurs de Z……….. 56

(11)

Liste des Figures

Fig.III.22 : Diagramme de Nyquist………. 57

Fig.III.23 : Diagramme de Black……… 58

Fig.IV.1 : Schéma d’un servomécanisme de position………. 61

Fig. IV.2 : Schéma fonctionnel détaille de la régulation automatique de position……….. 63

Fig. IV.3 : Schéma fonctionnel de la régulation automatique de position……….. 64

Fig. IV.4 : Lieu d’Evans du système………... 66

Fig. IV.5 : Zoom de lieu d’Evans……….66

Fig. IV.6 : Réponse indicielle pour Ka=10………... 67

Fig. IV.7 :L’effet de «Ka» sur le système……… 68

Fig.IV.8 : Réponse impulsionnelle………...69

Fig.IV.9 : Réponse en vitesse………....70

Fig. IV.10 : Lieu de Bode gain et phase du système………. 73

Fig. IV.11 : Lieu de Nyquist du système……… 74

Fig. IV.12 : Zoom sur le lieu de Nyquist du système………... 75

Fig.IV.13 : Lieu de Black pour notre système……….. 76

Fig. IV.14 : Zoom sur le lieu de Black du système………...77

(12)

Introduction

Générale

(13)

Introduction Générale

1

Introduction Générale

Dans ce travail nous allons intéresser à l’étude et la modélisation d’un servomécanisme de position. Les servomécanismes sont utilisés dans un grand nombre d'applications dans les domaines industrielles (robotique, machines-outils, produits de divertissement, des périphériques d’appareils informatiques, des systèmes de mouvement et autres…). La grande majorité des servomécanismes utilisent des moteurs à aimants permanents reliés à la charge par une chaîne de transmission (ou une boîte de vitesses) et un capteur de position unique, codeur ou résolveur, monté sur l'arbre du moteur. C'est de loin la solution la plus courante adoptée par les manipulateurs robotisés articulés.

En rappelant uniquement la position du moteur, il est relativement facile d'obtenir un contrôle satisfaisant de la position et de la vitesse du moteur, en utilisant soit le contrôle P / PI ou PID, soit des techniques de compensation plus avancées. Toutefois, cela ne garantit pas un contrôle satisfaisant de la position et de la vitesse de la charge pour les applications exigeantes de contrôle du mouvement, en particulier au ralenti. Par exemple, des oscillations de la pointe d'un bras manipulateur ou de l'outil d'une fraiseuse peuvent survenir.

Les servomécanismes ont d'abord été utilisés dans la fabrication d'armes à feu, dans les équipements de lutte contre l'incendie et de navigation maritime. Aujourd'hui, les servomécanismes sont utilisés dans les machines-outils automatiques, les antennes de poursuite par satellite, les systèmes de poursuite céleste sur les télescopes, les systèmes de navigation automatique et les systèmes de contrôle des armes antiaériennes.

Dans de nombreuses applications, les servomécanismes permettent aux dispositifs de grande puissance d'être contrôlés par des signaux provenant de périphériques de puissance beaucoup plus faible. Le fonctionnement du dispositif haute puissance résulte d'un signal (appelé signal d'erreur ou différence) généré par une comparaison de la position souhaitée du dispositif haute puissance avec sa position réelle.

(14)

Chapitre I

Généralités Sur Les

Servomécanismes

(15)

Chapitre I Généralités Sur Les Servomécanismes

2

I. Introduction

Dans le premier chapitre nous allons intéresser à la présentation des servomécanismes d’une façon générale et des servomécanismes de position en particulier, leurs concepts généraux leurs schémas fonctionnels, leurs constitutions, leurs principes de fonctionnements ainsi que les différents types de servomécanismes.

II. Définition [1]

Un servomécanisme, est un dispositif automatique qui utilise un retour d'erreur pour corriger les performances d'un mécanisme. Le terme s’applique correctement uniquement aux systèmes où les signaux de retour ou de correction d’erreur aident à contrôler la position mécanique ou l'une de ses dérivées, telles que la vitesse ou l'accélération.

Par exemple, une commande de vitre électrique automobile n'est pas un servomécanisme, car il n'y a pas de retour automatique qui contrôle la position, l'opérateur le fait par observation. En revanche, le régulateur de vitesse de la voiture utilise un retour d'informations en boucle fermée, ce qui le classe comme un servomécanisme.

Un servomécanisme est unique par rapport aux autres systèmes de contrôle car il contrôle un paramètre en commandant la dérivée temporelle de ce paramètre. Par exemple, un servomécanisme contrôlant la position doit pouvoir modifier la vitesse du système car la dérivée en fonction du temps (changement de vitesse) de la position est la vitesse. Un actionneur hydraulique commandé par un distributeur à tiroir et un capteur de position en est un bon exemple car la vitesse de l'actionneur est proportionnelle au signal d'erreur du capteur de position.

Un système asservi est appelé servomécanisme lorsque la grandeur contrôlée est une grandeur mécanique : Position, Vitesse, Couple, Effort, etc.

II.1 Concept général d’un Asservissement

Pour qu’un asservissement remplace l'homme dans diverses tâches, il devra avoir un comportement et des organes analogues à ceux d'un être humain. C'est-à-dire qu'il devra être capable d'apprécier, de comparer et d'agir.

Tout asservissement comportera ces trois catégories d'éléments qui remplissent les trois grandes fonctions nécessaires à sa bonne marche figure (I.1) :

* Mesure (ou observation)

* Comparaison entre le but à atteindre et la position actuelle (Réflexion) * Action de puissance

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Fig. I.1: Concept général d’un Asservissement

II.2 Schéma fonctionnel d’un système asservi

Les trois grandes fonctions peuvent être traduites dans un schéma fonctionnel figure (I.2) qui sera constitué essentiellement de :

– un comparateur ;

– une chaîne directe ou chaîne d’action ; – une chaîne de retour ou chaîne de réaction.

Fig. I. 2 : Schéma fonctionnel d’un système Asservi

II.2.1 Le comparateur :

Représenté par un cercle croisé, il effectue la soustraction entre l’entrée e(t), généralement appelée « signal de consigne » et le retour (image de la sortie) s(t), en générant un signal d'écart appelé aussi signal d’erreur ε(t).

Les signes plus ou moins indiquent la nature de la comparaison. Ɛ(t)= e(t) – s(t)

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4

II.2.2 La chaine directe ou chaine d’action : Elle est composée :

– d’un correcteur qui a pour rôle de modifier le signal d’erreur pour donner naissance au signal de commande (Y) et améliorer ainsi les performances du système ;

– d’un procédé qui a pour rôle de conférer à la matière d’œuvre la valeur ajoutée attendue.

II.2.2.1 Le correcteur

Lorsque le système ne satisfait pas naturellement les performances attendues, il est possible de modifier son comportement en boucle fermée sans modifier le processus. Il s’agit d’adapter la consigne d’entrée du processus en fonction de l’évolution de l’écart à la consigne 𝜀(𝑡). C’est le rôle du correcteur, il est implanté dans la partie commande, généralement positionné entre le comparateur et la chaîne d’action, pour assurer :

– une correction efficace des perturbations (il est placé avant la perturbation),

– la "fraîcheur" de l’information de sortie du comparateur : ce signal n’a pas été modifié par les différents constituants du système. Ses caractéristiques sont entièrement contrôlées et réglables

– Il est peu coûteux et il est facilement modifiable car il manipule des grandeurs de commandes, c’est à dire à faible énergie.

– Il est influent car il agit directement sur la commande du processus.

II.2.2.2 Le procédé

Un procédé est constitué essentiellement d’un préactionneur, un actionneur et un effecteur.

a- Un préactionneur est un constituant de gestion d’énergie qui, sur ordre du régulateur, distribue une énergie utile aux actionneurs figure (I.3) (ex : variateur de vitesse).

Fig. I.3 : Approche fonctionnelle d’un préactionneur

b- L’actionneur est un le dispositif qui convertit une énergie d’entrée en une énergie de sortie utilisable pour obtenir une action définie figure (I.4) (ex : moteur).

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Fig. I .4 : Approche fonctionnelle d’un actionneur

c- L’effecteur est le constituant qui utilise l’énergie en provenance de l’actionneur pour conférer une valeur ajoutée à la matière d’œuvre figure (I.5) (ex : réducteur, poulie, courroie).

Fig. I.5 : Approche fonctionnelle d’un effecteur

II.2.3 La chaine de retour ou chaine de réaction

Elle est essentiellement composée d’un capteur et d’un adaptateur:

II.2.3.1 Le capteur est un constituant qui transforme une grandeur physique quelconque en une grandeur physique exploitable par la partie commande figure (I.6) (ex : tachymètre).

Fig. I .6 : Approche fonctionnelle d’un Capteur

II.2.3.2 L’adaptateur est un constituant qui permet de transformer l’information en prévenance du capteur pour qu’elle soit compréhensible par le régulateur figure (I.7).

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6

Fig. I .7 : Approche fonctionnelle d’un adaptateur

II.3 Structure générale d’un système asservi [2]

L’association des éléments cités précédemment forme la structure générale d’un système asservi et qui peut être représente de la façon suivante figure (I.8):

Fig. I.8 : Structure générale d’un système Asservi

La caractéristique déterminante d'un servomécanisme est que la sortie contrôlée d'un mécanisme est automatiquement comparée à l'entrée de commande. La différence entre les réglages ou les positions de la sortie et de l'entrée est appelée le signal d'erreur, qui agit pour amener la sortie à la valeur souhaitée. Les servomécanismes peuvent être mécaniques, électriques, hydrauliques ou optiques. Le processus de renvoi du signal d'erreur pour comparaison avec l'entrée est appelé retour, et l'ensemble du processus d'entrée, de sortie, de signal d'erreur et de retour s'appelle une boucle fermée.

Au sens strict, le terme servomécanisme est limité à une boucle de réaction dans laquelle la quantité ou sortie contrôlée est une position mécanique ou une de ses dérivées (vitesse et accélération).

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III. Principe de fonctionnement d’un servomécanisme [3]

Normalement, les servomécanismes fonctionnent sur le principe de réaction, où l'entrée de variable de contrôle est comparée à la sortie d'amplitude, mesurée avec une sorte de transducteurs. Toute différence entre les valeurs réelles et désirées est amplifiée et utilisée pour faire fonctionner le système dans la direction nécessaire pour réduire ou éliminer l'erreur.

Fig. I. 9 : Schéma de principe d’un Servomécanisme

Tous les servomécanismes ont au moins ces composants de base:

-Un dispositif contrôlé ; -Un dispositif de commande ; -Un détecteur d'erreur ;

-Un amplificateur de signal d'erreur ;

-Un dispositif permettant d'effectuer les corrections d'erreur nécessaires (le servomoteur).

Dans l'appareil contrôlé, ce qui est régulé est généralement la position. Ce dispositif doit donc avoir un moyen de générer un signal (tel qu’une tension), appelé signal de retour, qui représente sa position actuelle (figure .I.9). Ce signal est envoyé à un appareil de détection d'erreur. Le dispositif de commande reçoit des informations, généralement en dehors du système, qui représentent la position souhaitée du dispositif contrôlé. Cette information est convertie en une forme utilisable par le système (telle qu'une tension) et est transmise au

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8

même détecteur d'erreur que le signal provenant du dispositif commandé. Le détecteur d'erreur compare le signal de retour (représentant la position réelle) avec le signal de commande (représentant la position souhaitée). Toute divergence entraîne un signal d'erreur qui représente la correction nécessaire pour amener le dispositif commandé à la position souhaitée. Le signal de correction d'erreur est envoyé à un amplificateur et la tension amplifiée est utilisée pour piloter le servomoteur, ce qui repositionne le dispositif commandé.

IV. Les types des servomécanismes [4]

Dans un servomécanisme, la grandeur de commande peut, en principe être électrique, électronique, magnétique, pneumatique ou hydraulique, sur cette base et tenant compte de la technologie utilisée, on distingue les principaux types de servomécanisme.

IV.1 Servomécanismes pneumatiques

Un servomécanisme dans lequel l'énergie est fournie et la transmission des signaux sont effectuée au moyen d'air comprimé. Les servomécanismes pneumatiques présentent les avantages suivants: faible coût, rapport puissance / poids élevé, facilité de maintenance, propreté et source d'énergie facilement disponible et bon marché. Cependant, ses inconvénients sont les forces de frottement non linéaires élevées, la zone morte due au frottement et le temps mort dû à la compressibilité de l'air.

IV.2 Servomécanismes hydromécaniques

La transmission de puissance par des fluides hydrauliques sous pression tels que l’huile ou l’eau est un procédé particulièrement efficace lorsqu'il s'agit de transmettre avec souplesse des puissances mécaniques, donc dans ces servomécanismes l'actionneur est entraîné par un fluide incompressible et le réglage se fait de manière mécanique;

Les servomécanismes ont gagnés en précision depuis l'apparition des servovalves assurant l'interface entre la régulation électronique et la partie hydromécanique. Dans les systèmes asservis électro hydrauliques, la mécanique, l’hydraulique et l’électronique sont des techniques étroitement associées.

IV.3 Servomécanismes électrohydrauliques

Ce sont des servomécanismes dans lesquels l'actionneur est actionné par un fluide incompressible et le réglage est géré par une électronique dédiée;

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IV.4 Servomécanismes électromécaniques

Ce sont des servomécanismes dans lesquels l'actionneur est constitué par un moteur électrique commandé par une électronique.

En plus de ces classes, nous pouvons encore rappeler d'autres types d'unités de puissance qui utilisent l’air ou d'autres fluides compressibles pour le mouvement de l'actionneur. Ils ont ensuite distingués:

 Servomécanismes, pneumo-mécanique;

 servomécanismes, électropneumatique.

V. Servomécanisme de position [5]

V.1 Constitution

Ce servomécanisme permet d’asservir la position angulaire à la sortie θs(t) en se référant à la position angulaire de l’entrée(ou de référence) θe(t). Il est essentiellement constitué de deux potentiomètres, d’un comparateur, d’un amplificateur, d’un moteur et d’un réducteur figure (I.10).

Fig. I.10: Schéma de principe d’un Servomécanisme de position

Potentiomètres P1 et P2

Le système utilise deux potentiomètres identiques, ayant un déplacement angulaire, pourvue d’adaptateur permettant de donner une tension proportionnelle à la position angulaire, l’un à l’entrée (P1) qui donne une tension proportionnelle à la position angulaire de l’entrée, l’autre à la sortie (P2) qui donne une tension proportionnelle à la position angulaire de la sortie.

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10 1) Le comparateur

Le comparateur a pour rôle de comparer la tension d'entrée X(t) à la tension de réaction Xr(t), en faisant la différence. La sortie du comparateur s'appelle une erreur ou un écart. Elle est notée Ɛ(t) et est appliquée à l'entrée d'un préamplificateur car elle a une valeur relativement petite. Plus le préamplificateur est élevé, plus la déviation stationnaire est faible.

2) L’amplificateur

Le préamplificateur est conçu pour déterminer le sens de rotation du moteur, en fonction du signe de la tension d'erreur. Il dirige l'amplificateur final de sorte que la tension d'erreur U soit réduite en faisant tourner le moteur dans le sens indiqué.

3) Le servomoteur

Il a pour rôle de transformer l'énergie électrique en énergie mécanique de rotation. Une excitation magnétique permanente est utilisée. Les avantages de ce servomoteur sont des démarrages et des arrêts très rapides, une tension de démarrage très basse, un rapport de couple d'inertie très élevé.

4) Le réducteur (vis sans fin)

Le réducteur réduit la vitesse avec un rapport commode tout en augmentant le moment de rotation. Il est également nécessaire de réduire la vitesse pour que le mouvement du moteur soit compatible avec le mouvement du curseur du potentiomètre de référence. Il est fait avec des roues dentées (engrenages).

V.2 Principe de Fonctionnement

Son principe de fonctionnement se résume à garder le curseur de sortie θs(t) à une position identique à celle du curseur d’entrée θe(t) de référence.

Si θs(t) =θe(t) → 𝑋(𝑡) = 𝑋𝑟(𝑡) → Ɛ(t) =0,𝑃𝑢𝑖𝑠 𝑈(𝑡) = 0 et le moteur est à l’arrêt

Si θs(t) >θe(t) → 𝑋(𝑡) > 𝑋𝑟(𝑡) → 𝜀(𝑡) > 0 , 𝑃𝑢𝑖𝑠 𝑈(𝑡) > 0 et le moteur tourne dans le sens positif jusqu'à ce que θs(t) =θe(t)

Si θs(t) <θe(t) → 𝑋(𝑡) < 𝑋𝑟(𝑡) → 𝜀(𝑡) < 0 , 𝑃𝑢𝑖𝑠 𝑈(𝑡) < 0 et le moteur tourne dans le sens inverse jusqu'à ce que θs(t) =θe(t)

(24)

VI. Conclusion

Dans ce chapitre nous avons essayé de donner quelques généralités sur les servomécanismes d’une façon générale et sur les servomécanismes de position d’une façon particulière. Vue qu’un servomécanisme peut être considérer comme un système asservi dont la grandeur contrôlée est une grandeur mécanique : position, vitesse, couple, effort, nous avons passé en revue le concept général d’un asservissement, de ses constituants à son schéma fonctionnel en passant par sa structure générale.

Nous avons passé aussi en revue les différents types des servomécanismes, leurs principes de fonctionnement et on termine ce chapitre par un exemple de servomécanisme de position.

(25)

Chapitre II

Etude et

Modélisation de

MCC

(26)

Chapitre II Modélisation de la Machine à Courant Continu I. Introduction

Le deuxième chapitre est consacré à la présentation et la modélisation de la machine à courant continu, vu la large utilisation du moteur à courant continu dans les servomécanismes.

Les dynamos à courant continu ont été les premiers convertisseurs électromécaniques utilisés. Leur usage est en régression très nette en particulier en tant que générateurs de courant. On utilise de préférence des redresseurs à semi-conducteurs alimentés par des alternateurs.

Les moteurs à courant continu restent très utilisés dans le domaine de l’automobile (ventilateurs, lève-vitre, etc.) ainsi qu’en tant que « moteur universel » dans l’électroménager et l’outillage. Dans le domaine des puissances supérieures au mégawatt, les sous-marins seront les seuls utilisateurs de machines à courant continu afin d’assurer leur propulsion. En effet, pour éviter de « rayonner » du 50 ou du 60 Hertz qui les rendrait facilement détectables, les sous-marins utilisent des circuits de distribution de l’énergie électrique à tensions continues. La fabrication de machine à courant continu de puissance supérieure à 10MW se heurte à une frontière technologique infranchissable. En effet, les problèmes d’injection de courant par les contacts balais - collecteur posent des problèmes insolubles au-dessus de ce seuil de puissance.

II. Description d’une machine à courant continu [6] :

La machine à courant continu (MCC) est une machine électrique. Il s'agit d'un convertisseur électromécanique permettant la conversion bidirectionnelle d'énergie entre une installation électrique parcourue par un courant continu et un dispositif mécanique, d’où l'énergie électrique est transformée en énergie mécanique. La machine à courant continu est constituée :

 D'un stator qui est à l'origine de la circulation d'un flux magnétique longitudinal fixe créé soit par des enroulements statoriques (bobinage) soit par des aimants permanents à l’arrière du stator, se trouve la partie porte balais et les balais assurant les contacts électriques avec le rotor. Il est aussi appelé inducteur.

 D'un rotor bobiné relié à un collecteur rotatif inversant la polarité dans chaque enroulement rotorique au moins une fois par tour de façon à faire circuler un flux magnétique transversal en quadrature avec le flux statorique. Les enroulements rotoriques sont aussi appelés enroulements d'induits, ou communément induit.

(27)

Chapitre II Modélisation de la Machine à Courant Continu

13

Fig. II.1 : Représentation générale de la machine à courant continu

II.1. Les différents modes d’excitations [7]

Les machines à courant continu se différencient par la manière dont on fournit le courant d’excitation. Les différents cas possibles sont :

II.1.1. Machine à excitation séparée

Ce mode d’excitation nécessite deux sources d’alimentations distinctes. L’alimentation de l’enroulement inducteur est prise sur une source indépendante de la source principale. On change le sens de rotation en permutant les bornes de l’induit ou de l’inducteur. Le circuit électrique est représenté par la suivante :

Fig. II.2 : Modélisation électrique d’une machine à excitation séparée

(28)

Chapitre II Modélisation de la Machine à Courant Continu Domaine d’application :

Particularités Emplois

Moteur autorégulateur de vitesse. La vitesse est relativement constante quel que soit la charge

Entrainement de machines-outils (Remplacé par le moteur asynchrone triphasé)

II.1.2. Machine à excitation shunt (Dérivée)

L’enroulement d’excitation est connecté en parallèle sur l’alimentation du moteur, il possède les mêmes propriétés que le moteur à excitation séparée du fait que, dans les deux cas, l’inducteur constitue un circuit extérieur à celui de l’induit. Le circuit électrique est représenté par la figure suivante :

Fig. II.3 : Modélisation électrique d’une Machine à excitation shunt

Domaine d’application :

Ne s'emballe pas Couple de démarrage meilleur qu'en excitation sépare

appareils de levage et de manutention Utilisé aussi en excitation indépendante

II.1.3. Machine à excitation série

Le circuit d’excitation est placé avec l’induit du moteur. Sa particularité est d’avoir un inducteur qui est traversé par le même courant, l’inducteur possède donc une résistance plus faible que celle des autres types de machines. L’inducteur est en série avec l’induit : une seule

R

(29)

15

source d’alimentation suffit. On change le sens de rotation en permutant les connexions de l’induit et de l’inducteur. Le circuit électrique est représenté par la suivante :

Fig. II.4 : Modélisation électrique d’une Machine à excitation série

Domaine d’application :

Moteur autorégulateur de puissance. Possède un très grand couple de démarrage mais risque l'emballement à vide. La vitesse décroit quand la charge augmente.

le moteur qui convie le mieux en traction électrique.

II.1.4. Machine à excitation compound (Composée)

C’est une combinaison des excitations Shunt et Série, on peut réaliser un compoundage additif (Si les flux des deux enroulements s’additionnent) ou soustractif (dans le cas contraire).

Fig. II.5: Modélisation électrique d’une Machine à excitation compound

(30)

Chapitre II Modélisation de la Machine à Courant Continu Domaine d’application :

Risque d'emballement du fait de l'annulation du flux résultant des enroulements

Pratiquement ce moteur n’est plus utilisé.

II.2 Modèle Mathématique de la M.C.C II.2.1 Introduction [8]

La modélisation de la machine à courant continu en régime transitoire permet notamment de mettre en évidence tous les phénomènes qui apparaissent lors du fonctionnement de la machine tels que : le démarrage, le freinage, la réaction d'induit, la commutation, la variation de vitesse...etc.

La machine à courant continu possède en réalité une structure physique nettement plus Compliquée par la présence du collecteur mécanique.

La description mathématique, se fait généralement par des équations différentielles ou fonctions de transfert, et donne les relations entre les grandeurs d'entrées et de sorties d'un système.

Dans cette description, on présentera d'abord le procédé à adopter lors de l'établissement d'un modèle.

Fig. II.6: Schéma équivalent d’un moteur à courant continu

(31)

17

II.2.2 Organigramme de l'établissement d'un modèle

L'organigramme de la figure (II-7) nous montre les différentes étapes à suivre pour établir le modèle mathématique d’une M.C.C

Fig. II.7: Processus à adopter lors de l'établissement d'un modèle

II.2.2.1 Schéma de principe

Le schéma de principe donne une représentation du système à modéliser et doit contenir toutes les parties et les grandeurs physiques nécessaires à une modélisation correcte.

Le schéma de principe d'une M.C.C, est donné par la figure (Fig. II-8) ou l'en voit la définition des différentes grandeurs et éléments.

On peut donc distinguer trois parties fonctionnelles :

 La première partie est donnée par le circuit d'induit ;

 La deuxième partie est donnée par le circuit d'inducteur ;

 La troisième constitue la partie mécanique tournante.

(32)

Fig. II.8:Schéma de principe d'une M.C.C

II.2.2.2 Représentation par bloc [9]

Le schéma bloc est une autre variante pour la représentation graphique des systèmes linéaires ou linéarités. L'élément essentiel est le bloc qui contient la fonction de transfert liant le signal de sortie au signal d'entrée.

La figure (Fig. II-9) nous montre la représentation par bloc d'une M.C.C, pour le machine à courant continu, elle existe deux grandeurs d'entrées (𝑈_𝑎, 𝑈𝑒_𝑒) une grandeur de perturbation C et quatre grandeurs de sortie (𝐼_𝑎, 𝐼_𝑒, Ω, 𝜃).

Fig. II.9 : Représentation par bloc d'une M.C.C

𝑈_𝑎: Tension d'induit [𝑉]

𝑈_𝑒: Tension d’inducteur [𝑉]

𝐼_𝑎: Courant d'induit [𝐴]

𝐼_𝑒: Courant d'inducteur [𝐴]

Ω : Vitesse de rotation (𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝐶_𝑟 : Couple résistant 𝑁. 𝑚 𝜃: Position (rad)

(33)

19 II.2.2.3 Système d'équations

Dans certains cas, les systèmes à modéliser sont très complexes, il est donc préférable de décomposer le système en plusieurs parties fonctionnelles, plus simples qui peuvent être décrites par des lois de la physique.

Pour chaque schéma de bloc des parties fonctionnelles, on définira les grandeurs d'entrées, de perturbation et de sorties, et l'on trouve les interactions existantes. C'est seulement après qu'on établit les équations différentielles pour chaque partie.

Le schéma bloc d'une M.C.C avec les différentes parties fonctionnelles est donné par la figure (II.10).

Fig. II.10 : Schéma bloc avec les parties fonctionnelles d'une M.C.C

Avec :

B_𝑎 : Partie fonctionnelle représentant le circuit induit ; B_𝑒: Partie fonctionnelle représentant le circuit inducteur B_𝑚: Partie fonctionnelle représentant la partie mécanique.

𝐵_𝑎𝑒𝑚 et 𝐵_𝑒𝑚𝑎 : représentant les interactions entre les différentes grandeurs B_𝑒𝑚𝑎: Montre la dépendance de E en fonction de (Ω, 𝜙_𝑒);

B_𝑎𝑒𝑚 : Montre la dépendance de C en fonction de (𝐼_𝑎 , 𝜙_𝑒).

Ainsi, on peut établir les équations du M.C.C :

II.2.2.3.1 : Elaboration des équations électriques d’une M.C.C

Note : dans cette étude on va élaborer les équations d'une M.C.C à excitation séparée qu'on peut généraliser pour tous les M.C.C.

(34)

Chapitre II Modélisation de la Machine à Courant Continu Dans tous ceux qui viennent

𝑅_𝑎: Totalité de la résistance du circuit d’induit et du contact balais- collecteur, 𝑅_𝑎 est alors mesurée aux bornes des balais ;

𝑅_𝑒: Résistance de l'enroulement inducteur supposée en série ; 𝐿_𝑎: Inductance de l'enroulement induit ;

𝐿_𝑒: Inductance de l'enroulement inducteur ;

L'induit comprend l'enroulement rotorique plus l'enroulement de compensation et celui des pôles auxiliaires s'ils existent.

II.2.2.3.2 : Les inductances d’une M.C.C [10]

L'étude des régimes transitoires et l'établissement des fonctions de transfert indispensable à la détermination des caractéristiques de réglage, cela implique la connaissance des inductances de la machine, alors qu'on régime permanent seules les résistances jouent un rôle.

L'expression des diverses réactances s'obtient en supposant provisoirement les balais tournant avec le rotor, ce qui revient à faire tourner l'axe magnétique de l'enroulement rotorique à une vitesse électrique 𝜔 = 𝑝. Ωou :

𝜔 : Vitesse électrique [𝑟𝑎𝑑/𝑠]

Ω : Vitesse mécanique du rotor [𝑟𝑎𝑑/𝑠] ; 𝑝 : Nombre de paires de pôles.

La position instantanée de l'enroulement induit est repérée alors par l'angle électrique𝜃, où 𝜃 = 𝑝. 𝜃_𝑚𝑒𝑐, [𝑟𝑎𝑑]comme il est représenté dans la figure(II.11).

𝜃 : Angle électrique de l'enroulement induit en radians ; 𝑝 : Nombre de paires de pôles ;

𝜃_𝑚𝑒𝑐 : Angle de positionnement mécanique du rotor en radians ; Ω : Vitesse de rotation mécanique du rotor en [rad/s].

(35)

21

En réalité l'enroulement d'induit est pseudo- stationnaire (par rapport aux balais), l'expression des inductances en fonction de l'angle électrique 𝜃 entre les axes magnétique de l'induit et de l'inducteur est nécessaire pour tenir compte des cas où cet angle est différent de 𝜋⁄2 et surtout pour pouvoir exprimer la dérivée de ces inductances. [10]

Fig. II.11 : Représentation simplifiée des enroulements inducteurs et induit d'une M.C.C

II.3.2.3.3 : Inductance propre de l'enroulement inducteur

Le flux inducteur est un flux continu (il n'est pas alterné) qui se compose d'un flux de fuite𝜙_𝛿 et d'un flux utile𝜙.

L'inductance 𝐿_𝑒(𝜃) de l'inducteur est indépendante de l'angle électrique𝜃, de sorte que : 𝐿_𝑒(𝜃) = 𝐿_𝑒 = 𝑐𝑡𝑒 [𝐻]

Parce qu'on a : 𝜙_𝑒 = 𝜙 + 𝜙_𝛿[𝑤𝑒𝑏𝑒𝑟]

𝐿_𝑒(𝜃) =𝜙_𝑒

𝐼_𝑒 = 𝑐𝑡𝑒 [𝐻]

II.2.2.3.4 : Inductance propre de l'enroulement induit [10]

L'inductance propre de l'induit varie avec l'angle électrique 𝜃, et les inductances propres et mutuelles en serie avec l'enroulement rotorique comme l'enroulement decompensation et celui des pôles auxiliaires (s'ils existent) sont constantes et ne variant pas avec 𝜃, alors on peut ajouter l'inductance de ce dernier enroulement comme un terme constant à l'inductance de l'enroulement rotorique.

L’inductance totale de l’enroulement induit varie aproximativement suivant la courbe de la figure (II.12) . [10]

(36)

Fig. II.12 : variation de l’inductance propre de l’induit suivant l’ongle électrique 𝛉

On peut constater que l'inductance 𝐿_𝑎(𝜃)de l'induit varie selon la formule suivante : 𝐿_𝑎(𝜃) =𝐿_𝑎+ 𝐿_𝑞

2 +𝐿_𝑎+ 𝐿_𝑞

2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝐿_𝑎 : Valeur maximale de l'inductance de l'induit [𝐻] ;

𝐿_𝑞: Valeur minimale de l'inductance de l'induit [H] ; 𝜃 : Angle électrique.

II.2.2.3.5 : Inductance mutuelle entre l'enroulement induit et inducteur

Comme l'enroulement de l'induit est en rotation par rapport à l'enroulement de l'inducteur, la mutuelle entre ces deux enroulements varie avec l'angle électrique 𝜃. On peut représenter ces enroulements avec un schéma plus simple de la figure (II.13)

On peut constater de la figure (II.13) que la mutuelle varie suivant une sinusoïde, Sion tient compte de la direction du flux inducteur et de la polarité des balais, on peut constater que la mutuelle varie selon la loi suivante :

(37)

23

Fig. II.13 : Variation de l'inductance mutuelle

𝑀_𝑎𝑒. (𝜃) = −𝑀 𝑐𝑜𝑠𝜃 [𝐻]

𝑀_𝑎𝑒: Inductance mutuelle entre l'enroulement induit et inducteur ; 𝑀 : Valeur maximale de l'inductance mutuelle

 Du point de vue des circuits couplés on a :

D'après la figure(II.12) et le schéma de principe en figure(II.9), on peut écrire les équations suivantes :

 Equation avec flux :

{

𝑈^𝑎 = 𝑅_𝑎𝐼_𝑎+^𝑑𝜙^𝑎

𝑑𝑡

𝑈_𝑒 = 𝑅_𝑒𝐼_𝑒+ ^𝑑𝜙^𝑒

𝑑𝑡

𝜙_𝑒 = 𝜙 + 𝜙_𝛿

(II-1) 𝑈_𝑎: Tension aux bornes de l'induit [𝑉];

𝑅_𝑎: Totalité de la résistance de l'induit et du contact balai-collecteur [Ω];

𝑅_𝑒: Résistance de l'enroulement inducteur ; 𝜙_𝑎: Flux total dans l'induit [𝑊𝑏];

𝜙_𝑒 : Flux total dans l'inducteur [𝑊𝑏];

𝜙_𝛿 = Flux de fuite de l'inducteur [Wb[.

(38)

Chapitre II Modélisation de la Machine à Courant Continu D’autre part on a :

{𝑈_𝑎 = 𝑅_𝑎𝐼_𝑎+ ^𝑑

𝑑𝑡(𝐿_𝑎(𝜃)𝐼_𝑎+ 𝑀_𝑎𝑒(𝜃)𝐼_𝑒) 𝑈_𝑒 = 𝑅_𝑒𝐼_𝑒+ ^𝑑

𝑑𝑡(𝐿_𝑒(𝜃)𝐼_𝑒+ 𝑀_𝑎𝑒(𝜃)𝐼_𝑎) (II-2) Le couple électromagnétique fourni par un système des circuits couples d'une machine électrique a la formule suivante [11] :

𝐶_𝑒 = 𝑃 [¹

2∑^𝑛_𝑖=1𝐼_𝑖²^𝑑𝐿^𝑖^(𝜃)

𝑑𝜃 + ∑ 𝐼_𝑖𝐼_𝑘^𝑑𝑀^𝑖𝑘^(𝜃)

𝑑𝜃 𝑛𝑖=1

𝑘=1 𝑘≠𝑖

] (II-3)

𝜃 : Angle électrique (rad] ;

𝑝 : Nombre de paires de pôles de la machine ; 𝐼_𝑖 : Courant qui circule dans l'enroulement 𝑖 [𝐴] ; 𝐼_𝑘 : Courant qui circule dans l’enroulement 𝑘 [𝐴] ;

𝑀_𝑖𝑘 : Inductance mutuelle entre l'enroulement 𝑖 et 𝑘 [𝐻] ; Li (𝜃) : Inductance propre de l'enroulement i [H].

Le symbole∑^𝑛_𝑖=1signifie

𝑘=1 𝑘≠𝑖

que l'on somme toutes les combinaisons des indices 𝑖 et 𝑘 eten particulier on ne fait pas de distinction dans la formule précédente entre 𝑀_𝑖𝑘 et 𝑀_𝑘𝑖 qui sont égaux c.-à-d. on ne fait qu'une seule fois le produit 𝐼_𝑖𝐼_𝑘^𝑑𝑀^𝑖𝑘^(𝜃)

𝑑𝜃 , dans le cas de notre machine la formule (II-3) devient :

𝐶_𝑒 = 𝑃 [¹

2∑^𝑛_𝑖=1𝐼_𝑎²^𝑑𝐿^𝑖^(𝜃)

𝑑𝜃 + 𝐼_𝑒^{2 𝑑𝐿}_𝑑𝜃^𝑒^(𝜃)+ 𝐼_𝑎𝐼_𝑒^𝑑𝑀^𝑎𝑒^(𝜃)

𝑑𝜃 ] (II-4) le système d'équations (II-2) devient

{𝑈_𝑎 = 𝑅_𝑎𝐼_𝑎 +^𝑑𝐿^𝑎^(𝜃)

𝑑𝑡 𝐼_𝑎 + 𝐿_𝑎(𝜃)^𝑑𝐼^𝑎

𝑑𝑡 + 𝐼_𝑒^𝑑𝑀^𝑎𝑒^(𝜃)

𝑑𝑡 + 𝑀_𝑎𝑒(𝜃)^𝑑𝐼^𝑒

𝑑𝑡

𝑈_𝑒 = 𝑅_𝑒𝐼_𝑒 +^𝑑𝐿^𝑒^(𝜃)

𝑑𝑡 𝐼_𝑒 + 𝐿_𝑒(𝜃)^𝑑𝐼^𝑒

𝑑𝑡 + 𝐼_𝑎^𝑑𝑀^𝑎𝑒^(𝜃)

𝑑𝑡 + 𝑀_𝑎𝑒(𝜃)^𝑑𝐼^𝑎

𝑑𝑡

(II-5)

En général les balais sont calés selon l'axe neutre théorique c.-à-d. Que 𝜃 =^𝜋

2

Pour 𝜃 =^𝜋

2 les différentes dérivées des inductances propres et mutuelles donnent 𝐿_𝑒(𝜃) = 𝑐𝑠𝑡 = 𝐿_𝑒 ⇒𝑑𝐿_𝑒(𝜃)

𝑑𝑡 = 0, 𝐿_𝑒(𝜃 =𝜋 2) = 𝐿_𝑒

(39)

25

𝑑𝐿_𝑎(𝜃) 𝑑𝑡

𝜃 = ^𝜋

2

⁄ =^𝑑𝐿^𝑎^(𝜃)

𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡

𝜃 = ^𝜋

2

⁄ = 0

𝐿_𝑎(𝜃) 𝑑𝑡

𝜃 = ^𝜋

2

⁄ = 𝐿_𝑎

𝑑𝜃

𝑑𝑡 = 𝑝Ω = ω [rad/s]

𝑀_𝑎𝑒(𝜃 = 𝜋

2) = 0

𝑑𝑀_𝑎𝑒(𝜃) 𝑑𝑡

𝜃 =^𝜋

2

⁄ = ^𝑑𝑀^𝑎𝑒^(𝜃)

𝑑𝜃

𝜃 = ^𝜋

2

⁄ 𝑑𝜃

𝑑𝑡 = 𝑀ω

Alors pour : 𝜃 =^𝜋

2 les équations (II-4) et (II-5) devient :

𝐶_𝑒 = 𝑃𝑀𝐼_𝑒𝐼_𝑎 (II-6) {𝑈_𝑎 = 𝑅_𝑎𝐼_𝑎+ 𝐿_𝑎^𝑑𝐼^𝑎

𝑑𝑡 + 𝑃𝑀𝐼_𝑒Ω 𝑈_𝑒 = 𝑅_𝑒𝐼_𝑒+ 𝐿_𝑒^𝑑𝐼^𝑒

𝑑𝑡 +𝑃𝑀𝐼_𝑎Ω (II-7) 𝐸 = 𝑃𝑀𝐼_𝑒Ω : 𝑓. 𝑐. 𝑒. 𝑚 𝑑𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛

Ce genre de 𝑓. 𝑐. 𝑒. 𝑚 de rotation apparaît dans l'équation électrique de l'inducteur est

représenté par le terme : 𝐸_𝑒 = 𝑃𝑀𝐼_𝑎Ω (II-8) Mais l'équation (II-8) n'est pas complète, parce que si on considère l'effet magnétique des spires en commutation leurs f.e.m induite va compenser la tension de rotation 𝐸_𝑒 de l’inducteur, pour ça cette équation devient :

𝑈_𝑒 = 𝑅_𝑒𝐼_𝑒+ 𝐿_𝑒^𝑑𝐼^𝑒

𝑑𝑡 (II-9) On a aussi :

𝐸 = 𝑃𝑀𝐼_𝑒𝛺 = KϕΩ (II-10) Avec :

𝐾 = 2𝑃 2𝑎. 𝑛

2𝜋 𝑃 : Nombre de paires de pôle ;

2𝑎 : Nombre de voies, d'enroulement de l’induit ;